Эллиптические функции Якоби

В математике эллиптические функции Якоби представляют собой набор основных эллиптических функций . Они встречаются при описании движения маятника (см. также маятник (математика) ), а также при проектировании электронных эллиптических фильтров . В то время как тригонометрические функции определяются со ссылкой на круг, эллиптические функции Якоби являются обобщением, которое относится к другим коническим сечениям , в частности к эллипсу. Связь с тригонометрическими функциями содержится в обозначениях, например, совпадающим обозначением $\operatorname {sn}$ для $\sin$. Эллиптические функции Якоби чаще используются в практических задачах, чем эллиптические функции Вейерштрасса , поскольку они не требуют определения и/или понимания понятий комплексного анализа. Их представил Карл Густав Якоб Якоби ( 1829 ). Карл Фридрих Гаусс уже изучал специальные эллиптические функции Якоби в 1797 году, лемнискатные эллиптические функции : в частности но его работа была опубликована гораздо позже.

Обзор

Основной прямоугольник в комплексной плоскости $u$

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби, обозначаемых $\operatorname {pq} (u,m)$, где $\mathrm {p}$ и $\mathrm {q}$ какие-нибудь буквы $\mathrm {c}$, $\mathrm {s}$, $\mathrm {n}$, и $\mathrm {d}$. (Функции вида $\operatorname {pp} (u,m)$ тривиально равны единице для полноты обозначений.) $u$ это аргумент, и $m$ — параметр, оба из которых могут быть комплексными. Фактически эллиптические функции Якоби мероморфны как в $u$ и $m$. Распределение нулей и полюсов в $u$-Самолет хорошо известен. Однако вопросы распределения нулей и полюсов в $m$-Самолет еще предстоит расследовать.

В комплексной плоскости рассуждения $u$Двенадцать функций образуют повторяющуюся решетку простых полюсов и нулей . В зависимости от функции один повторяющийся параллелограмм или элементарная ячейка будет иметь стороны длины $2K$ или $4K$ на действительной оси, и $2K'$ или $4K'$ на мнимой оси, где $K=K(m)$ и $K'=K(1-m)$ известны как квартальные периоды с $K(\cdot )$ эллиптический интеграл первого рода. Природу элементарной ячейки можно определить, исследуя «вспомогательный прямоугольник» (обычно параллелограмм), который представляет собой прямоугольник, образованный началом координат. $(0,0)$ в одном углу и $(K,K')$ как диагонально противоположный угол. Как и на схеме, четыре угла вспомогательного прямоугольника названы $\mathrm {s}$, $\mathrm {c}$, $\mathrm {d}$, и $\mathrm {n}$, идя против часовой стрелки от начала координат. Функция $\operatorname {pq} (u,m)$ будет иметь ноль в $\mathrm {p}$ угол и столб на $\mathrm {q}$ угол. Двенадцать функций соответствуют двенадцати способам расположения полюсов и нулей в углах прямоугольника.

Когда аргумент $u$ и параметр $m$ настоящие, с $0<m<1$, $K$ и $K'$ будет действительным, а вспомогательный параллелограмм фактически будет прямоугольником, а все эллиптические функции Якоби будут иметь действительные значения на действительной прямой.

Поскольку эллиптические функции Якоби являются двоякопериодическими по $u$, они факторизуются через тор - по сути, их областью определения можно считать тор, точно так же, как косинус и синус фактически определяются на окружности. Вместо одного круга теперь у нас есть произведение двух кругов: реального и воображаемого. Комплексную плоскость можно заменить комплексным тором . Длина окружности первого круга равна $4K$ и второй $4K'$, где $K$ и $K'$ представляют собой квартальные периоды . Каждая функция имеет два нуля и два полюса в противоположных положениях тора. Среди точек $0$, $K$, $K+iK'$, $iK'$ есть один ноль и один полюс.

Эллиптические функции Якоби тогда являются двоякопериодическими мероморфными функциями, удовлетворяющими следующим свойствам:

• В углу простой ноль $\mathrm {p}$, и простой столб в углу $\mathrm {q}$.
• Комплексное число $\mathrm {p} -\mathrm {q}$ равен половине периода функции $\operatorname {pq} u$; то есть функция $\operatorname {pq} u$ периодичен в направлении $\operatorname {pq}$, причем период составляет $2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )$. Функция $\operatorname {pq} u$ также периодичен в двух других направлениях $\mathrm {pp} '$ и $\mathrm {pq} '$, с такими периодами, что $\mathrm {p} -\mathrm {p} '$ и $\mathrm {p} -\mathrm {q} '$ представляют собой квартальные периоды.

