Прямоугольная волна

Эта статья о форме волны. Чтобы узнать о типе поверхностных волн океана, см. « Пересечение моря» .

Прямоугольная волна
Синусоидальная , прямоугольная, треугольная и пилообразная формы сигналов.
Общая информация
Общее определение	$x(t)=4\left\lfloor t\right\rfloor -2\left\lfloor 2t\right\rfloor +1,2t\notin \mathbb {Z}$
Области применения	Электроника, синтезаторы
Домен, кодомен и изображение
Домен	$\mathbb {R} \setminus \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z}$
Кодомен	$\left\{-1,1\right\}$
Основные функции
Паритет	Странный
Период	1
Первообразная	Треугольная волна
ряд Фурье	$x(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)$

Прямоугольная волна — это несинусоидальный периодический сигнал , в котором амплитуда чередуется с постоянной частотой между фиксированными минимальными и максимальными значениями, с одинаковой длительностью в минимальном и максимальном значениях. В идеальной прямоугольной волне переходы между минимумом и максимумом происходят мгновенно.

Прямоугольная волна — это особый случай пульсовой волны , которая допускает произвольную длительность при минимальной и максимальной амплитуде. Отношение высокого периода к общему периоду пульсовой волны называется рабочим циклом . Настоящая прямоугольная волна имеет рабочий цикл 50% (равные высокие и низкие периоды).

Прямоугольные волны часто встречаются в электронике и обработке сигналов , особенно в цифровой электронике и цифровой обработке сигналов . Ее стохастический аналог — траектория с двумя состояниями .

Происхождение и использование

Прямоугольные волны повсеместно встречаются в цифровых переключающих схемах и естественным образом генерируются устройствами двоичной (двухуровневой) логики. Они используются в качестве опорных сигналов синхронизации или « тактовых сигналов », поскольку их быстрые переходы подходят для запуска синхронных логических схем через точно определенные интервалы. Однако, как показывает график в частотной области, прямоугольные волны содержат широкий диапазон гармоник; они могут генерировать электромагнитное излучение или импульсы тока, которые мешают работе других близлежащих цепей, вызывая шум или ошибки. Чтобы избежать этой проблемы в очень чувствительных схемах, таких как прецизионные аналого-цифровые преобразователи , синусоидальные волны в качестве опорных сигналов синхронизации вместо прямоугольных сигналов используются .

В музыкальном плане их часто описывают как полые по звучанию, и поэтому они используются в качестве основы для духовых инструментов, звуков созданных с помощью субтрактивного синтеза . Они также составляют «звуковые» сигналы тревоги, используемые во многих бытовых, коммерческих и промышленных условиях. Кроме того, эффект искажения, используемый на электрогитарах, отсекает самые отдаленные области сигнала, в результате чего по мере увеличения искажений он все больше напоминает прямоугольную волну.

Простые двухуровневые функции Радемахера представляют собой прямоугольные волны.

Определения

Прямоугольная волна в математике имеет множество определений, которые эквивалентны, за исключением разрывов:

Его можно определить просто как знаковую функцию синусоиды:

$${\begin{aligned}x(t)&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\sin 2\pi ft)\\v(t)&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\cos 2\pi ft),\end{aligned}}$$

который будет равен 1, когда синусоида положительна, -1, когда синусоида отрицательна, и 0 на разрывах. Здесь T — период прямоугольной волны, а f — ее частота, которые связаны уравнением f = 1/ T .

Прямоугольная волна также может быть определена относительно ступенчатой ​​функции Хевисайда u ( t ) или прямоугольной функции Π ( t ):

$${\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {2(t-nT)}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left({\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1.\end{aligned}}$$

Прямоугольную волну также можно сгенерировать напрямую с помощью функции пола :

$$x(t)=2\left(2\lfloor ft\rfloor -\lfloor 2ft\rfloor \right)+1$$

и косвенно:

$$x(t)=\left(-1\right)^{\lfloor 2ft\rfloor }.$$

Используя ряд Фурье (ниже), можно показать, что функцию пола можно записать в тригонометрической форме.

$${\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\tan \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)+{\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)$$

Анализ Фурье

Шесть стрелок представляют первые шесть членов ряда Фурье прямоугольной волны. Два круга внизу представляют собой точную прямоугольную волну (синий) и ее приближение ряда Фурье (фиолетовый).

