Гипоциклоида

В геометрии гипоциклоида образованная — это особая плоская кривая, следом неподвижной точки на маленьком круге , который катится внутри большего круга. По мере увеличения радиуса большего круга гипоциклоида становится больше похожей на циклоиду, созданную путем катания круга по прямой.

История

Гипоциклоида с двумя выступами, называемая парой Туси, XIII века была впервые описана персидским астрономом и математиком Насир ад-Дином ат-Туси в Тахрир аль-Маджисти (Комментарий к Альмагесту) . ^[1]^[2] Немецкий художник и немецкий теоретик эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер описал эпитрохоиды в 1525 году, а позже Ремер и Бернулли сосредоточились на некоторых конкретных гипоциклоидах, таких как астроиды, в 1674 и 1691 годах соответственно. ^[3]

Характеристики

Если меньший круг имеет радиус $r$ , а больший круг имеет радиус $R = kr$ , то параметрические уравнения для кривой могут быть заданы следующим образом: ${\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}$ или: ${\begin{aligned}&x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\end{aligned}}$

Если $k$ — целое число, то кривая замкнута и имеет $k$ точек возврата (т. е. острые углы, где кривая не является дифференцируемый ). Специально для $k = 2$ кривая представляет собой прямую линию, а круги называются парой Туси. Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто описал эти гипоциклоиды и их применение в высокоскоростной печати . ^[4]^[5]

Если $k$ — рациональное число , скажем, $k = p / q,$ выраженное простейшими терминами, то кривая имеет $p$ точек возврата.

Если $k$ — иррациональное число , то кривая никогда не замыкается и заполняет пространство между большим кругом и кругом радиуса $R - 2 r$ .

Каждая гипоциклоида (при любом значении $r$ ) представляет собой брахистохрону гравитационного потенциала внутри однородной сферы $R.$ радиуса ^[6]

Площадь, окруженная гипоциклоидой, определяется как: ^[3]^[7]

$A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}$

Длина дуги гипоциклоиды определяется выражением: ^[7]

$s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r$

Примеры

Примеры гипоциклоиды
k=3 → дельтовидная мышца
k=4 → астроид
k=5 → пентоид
k=6 → экзоид
к=2,1 = 21/10
к=3,8 = 19/5
к=5,5 = 11/2
к=7,2 = 36/5

Гипоциклоида — это особый вид гипотрохоиды , представляющий собой особый вид рулетки .

Гипоциклоида с тремя бугорками называется дельтовидной мышцей .

Гипоциклоида с четырьмя точками возврата называется астроидой .

Гипоциклоида с двумя «каспами» — это вырожденный, но все же очень интересный случай, известный как пара Туси .

Связь с теорией групп

Любая гипоциклоида с целым значением k и, следовательно, k точек возврата, может плотно перемещаться внутри другой гипоциклоиды с k +1 точками возврата, так что точки меньшей гипоциклоиды всегда будут соприкасаться с большей. Это движение выглядит как «качение», хотя технически оно не является качкой в смысле классической механики, поскольку предполагает скольжение.

Гипоциклоидные формы могут быть связаны со специальными унитарными группами , обозначаемыми SU( k ), которые состоят из унитарных матриц размера k × k с определителем 1. Например, допустимые значения суммы диагональных элементов для матрицы в SU(3) равны именно точки комплексной плоскости лежат внутри гипоциклоиды трех каспов (дельтоиды). Аналогично, суммирование диагональных элементов матриц SU(4) дает точки внутри астроиды и так далее.

Благодаря этому результату можно использовать тот факт, что SU( k ) вписывается внутрь SU( k+1 ) как подгруппа , чтобы доказать, что эпициклоида с k точками возврата плотно движется внутри эпициклоиды с k +1 точками возврата. ^[8]^[9]

Производные кривые

Эволюта а гипоциклоиды представляет собой увеличенную версию самой гипоциклоиды, развертка . гипоциклоиды представляет собой уменьшенную копию самой себя ^[10]

Педаль гипоциклоиды с шестом в центре гипоциклоиды имеет форму розы .

Изоптика . гипоциклоиды является гипоциклоидой

Гипоциклоиды в популярной культуре

Кривые, похожие на гипоциклоиды, можно нарисовать с помощью игрушки «Спирограф» . В частности, спирограф может рисовать гипотрохоиды и эпитрохоиды .

Логотип « Питтсбург Стилерс », основанный на Steelmark , включает в себя три астроида (гипоциклоиды с четырьмя куспидами ). В своей еженедельной колонке на сайте NFL.com «Квотербек во вторник утром» Грегг Истербрук часто называет Стилерс «гипоциклоидами». Чилийская футбольная команда CD Huachipato основала свой герб на логотипе «Стилерс», и поэтому на нем изображены гипоциклоиды.

В первом сезоне сериала Дрю Кэри «Цена правильная » есть астроиды на трех главных дверях, гигантский ценник и зона проигрывателя. Астроиды на дверях и проигрывателе проигрывателей были удалены, когда шоу перешло на вещание в высоком разрешении , начиная с 2008 года, и сегодня они сохранились только на гигантском ценнике. ^[11]

См. также

Рулетка (кривая)
Особые случаи: пара Туси , астроид , дельтовидная мышца.
Список периодических функций
Циклогон
Эпициклоида
Гипотрохоид
Эпитрохоид
Спирограф
Флаг Портленда, штат Орегон , с изображением гипоциклоиды. ^[12]
Гипоциклоидальный двигатель Мюррея , используется пара туси . в котором вместо кривошипа