Эллиптическая функция Якоби $\operatorname {sn}$

Эллиптическая функция Якоби $\operatorname {cn}$

Эллиптическая функция Якоби $\operatorname {dn}$

Эллиптическая функция Якоби $\operatorname {sc}$

Графики четырех эллиптических функций Якоби на комплексной плоскости $u$, иллюстрирующее их двойное периодическое поведение. Изображения, созданные с использованием версии метода окраски доменов . Все имеют значения $k={\sqrt {m}}$ равный $0.8$.

Обозначения

Эллиптические функции могут быть заданы в различных обозначениях, что может излишне запутать предмет. Эллиптические функции — это функции двух переменных. Первая переменная может быть задана через амплитуду $\varphi$или, чаще, с точки зрения $u$ приведено ниже. Вторая переменная может быть задана через параметр $m$, или как эллиптический модуль $k$, где $k^{2}=m$, или в терминах модульного угла $\alpha$, где $m=\sin ^{2}\alpha$. Дополнения $k$ и $m$ определяются как $m'=1-m$ и ${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$. Эти четыре термина используются ниже без комментариев для упрощения различных выражений.

Двенадцать эллиптических функций Якоби обычно записываются как $\operatorname {pq} (u,m)$ где $\mathrm {p}$ и $\mathrm {q}$ какие-нибудь буквы $\mathrm {c}$, $\mathrm {s}$, $\mathrm {n}$, и $\mathrm {d}$. Функции формы $\operatorname {pp} (u,m)$ тривиально равны единице для полноты обозначений. «Основными» функциями обычно считаются $\operatorname {cn} (u,m)$, $\operatorname {sn} (u,m)$ и $\operatorname {dn} (u,m)$ из которых могут быть выведены все остальные функции, и выражения часто пишутся исключительно через эти три функции, однако различные симметрии и обобщения часто удобнее всего выражать с использованием полного набора. (Эти обозначения принадлежат Гудерману и Глейшеру и не являются оригинальными обозначениями Якоби.)

На протяжении всей этой статьи $\operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)$.

Функции условно связаны друг с другом правилом умножения: (аргументы подавлены)

$\operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q}$

из которых могут быть получены другие часто используемые отношения:

${\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq}$

$\operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq}$

${\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq}$

Правило умножения следует непосредственно из отождествления эллиптических функций с тэта-функциями Невилла.

$\operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}$

Также обратите внимание, что:

$K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.$

Определение в терминах обратных эллиптических интегралов

Модель амплитуды Якоби (измеренной вдоль вертикальной оси) как функция независимых переменных u и модуля k

Существует определение, связывающее эллиптические функции с обратными к неполному эллиптическому интегралу первого рода. $F$. Эти функции принимают параметры $u$ и $m$ в качестве входов. $\varphi$ это удовлетворяет

$u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}$

называется амплитудой Якоби :

$\operatorname {am} (u,m)=\varphi .$

В этой схеме эллиптический синус sn u (лат. sinus amplitudinis ) определяется выражением

$\operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)$

а эллиптический косинус cn u (лат. cosinus amplitudinis ) определяется выражением

$\operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)$

и дельта-амплитуда dn u (лат. delta amplitudinis )

$\operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).$

В приведенном выше значении $m$ — свободный параметр, который обычно считается действительным, так что $0\leq m\leq 1$ (но в целом могут быть сложными), поэтому эллиптические функции можно рассматривать как заданные двумя переменными: $u$ и параметр $m$. Остальные девять эллиптических функций легко строятся из трех приведенных выше ( $\operatorname {sn}$, $\operatorname {cn}$, $\operatorname {dn}$), и приведены в разделе ниже.