(Нечетные) гармоники прямоугольной волны частотой 1000 Гц

График, показывающий первые три члена ряда Фурье прямоугольной волны

Используя разложение Фурье с частотой цикла f по времени t , идеальную прямоугольную волну с амплитудой 1 можно представить как бесконечную сумму синусоидальных волн:

$${\begin{aligned}x(t)&={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi (2k-1)ft\right)}{2k-1}}\\&={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\ldots \right),&{\text{where }}\omega =2\pi f.\end{aligned}}$$

Идеальная прямоугольная волна содержит только компоненты нечетно-целых гармонических частот (формы 2π(2 k − 1) f ).

Интересной особенностью сходимости ряд Фурье представления прямоугольной волны в является явление Гиббса . Можно показать, что артефакты звона в неидеальных прямоугольных волнах связаны с этим явлением. Феномен Гиббса можно предотвратить с помощью σ-аппроксимации , которая использует сигма-факторы Ланцоша, чтобы помочь последовательности сходиться более плавно.

Идеальная математическая прямоугольная волна мгновенно переключается между высоким и низким состоянием, без занижения или превышения. Этого невозможно достичь в физических системах, поскольку для этого потребуется бесконечная полоса пропускания .

Анимация аддитивного синтеза прямоугольного сигнала с возрастающим числом гармоник

Прямоугольные волны в физических системах имеют только конечную полосу пропускания и часто демонстрируют эффекты звона , подобные эффектам явления Гиббса, или эффекты пульсации, аналогичные эффектам σ-приближения.

Для разумного приближения к форме прямоугольной волны должны присутствовать как минимум основная и третья гармоника, причем пятая гармоника желательна. Эти требования к полосе пропускания важны в цифровой электронике, где используются аналоговые аппроксимации сигналов прямоугольной формы с конечной полосой пропускания. (Звенящие переходные процессы являются здесь важным электронным фактором, поскольку они могут выйти за пределы электрических характеристик цепи или привести к многократному пересечению неудачно установленного порога.)

Характеристики

Как уже упоминалось, идеальная прямоугольная волна имеет мгновенные переходы между высоким и низким уровнями. На практике этого никогда не достигается из-за физических ограничений системы, генерирующей сигнал. Время, необходимое для того, чтобы сигнал поднялся с низкого уровня до высокого уровня и обратно, называется временем нарастания и временем спада соответственно.

Если система чрезмерно демпфирована , то форма волны может никогда не достичь теоретических высокого и низкого уровней, а если система недостаточно демпфирована, она будет колебаться около высокого и низкого уровней, прежде чем успокоиться. В этих случаях время нарастания и спада измеряется между указанными промежуточными уровнями, например 5 % и 95 % или 10 % и 90 %. Пропускная способность системы связана со временем перехода формы сигнала; существуют формулы, позволяющие приближенно определить одно из другого.

См. также

• Список периодических функций
• Прямоугольная функция
• Пульсовая волна
• Синусоидальная волна
• Треугольная волна
• Пилообразная волна
• Форма волны
• Звук
• Мультивибратор
• Постановление Рончи , полосовая мишень прямоугольной формы, используемая при визуализации.
• Пересечь море
• Кларнет — музыкальный инструмент, производящий странные обертоны, напоминающие прямоугольную волну.

Внешние ссылки

• Разложение Фурье прямоугольной волны. Интерактивная демонстрация синтеза прямоугольных волн с использованием синусоидальных волн с сайта GeoGebra.
• Прямоугольная волна, аппроксимированная синусоидами. Интерактивная демонстрация синтеза прямоугольных волн с использованием синусоидальных волн.
• Флеш-апплеты Прямоугольная волна.