Список периодических функций

Это список некоторых известных периодических функций . Постоянная функция f ( x ) = c , где c не зависит от x , является периодической с любым периодом, но не имеет фундаментального периода . Определения даны для некоторых из следующих функций, хотя каждая функция может иметь множество эквивалентных определений.

Плавные функции

Все перечисленные тригонометрические функции имеют период $2\pi$, если не указано иное. Для следующих тригонометрических функций:

U _n — n- ное число вверх/вниз ,

B _{n —} - е n число Бернулли.

в эллиптических функциях Якоби, $q=e^{-\pi {\frac {K(1-m)}{K(m)}}}$

Имя	Символ	Формула	Ряд Фурье
Его	$\sin(x)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$	$\sin(x)$
cas (математика)	$\operatorname {cas} (x)$	$\sin(x)+\cos(x)$	$\sin(x)+\cos(x)$
Косинус	$\cos(x)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$	$\cos(x)$
цис (математика)	$e^{ix},\operatorname {cis} (x)$	потому что ( х ) + я грех ( х )	$\cos(x)+i\sin(x)$
Касательная	$\tan(x)$	${\frac {\sin x}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$	$2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\sin(2nx)$
Котангенс	$\cot(x)$	${\frac {\cos x}{\sin x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$	$i+2i\sum _{n=1}^{\infty }(\cos 2nx-i\sin 2nx)$
секанс	$\sec(x)$	${\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}$	-
Косеканс	$\csc(x)$	${\frac {1}{\sin x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$	-
Дайте им высохнуть	$\operatorname {exsec} (x)$	$\sec(x)-1$	-
Экзосеканс	$\operatorname {excsc} (x)$	$\csc(x)-1$	-
Его версия	$\operatorname {versin} (x)$	$1-\cos(x)$	$1-\cos(x)$
Веркозин	$\operatorname {vercosin} (x)$	$1+\cos(x)$	$1+\cos(x)$
Коверсинус	$\operatorname {coversin} (x)$	$1-\sin(x)$	$1-\sin(x)$
Коверкосинус	$\operatorname {covercosin} (x)$	$1+\sin(x)$	$1+\sin(x)$
Хаверсин	$\operatorname {haversin} (x)$	${\frac {1-\cos(x)}{2}}$	${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos(x)$
Гаверкосинус	$\operatorname {havercosin} (x)$	${\frac {1+\cos(x)}{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(x)$
Хаковерсин	$\operatorname {hacoversin} (x)$	${\frac {1-\sin(x)}{2}}$	${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(x)$
Хаковеркозин	$\operatorname {hacovercosin} (x)$	${\frac {1+\sin(x)}{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sin(x)$
Эллиптическая функция Якоби sn	$\operatorname {sn} (x,m)$	$\sin \operatorname {am} (x,m)$	${\frac {2\pi }{K(m){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}~\sin {\frac {(2n+1)\pi x}{2K(m)}}$
Эллиптическая функция Якоби cn	$\operatorname {cn} (x,m)$	$\cos \operatorname {am} (x,m)$	${\frac {2\pi }{K(m){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}~\cos {\frac {(2n+1)\pi x}{2K(m)}}$
Эллиптическая функция Якоби dn	$\operatorname {dn} (x,m)$	${\sqrt {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x,m)}}$	${\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}~\cos {\frac {n\pi x}{K(m)}}$
Эллиптическая функция Якоби zn	$\operatorname {zn} (x,m)$	$\int _{0}^{x}\left[\operatorname {dn} (t,m)^{2}-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]dt$	${\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}~\sin {\frac {n\pi x}{K(m)}}$
Эллиптическая функция Вейерштрасса	$\wp (x,\Lambda )$	${\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda -\{0\}}\left[{\frac {1}{(x-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right]$	${\displaystyle }$
Функция Клаузена	$\operatorname {Cl} _{2}(x)$	$-\int _{0}^{x}\ln \left|2\sin {\frac {t}{2}}\right|dt$	$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin kx}{k^{2}}}$

Негладкие функции

Следующие функции имеют период $p$ и возьми $x$ в качестве их аргумента. Символ $\lfloor n\rfloor$ это пола функция $n$ и $\operatorname {sgn}$ это знаковая функция .

K означает эллиптический интеграл K(m)

Имя	Формула	Лимит	Ряд Фурье	Примечания
Треугольная волна	${\frac {4}{p}}\left(x-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$	$\lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {zs} \left({\frac {4Kx}{p}}-K,m\right)$	${\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n^{2}}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)$	прерывистая первая производная
Пилообразная волна	$2\left({\frac {x}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {x}{p}}\right\rfloor \right)$	$-\lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {zn} \left({\frac {2Kx}{p}}+K,m\right)$	${\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)$	непостоянный
Прямоугольная волна	$\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi x}{p}}\right)$	$\lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {sn} \left({\frac {4Kx}{p}},m\right)$	${\frac {4}{\pi }}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {1}{n}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)$	непостоянный
Пульсовая волна	$H\left(\cos {\frac {2\pi x}{p}}-\cos {\frac {\pi t}{p}}\right)$ где $H$ это ступенчатая функция Хевисайда t — как долго пульс остается на уровне 1		${\frac {t}{p}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n\pi }}\sin \left({\frac {\pi nt}{p}}\right)\cos \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)$	непостоянный
Величина синусоидальной волны с амплитудой A и периодом p/2	$A\left|\sin {\frac {\pi x}{p}}\right|$		${\frac {4A}{2\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4A}{\pi }}{\frac {1}{4n^{2}-1}}\cos {\frac {2\pi nx}{p}}$	непостоянный
циклоида	${\frac {p-p\cos \left(f^{(-1)}\left({\frac {2\pi x}{p}}\right)\right)}{2\pi }}$ данный $f(x)=x-\sin(x)$ и $f^{(-1)}(x)$ является его действительное обратное значение .		${\frac {p}{\pi }}{\biggl (}{\frac {3}{4}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {J} _{n}(n)-\operatorname {J} _{n-1}(n)}{n}}\cos {\frac {2\pi nx}{p}}{\biggr )}$ где $\operatorname {J} _{n}(x)$ – функция Бесселя первого рода .	прерывистая первая производная
Гребень Дирака	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-np)$	$\lim _{m\rightarrow 1^{-}}{\frac {2K(m)}{p\pi }}\operatorname {dn} \left({\frac {2Kx}{p}},m\right)$	${\frac {1}{p}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2n\pi ix}{p}}$	непостоянный
Функция Дирихле	${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}$	$\lim _{m,n\rightarrow \infty }\cos ^{2m}(n!x\pi )$	-	непостоянный

Векторные функции

• Эпитрохоид
• Эпициклоида (частный случай эпитрохоиды)
• Лимасон (особый случай эпитрохоиды)
• Гипотрохоид
• Гипоциклоида (частный случай гипотрохоиды)
• Спирограф (частный случай гипотрохоида)

Двоякопериодические функции

• Эллиптические функции Якоби
• Эллиптическая функция Вейерштрасса