В самой общей ситуации $\operatorname {am} (u,m)$ является многозначной функцией (в $u$) с бесконечным числом логарифмических точек ветвления (ветви отличаются на целое число, кратное $2\pi$), а именно точки $2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i$ и $2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i$ где $s,t\in \mathbb {Z}$. Эту многозначную функцию можно сделать однозначной, разрезав комплексную плоскость по отрезкам, соединяющим эти точки ветвления (разрезание можно производить неэквивалентными способами, давая неэквивалентные однозначные функции), таким образом сделав $\operatorname {am} (u,m)$ аналитичен везде, кроме разрезов ветвей . В отличие, $\sin \operatorname {am} (u,m)$ и другие эллиптические функции не имеют точек ветвления, дают согласованные значения для каждой ветви $\operatorname {am}$, и мероморфны во всей комплексной плоскости. Поскольку каждая эллиптическая функция мероморфна во всей комплексной плоскости (по определению), $\operatorname {am} (u,m)$ (если рассматривать его как однозначную функцию) не является эллиптической функцией.

Однако особая обрезка для $\operatorname {am} (u,m)$ можно сделать в $u$-плоскость по отрезкам линий из $2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i$ к $2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i$ с $s,t\in \mathbb {Z}$; тогда остается только определиться $\operatorname {am} (u,m)$ при этом ветка разрезает непрерывность с некоторого направления. Затем $\operatorname {am} (u,m)$ становится однозначным и однопериодическим в $u$ с минимальным периодом $4iK(1-m)$ и имеет особенности в упомянутых выше точках логарифмического ветвления. Если $m\in \mathbb {R}$ и $m\leq 1$, $\operatorname {am} (u,m)$ является непрерывным в $u$ на реальной линии. Когда $m>1$, срезы ветвей $\operatorname {am} (u,m)$ в $u$-плоскость пересекает действительную линию в $2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}$ для $s\in \mathbb {Z}$; поэтому для $m>1$, $\operatorname {am} (u,m)$ не является непрерывным в $u$ на реальной линии и прыгает мимо $2\pi$ о разрывах.

Позволять

$E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta$

– неполный эллиптический интеграл второго рода с параметром $m$.

Тогда эпсилон-функция Якоби может быть определена как

${\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)$

для $u\in \mathbb {R}$ и $0<m<1$ и аналитическим продолжением по каждой из переменных в противном случае: эпсилон-функция Якоби мероморфна во всей комплексной плоскости (как в $u$ и $m$). Альтернативно, на протяжении обоих $u$-самолет и $m$-самолет,

${\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t.$

Таким образом, эпсилон Якоби связывает неполный эллиптический интеграл первого рода с неполным эллиптическим интегралом второго рода:

$E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).$

Эпсилон-функция Якоби не является эллиптической функцией, но появляется при дифференцировании эллиптических функций Якоби по параметру.

Функция Якоби zn определяется формулой

$\operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.$

Это однопериодическая функция, мероморфная по $u$, но не в $m$ (из-за обрезки ветвей $E$ и $K$). Его минимальный период в $u$ является $2K(m)$. Это связано с дзета-функцией Якоби соотношением $Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).$

Обратите внимание, что когда $\varphi =\pi /2$, что $u$ тогда равен квартальному периоду  $K$.

Определение как тригонометрия: эллипс Якоби.

График эллипса Якоби ( x ² + и ² / б ² = 1, b вещественное) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq ( u , m ) для конкретных значений угла φ и параметра b . Сплошная кривая представляет собой эллипс с m = 1 − 1/ b ² и u = F ( φ , m ), где F (⋅,⋅) — эллиптический интеграл первого рода (с параметром $m=k^{2}$). Пунктирная кривая представляет собой единичный круг. Касательные линии круга и эллипса в точке x = cd, пересекающие ось x в точке dc, показаны светло-серым цветом.

$\cos \varphi ,\sin \varphi$ определены на единичной окружности с радиусом r = 1 и углом $\varphi =$ длина дуги единичной окружности, измеренная от положительной оси x . Аналогично на единичном эллипсе определяются эллиптические функции Якоби: при a = 1. Пусть

${\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}$

затем:

$r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.$

Для каждого угла $\varphi$ параметр

$u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta$

(неполный эллиптический интеграл первого рода). На единичной окружности ( $a=b=1$), $u$ будет длина дуги.Количество $u[\varphi ,k]=u(\varphi ,k^{2})$ связан с неполным эллиптическим интегралом второго рода (с модулем $k$) к

$u[\varphi ,k]={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}}}}\left({\frac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}\operatorname {E} \left(\varphi +\arctan \left({\sqrt {1-k^{2}}}\tan \varphi \right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-\operatorname {E} (\varphi ,k)+{\frac {k^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right),$