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Пара Туси» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 февраля 2023 г.
^ Блейк, Стивен П. (08 апреля 2016 г.). Астрономия и астрология в исламском мире . Издательство Эдинбургского университета. ISBN 978-0-7486-4911-2 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Область, окруженная общей гипоциклоидой» (PDF) . Геометрические выражения . Проверено 12 января 2019 г.
^ Уайт, Г. (1988), «Эпициклические передачи, применяемые в ранних паровых двигателях», Mechanism and Machine Theory , 23 (1): 25–37, doi : 10.1016/0094-114X(88)90006-7 , Ранний опыт показал, что гипоциклоидный механизм был конструктивно непригоден для передачи больших сил, развиваемых поршнем паровой машины. Но механизм показал свою способность преобразовывать линейное движение во вращательное и поэтому нашел альтернативные применения с низкой нагрузкой, такие как привод печатных и швейных машин.
^ Шир, Збинек; Бастл, Богумир; Лавичка, Мирослав (2010), «Интерполяция Эрмита гипоциклоидами и эпициклоидами с рациональными смещениями», Computer Aided Geometric Design , 27 (5): 405–417, doi : 10.1016/j.cagd.2010.02.001 , Дж. Кардано был первым описал применение гипоциклоидов в технологии высокоскоростной печатной машины (1570 г.).
^ Рана, Нараян Чандра; Джоаг, Прамод Шарадчандра (2001), «7.5 Бархистохроны и таутохроны внутри гравитирующей однородной сферы» , Классическая механика , Тата МакГроу-Хилл, стр. 230–2, ISBN 0-07-460315-9
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Гипоциклоида» . Вольфрам Математический мир . Проверено 16 января 2019 г.
^ Баэз, Джон. «Дельтовидная мышца вращается внутри астроида» . Блоги АМС . Американское математическое общество . Проверено 22 декабря 2013 г.
^ Баэз, Джон (3 декабря 2013 г.). «Вращающиеся гипоциклоиды» . Блог Азимута . Проверено 22 декабря 2013 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоидная эволюция» . Математический мир . Вольфрам Исследования.
^ Келлер, Джоэл (21 августа 2007 г.). «Взгляд на цену Дрю Кэри правильная» . Телевизионный отряд . Архивировано из оригинала 27 мая 2010 года.
^ Тромбольд, Джон; Донахью, Питер, ред. (2006), Ридинг Портленд: Город в прозе , Oregon Historical Society Press, стр. xvi, ISBN 9780295986777 , В центре флага находится звезда — технически гипоциклоида — которая представляет город в месте слияния двух рек.

Дальнейшее чтение

Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 168, 171–173 . ISBN 0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоида» . Математический мир .
«Гипоциклоида» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гипоциклоида» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
Бесплатный инструмент Javascript для создания кривых гипоцилоиды.
Анимация эпициклоидов, перициклоидов и гипоциклоидов
Построить Гипциклоиду — GeoFun
Снайдер, Джон. «Сфера с туннельной брахистохроной» . Демонстрационный проект Wolfram . Итеративная демонстрация, показывающая свойство брахистохронности гипоциклоиды.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Пара Туси» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 февраля 2023 г.

[2] Блейк, Стивен П. (08 апреля 2016 г.). Астрономия и астрология в исламском мире . Издательство Эдинбургского университета. ISBN 978-0-7486-4911-2 .

[:1-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Область, окруженная общей гипоциклоидой» (PDF) . Геометрические выражения . Проверено 12 января 2019 г.

[:0-4] Уайт, Г. (1988), «Эпициклические передачи, применяемые в ранних паровых двигателях», Mechanism and Machine Theory , 23 (1): 25–37, doi : 10.1016/0094-114X(88)90006-7 , Ранний опыт показал, что гипоциклоидный механизм был конструктивно непригоден для передачи больших сил, развиваемых поршнем паровой машины. Но механизм показал свою способность преобразовывать линейное движение во вращательное и поэтому нашел альтернативные применения с низкой нагрузкой, такие как привод печатных и швейных машин.

[5] Шир, Збинек; Бастл, Богумир; Лавичка, Мирослав (2010), «Интерполяция Эрмита гипоциклоидами и эпициклоидами с рациональными смещениями», Computer Aided Geometric Design , 27 (5): 405–417, doi : 10.1016/j.cagd.2010.02.001 , Дж. Кардано был первым описал применение гипоциклоидов в технологии высокоскоростной печатной машины (1570 г.).

[6] Рана, Нараян Чандра; Джоаг, Прамод Шарадчандра (2001), «7.5 Бархистохроны и таутохроны внутри гравитирующей однородной сферы» , Классическая механика , Тата МакГроу-Хилл, стр. 230–2, ISBN 0-07-460315-9

[Wolfram-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Гипоциклоида» . Вольфрам Математический мир . Проверено 16 января 2019 г.

[8] Баэз, Джон. «Дельтовидная мышца вращается внутри астроида» . Блоги АМС . Американское математическое общество . Проверено 22 декабря 2013 г.

[9] Баэз, Джон (3 декабря 2013 г.). «Вращающиеся гипоциклоиды» . Блог Азимута . Проверено 22 декабря 2013 г.

[10] Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоидная эволюция» . Математический мир . Вольфрам Исследования.

[11] Келлер, Джоэл (21 августа 2007 г.). «Взгляд на цену Дрю Кэри правильная» . Телевизионный отряд . Архивировано из оригинала 27 мая 2010 года.

[12] Тромбольд, Джон; Донахью, Питер, ред. (2006), Ридинг Портленд: Город в прозе , Oregon Historical Society Press, стр. xvi, ISBN 9780295986777 , В центре флага находится звезда — технически гипоциклоида — которая представляет город в месте слияния двух рек.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]