Трохоид

В геометрии трохоида , (от греч. trochos «колесо») — это кривая рулетки образованная кругом , катящимся по прямой . Это кривая, очерчиваемая точкой, прикрепленной к окружности (при этом точка может находиться внутри, внутри или снаружи окружности), когда она катится по прямой линии. ^[1] Если точка находится на окружности, трохоида называется общей (также известной как циклоида ); если точка находится внутри круга, трохоида изогнута ; а если точка находится вне круга, трохоид вытянутая . Слово «трохоида» было придумано Жилем де Робервалем для обозначения особого случая циклоиды. ^[2]

Основное описание

Поскольку круг радиуса $a$ катится без скольжения по линии $L$ , центр $C$ движется параллельно $L$ , а каждая другая точка $P$ во вращающейся плоскости, жестко прикрепленная к кругу, следует по кривой, называемой трохоидой. Пусть $CP = b$ . Параметрические уравнения трохоиды, для которой $L$ является $осью x,$ имеют вид

{\begin{aligned}&x=a\theta -b\sin \theta \\&y=a-b\cos \theta \end{aligned}}

где $θ$ — переменный угол, на который катится круг.

Курчатая, обыкновенная, вытянутая

Если $P$ лежит внутри круга ( $b < a$ ), на его окружности ( $b = a$ ) или снаружи ( $b > a$ ), трохоида описывается как курчатая («сжатая»), общая или вытянутая («расширенная»). ), соответственно. ^[3] Куртатная трохоида прослеживается педалью (относительно земли), когда велосипед с нормальной передачей крутится по прямой. ^[4] Вытянутая ; трохоида очерчивается кончиком весла (относительно поверхности воды), когда лодка движется с постоянной скоростью гребными колесами эта кривая содержит петли. Обычная трохоида, также называемая , имеет заострения в точках, где $P$ касается линии $L.$ циклоидой

Общее описание

Более общий подход определил бы трохоиду как геометрическое место точки. $(x,y)$ вращается с постоянной скоростью вокруг оси, расположенной в $(x',y')$ ,

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,

какая ось перемещается в плоскости xy с постоянной скоростью по прямой ,

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}

или круговой путь (другая орбита) вокруг $(x_{0},y_{0})$ ( случай гипотрохоиды / эпитрохоиды ),

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}

Соотношение скоростей движения и то, движется ли движущаяся ось по прямой или круговой траектории, определяет форму трохоиды. В случае прямой траектории один полный оборот совпадает с одним периодом периодического (повторяющегося) локуса. В случае круговой траектории движущейся оси траектория является периодической только в том случае, если соотношение этих угловых движений $\omega _{1}/\omega _{2}$ , является рациональным числом, скажем $p/q$ , где $p$ & $q$ взаимно просты , и в этом случае один период состоит из $p$ вращается вокруг движущейся оси и $q$ орбиты движущейся оси вокруг точки $(x_{0},y_{0})$ . Особые случаи эпициклоиды и гипоциклоиды , возникающие путем отслеживания местоположения точки на периметре круга радиуса. $r_{1}$ пока он катится по периметру неподвижного круга радиуса $R$ , имеют следующие свойства:

{\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cusps}}\\{\text{hypocycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cusps}}\end{array}}

где $r_{2}$ – радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество выступов также справедливо для любой эпитрохоиды и гипотрохоиды, при этом «каспы» заменяются либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами».

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Трохоид» . Математический мир .
^ Уитмен, Э.А. (1943). «Некоторые исторические заметки о циклоиде». Американский математический ежемесячник . 50 : 309–315. дои : 10.1080/00029890.1943.11991383 . JSTOR 2302830 .
^ «Трохоид» . Кса Математика . Проверено 4 октября 2014 г.
^ Головоломка с перетаскиванием велосипеда . Ютуб . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.

Внешние ссылки

Онлайн-эксперименты с трохоидой с использованием JSXGraph

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Трохоид» . Математический мир .

[2] Уитмен, Э.А. (1943). «Некоторые исторические заметки о циклоиде». Американский математический ежемесячник . 50 : 309–315. дои : 10.1080/00029890.1943.11991383 . JSTOR 2302830 .

[3] «Трохоид» . Кса Математика . Проверено 4 октября 2014 г.

[4] Головоломка с перетаскиванием велосипеда . Ютуб . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]