и, следовательно, связана с длиной дуги эллипса . Позволять $P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$ быть точкой на эллипсе, и пусть $P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ быть точкой, где единичная окружность пересекает линию между $P$ и происхождение $O$.Тогда знакомые соотношения из единичного круга:

$x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi$

прочтите эллипс:

$x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).$

Значит, проекции точки пересечения $P'$ линии $OP$ с единичным кругом на осях x и y просто $\operatorname {cn} (u,m)$ и $\operatorname {sn} (u,m)$. Эти проекции можно интерпретировать как «определение как тригонометрию». Суммируя:

$\operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.$

Для $x$ и $y$ стоимость балла $P$ с $u$ и параметр $m$ мы получаем после вставки отношения:

$r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}$

в: $x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )$ что:

$x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.$

Последние соотношения для координат x и y точек единичного эллипса можно рассматривать как обобщение соотношений $x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi$ для координат точек единичной окружности.

В следующей таблице суммированы выражения для всех эллиптических функций Якоби pq(u,m) в переменных ( x , y , r ) и ( φ ,dn) с ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Эллиптические функции Якоби pq[ u , m ] как функции от { x , y , r } и { φ , dn}

		д
		с	с	н	д
п
	с	1	$x/y=\cot(\varphi )$	$x/r=\cos(\varphi )$	$x=\cos(\varphi )/\operatorname {dn}$
	с	$y/x=\tan(\varphi )$	1	$y/r=\sin(\varphi )$	$y=\sin(\varphi )/\operatorname {dn}$
	н	$r/x=\sec(\varphi )$	$r/y=\csc(\varphi )$	1	$r=1/\operatorname {dn}$
	д	$1/x=\sec(\varphi )\operatorname {dn}$	$1/y=\csc(\varphi )\operatorname {dn}$	$1/r=\operatorname {dn}$	1

Определение в терминах тэта-функций Якоби

Описание тета-функции Якоби

Эквивалентно, эллиптические функции Якоби могут быть определены через его тэта-функции . Если мы сократим $\vartheta _{00}(0;q)$ как $\vartheta _{00}(q)$, и $\vartheta _{01}(0;q),\vartheta _{10}(0;q),\vartheta _{11}(0;q)$ соответственно как $\vartheta _{01}(q),\vartheta _{10}(q),\vartheta _{11}(q)$ ( тэта-константы ), то эллиптический модуль тэта-функции k равен $k={\biggl \{}{\vartheta _{10}[q(k)] \over \vartheta _{00}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}$. Мы определяем имя как $q=\exp(\pi i\tau )$ по отношению к периоду. У нас есть

${\begin{aligned}\operatorname {sn} (u;k)&=-{\frac {\vartheta _{00}(q)\,\vartheta _{11}(\zeta ;q)}{\vartheta _{10}(q)\,\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\\[7pt]\operatorname {cn} (u;k)&={\frac {\vartheta _{01}(q)\,\vartheta _{10}(\zeta ;q)}{\vartheta _{10}(q)\,\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\\[7pt]\operatorname {dn} (u;k)&={\frac {\vartheta _{01}(q)\,\vartheta _{00}(\zeta ;q)}{\vartheta _{00}(q)\,\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\end{aligned}}$

где $\zeta =\pi u/(2K)$.

Эдмунд Уиттакер и Джордж Уотсон определили тэта-функции Якоби таким образом в своем учебнике «Курс современного анализа» :

$\vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]$

$\vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]$

$\vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]$

$\vartheta _{11}(v;w)=-2w^{1/4}\sin(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]$

Функция Якоби zn также может быть выражена через тэта-функции:

${\begin{aligned}\operatorname {zn} (u;k)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{01}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{00}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{00}(\zeta ;q)}}+k^{2}{\frac {\operatorname {sn} (u;k)\operatorname {cn} (u;k)}{\operatorname {dn} (u;k)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{10}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{10}(\zeta ;q)}}+{\frac {\operatorname {dn} (u;k)\operatorname {sn} (u;k)}{\operatorname {cn} (u;k)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{11}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{11}(\zeta ;q)}}-{\frac {\operatorname {cn} (u;k)\operatorname {dn} (u;k)}{\operatorname {sn} (u;k)}}\end{aligned}}$

где $'$ обозначает производную по первой переменной.

Эллиптический интеграл и эллиптический ном.

Поскольку функции Якоби определяются через эллиптический модуль $k(\tau )$, нам нужно инвертировать это и найти $\tau$ с точки зрения $k$. Мы начинаем с $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$, дополнительный модуль . В качестве функции $\tau$ это

$k'(\tau )={\sqrt {1-k^{2}}}={\biggl \{}{\vartheta _{01}[q(k)] \over \vartheta _{00}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}$

Определим эллиптический ном и полный эллиптический интеграл первого рода :

$q(k)=\exp {\biggl [}-\pi {\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}{\biggr ]}$

Это два одинаковых определения полного эллиптического интеграла первого рода:

$K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\partial \varphi$

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}$

Идентичное определение функции nome можно получить, используя серию. Следующая функция имеет эту идентичность:

${\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}={\frac {\vartheta _{00}[q(k)]-\vartheta _{01}[q(k)]}{\vartheta _{00}[q(k)]+\vartheta _{01}[q(k)]}}={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{(2n-1)^{2}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{4n^{2}}{\biggr ]}^{-1}$

Поскольку мы можем свести к случаю, когда мнимая часть $\tau$ больше или равно ${\sqrt {3}}/2$ (см. Модульная группа ), можно предположить абсолютное значение $q$ меньше или равно $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)\approx 0.0658$; для таких малых значений приведенный выше ряд сходится очень быстро и легко позволяет нам найти подходящее значение для $q$. Решая эту функцию после q, мы получаем:

$q(k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=k^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}$

Где SW(n) — это последовательность A002103 в OEIS .

Определение в терминах тэта-функций Невилла

Эллиптические функции Якоби можно очень просто определить с помощью тета-функций Невилла :

$\operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}$

Упрощение сложных произведений эллиптических функций Якоби часто упрощается с использованием этих тождеств.

Преобразования Якоби

Мнимые преобразования Якоби

График вырожденной кривой Якоби ( x ² + и ² / б ² = 1, b = ∞) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq( u ,1) для конкретного значения угла φ . Сплошная кривая — вырожденный эллипс ( x ² = 1) с m = 1 и u = F ( φ ,1), где F (⋅,⋅) — эллиптический интеграл первого рода. Пунктирная кривая представляет собой единичный круг. Поскольку это функции Якоби при m = 0 (круговые тригонометрические функции), но с мнимыми аргументами, они соответствуют шести гиперболическим тригонометрическим функциям.

Мнимые преобразования Якоби связывают различные функции мнимой переменной iu или, что то же самое, отношения между различными значениями параметра m . Если говорить об основных функциях:

$\operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)$

$\operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)$

$\operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)$

Используя правило умножения, все остальные функции можно выразить через три вышеуказанные. Преобразования в общем виде можно записать как $\operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)$. В следующей таблице приведены $\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)$ для указанного pq( u,m ). (Аргументы $(i\,u,1\!-\!m)$ подавляются)

Якоби Воображаемые превращения $\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)$

		д
		с	с	н	д
п
	с	1	я нс	NC	nd
	с	− я СН	1	- я подхожу	- я сд
	н	CN	я CS	1	компакт-диск
	д	дн	я это	округ Колумбия	1

Поскольку гиперболические тригонометрические функции пропорциональны круговым тригонометрическим функциям с мнимыми аргументами, отсюда следует, что функции Якоби дадут гиперболические функции при m = 1. На рисунке кривая Якоби выродилась в две вертикальные линии при x = 1 и x = −1.

Настоящие трансформации Якоби

Настоящие трансформации Якоби выведите выражения для эллиптических функций в терминах альтернативных значений m . Преобразования в общем виде можно записать как $\operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)$. В следующей таблице приведены $\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)$ для указанного pq( u,m ). (Аргументы $(k\,u,1/m)$ подавляются)

Реальные трансформации Якоби $\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)$

		д
		с	с	н	д
п
	с	$1$	$k\operatorname {ds}$	$\operatorname {dn}$	$\operatorname {dc}$
	с	${\frac {1}{k}}\operatorname {sd}$	$1$	${\frac {1}{k}}\operatorname {sn}$	${\frac {1}{k}}\operatorname {sc}$
	н	$\operatorname {nd}$	$k\operatorname {ns}$	$1$	$\operatorname {nc}$
	д	$\operatorname {cd}$	$k\operatorname {cs}$	$\operatorname {cn}$	$1$

Другие преобразования Якоби

Действительные и мнимые преобразования Якоби можно комбинировать различными способами, чтобы получить еще три простых преобразования.. Действительные и мнимые преобразования — это два преобразования в группе ( D ₃ или ангармоническая группа ) из шести преобразований. Если

$\mu _{R}(m)=1/m$

— преобразование параметра m в реальном преобразовании, а

$\mu _{I}(m)=1-m=m'$

является преобразованием m в мнимом преобразовании, то другие преобразования могут быть построены путем последовательного применения этих двух основных преобразований, что дает еще только три возможности:

${\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}$

Эти пять преобразований вместе с тождественным преобразованием ( µ _U ( m ) = m ) дают группу из шести элементов. Что касается эллиптических функций Якоби, то общее преобразование можно выразить с помощью всего трех функций:

$\operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))$

$\operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))$

$\operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))$

где i = U, I, IR, R, RI или RIR, обозначающие преобразование, γ _i — коэффициент умножения, общий для этих трех функций, а штрих указывает преобразованную функцию. Остальные девять преобразованных функций могут быть построены из трех вышеперечисленных. Причина, по которой функции cs, ns, ds были выбраны для представления преобразования, заключается в том, что другие функции будут отношениями этих трех (за исключением их обратных), и коэффициенты умножения будут сокращаться.

В следующей таблице перечислены коэффициенты умножения для трех функций ps, преобразованных и m имена преобразованных функций для каждого из шести преобразований. (Как обычно, к. ² знак равно м , 1 - k ² = к ₁ ² = m ′ и аргументы ( $\gamma _{i}u,\mu _{i}(m)$) подавляются)

Параметры шести преобразований

Трансформация я	$\gamma _{i}$	$\mu _{i}(m)$	cs'	нс'	дс'
В	1	м	CS	нс	дс
я	я	м'	нс	CS	дс
И	ок	−м'/м	дс	CS	нс
Р	к	1/м	дс	нс	CS
РИ	я 1	1/м'	нс	дс	CS
СМЕЯТЬСЯ	к 1	−м/м'	CS	дс	нс

Так, например, мы можем построить следующую таблицу для преобразования RIR. Преобразование обычно записывается $\operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')$ (Аргументы $(k'\,u,-m/m')$ подавляются)

Преобразование РИР $\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')$

		д
		с	с	н	д
п
	с	1	к'кс	компакт-диск	CN
	с	${\frac {1}{k'}}$ СК	1	${\frac {1}{k'}}$ SD	${\frac {1}{k'}}$ зп
	н	округ Колумбия	$k'$ дс	1	дн
	д	NC	$k'$ нс	nd	1

Ценность преобразований Якоби состоит в том, что любой набор эллиптических функций Якоби с любым действительным параметром m можно преобразовать в другой набор, для которого $0<m\leq 1/2$ и для реальных значений u значения функции будут действительными.

Амплитудные преобразования

$\operatorname {am} \left({\sqrt {m'}}u,-{\frac {m}{m'}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {am} (K-u,m),\quad u\in \mathbb {R} ,\,0<m<1,$

$\operatorname {am} (u,m')=-2\arctan \left(i\tan {\frac {\operatorname {am} (iu,m)}{2}}\right),\quad \left|\operatorname {Re} u\right|<K',\,\left|\operatorname {Im} u\right|<K,\,0<m<1,$

$\operatorname {am} \left({\sqrt {m}}u,{\frac {1}{m}}\right)=\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {sn} (u,m)),\quad -2K<u<2K,\,0<m<1$

Гипербола Якоби

График гиперболы Якоби ( x ² + и ² / б ² = 1, b мнимое) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq( u , m ) для конкретных значений угла φ и параметра b . Сплошная кривая — гипербола с m = 1 − 1/ b ² и u = F ( φ , m ), где F (⋅,⋅) — эллиптический интеграл первого рода. Пунктирная кривая представляет собой единичный круг. Для треугольника ds-dc σ = sin( φ )cos( φ ).

Вводя комплексные числа, нашему эллипсу соответствует гипербола:

$x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

от применения воображаемого преобразования Якоби к эллиптическим функциям в приведенном выше уравнении для x и y .

$x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}$

Отсюда следует, что мы можем положить $x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)$. Итак, наш эллипс представляет собой двойной эллипс, в котором m заменено на 1-m. Это приводит к комплексному тору, упомянутому во введении. Обычно m может быть комплексным числом, но если m вещественное и m<0, кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении x. При m=0 кривая представляет собой круг, а при 0<m<1 кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении y. При m = 1 кривая вырождается в две вертикальные линии при x = ±1. При m > 1 кривая представляет собой гиперболу. Когда m комплексное, но не действительное, x или y или оба являются комплексными, и кривая не может быть описана на реальной диаграмме x - y .

Второстепенные функции

Изменение порядка двух букв в имени функции на противоположный приводит к получению обратных значений трех вышеприведенных функций:

$\operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.$

Аналогично, отношения трех основных функций соответствуют первой букве числителя, за которой следует первая буква знаменателя:

${\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}$

Более компактно мы имеем

$\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}$

где p и q — любые буквы s, c, d.

Периодичность, полюса и вычеты

Графики фазы для двенадцати эллиптических функций Якоби pq(u,m) как комплексного аргумента функции u с указанными полюсами и нулями. Графики составляют один полный цикл в реальном и мнимом направлениях с цветной частью, указывающей фазу в соответствии с цветовым кругом в правом нижнем углу (которая заменяет тривиальную функцию dd). Регионы с абсолютным значением ниже 1/3 окрашены в черный цвет, что примерно указывает на расположение нуля, а регионы с абсолютным значением выше 3 окрашены в белый цвет, что примерно указывает на положение полюса. На всех графиках используется m = 2/3, где K = K ( m ), K ′ = K (1 − m ), K (⋅) — полный эллиптический интеграл первого рода. Стрелки на полюсах указывают в направлении нулевой фазы. Стрелки вправо и влево означают положительные и отрицательные действительные остатки соответственно. Стрелки вверх и вниз означают положительные и отрицательные мнимые остатки соответственно.

В комплексной плоскости аргумента u эллиптические функции Якоби образуют повторяющийся узор из полюсов (и нулей). Все остатки полюсов имеют одинаковую абсолютную величину, различаясь только знаком. Каждая функция pq( u , m ) имеет «обратную функцию» (в мультипликативном смысле) qp( u , m ), в которой меняются местами полюса и нули. Периоды повторения вообще различны в реальном и мнимом направлениях, отсюда и использование термина «двоякопериодические» для их описания.

Для амплитуды Якоби и эпсилон-функции Якоби:

$\operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,$

$\operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),$

${\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,$

${\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}$

где $E(m)$ – полный эллиптический интеграл второго рода с параметром $m$.

Двойную периодичность эллиптических функций Якоби можно выразить как:

$\operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)$

где α и β — любая пара целых чисел. K (⋅) — полный эллиптический интеграл первого рода, также известный как четверть периода . Степень отрицательной единицы ( γ ) приведена в следующей таблице:

$\gamma$

		д
		с	с	н	д
п
	с	0	б	а + б	а
	с	б	0	а	а + б
	н	а + б	а	0	б
	д	а	а + б	б	0

Когда коэффициент (−1) ^с равно −1, уравнение выражает квазипериодичность. Когда он равен единице, это выражает полную периодичность. Можно видеть, например, что для записей, содержащих только α, когда α четно, полная периодичность выражается приведенным выше уравнением, и функция имеет полные периоды 4 K ( m ) и 2 iK (1 − m ). Аналогично, функции с элементами, содержащими только β , имеют полные периоды 2K(m) и 4 iK (1 − m ), тогда как функции с элементами α + β имеют полные периоды 4 K ( m ) и 4 iK (1 − m ).

На диаграмме справа, на которой для каждой функции изображена одна повторяющаяся единица с указанием фазы вместе с расположением полюсов и нулей, можно отметить ряд закономерностей: Обратная функция каждой функции расположена напротив диагонали и имеет одинаковый размер. элементарная ячейка с поменянными местами полюсами и нулями. Расположение полюсов и нулей во вспомогательном прямоугольнике, образованном (0,0), ( K ,0), (0, K ') и ( K , K '), соответствует описанию размещения полюсов и нулей, описанному в разделе введение выше. Кроме того, размер белых овалов, обозначающих полюса, является грубой мерой абсолютного значения остатка для этого полюса. Остатки полюсов, ближайших к началу координат на рисунке (т.е. во вспомогательном прямоугольнике), приведены в следующей таблице:

Вычеты эллиптических функций Якоби

		д
		с	с	н	д
п
	с		1	$-{\frac {i}{k}}$	$-{\frac {1}{k}}$
	с	$-{\frac {1}{k'}}$		${\frac {1}{k}}$	$-{\frac {i}{k\,k'}}$
	н	$-{\frac {1}{k'}}$	1		$-{\frac {i}{k'}}$
	д	-1	1	$-i$

Когда это применимо, полюса, смещенные вверх на 2 К или смещенные вправо на 2 К ', имеют одинаковое значение, но с обратными знаками, в то время как полюса, расположенные напротив по диагонали, имеют одинаковое значение. Обратите внимание, что полюса и нули на левом и нижнем краях считаются частью элементарной ячейки, а полюса на верхнем и правом краях — нет.

Особые значения

Параметр $m=-1$ дает лемнискатные эллиптические функции $\operatorname {sl}$ и $\operatorname {cl}$:

$\operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.$

Когда $m=0$ или $m=1$эллиптические функции Якоби сводятся к неэллиптическим функциям:

Функция	м = 0	м = 1
$\operatorname {sn} (u,m)$	$\sin u$	$\tanh u$
$\operatorname {cn} (u,m)$	$\cos u$	$\operatorname {sech} u$
$\operatorname {dn} (u,m)$	$1$	$\operatorname {sech} u$
$\operatorname {ns} (u,m)$	$\csc u$	$\coth u$
$\operatorname {nc} (u,m)$	$\sec u$	$\cosh u$
$\operatorname {nd} (u,m)$	$1$	$\cosh u$
$\operatorname {sd} (u,m)$	$\sin u$	$\sinh u$
$\operatorname {cd} (u,m)$	$\cos u$	$1$
$\operatorname {cs} (u,m)$	$\cot u$	$\operatorname {csch} u$
$\operatorname {ds} (u,m)$	$\csc u$	$\operatorname {csch} u$
$\operatorname {dc} (u,m)$	$\sec u$	$1$
$\operatorname {sc} (u,m)$	$\tan u$	$\sinh u$

Для амплитуды Якоби $\operatorname {am} (u,0)=u$ и $\operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u$ где $\operatorname {gd}$ – функция Гудермана .

В общем случае, если ни один из p,q не равен d, то $\operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)$.

Личности

Формула половинного угла

$$\operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}$$$$\operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}$$$$\operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}$$

K-формулы

Формула половины К

$$\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}$$

$$\operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}$$

$$\operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}$$

Третья формула К

$\operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}$

Чтобы получить х ³ , возьмем тангенс удвоенного арктангенса модуля.

Также это уравнение приводит к sn-значению трети K :

$k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0$

$s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]$

Эти уравнения приводят к другим значениям функций Якоби:

$\operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]$

$\operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1$

Пятая формула К

Следующее уравнение имеет следующее решение:

$4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0$

$x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}$

Чтобы получить значения sn, мы помещаем решение x в следующие выражения:

$\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}$

$\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}$

Отношения между квадратами функций

Отношения между квадратами функций могут быть получены из двух основных отношений (аргументы ( u , m ) подавлены): $$\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1$$$$\operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}$$где m + m' = 1. Умножение на любую функцию вида nq дает более общие уравнения:

$$\operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}$$$$\operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}$$

При q = d они тригонометрически соответствуют уравнениям для единичного круга ( $x^{2}+y^{2}=r^{2}$) и единичный эллипс ( $x^{2}{}+m'y^{2}=1$), где x = cd , y = sd и r = nd . Используя правило умножения, можно получить и другие соотношения. Например:

$$-\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m$$

$$-m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m$$

$$m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m$$

$$\operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m$$

Теоремы сложения

Функции удовлетворяют двум квадратичным соотношениям (зависимость от m подавлена) $$\operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,$$

$$\operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,$$

Отсюда мы видим, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую , которая является пересечением двух квадрик, определенных двумя приведенными выше уравнениями. Теперь мы можем определить групповой закон для точек этой кривой с помощью формул сложения функций Якоби

$${\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}$$

Эпсилон Якоби и функции zn удовлетворяют теореме квазисложения: $${\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}$$

Формулы двойного угла можно легко вывести из приведенных выше уравнений, установив x = y . Формулы половинного угла все имеют форму:

$$\operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }$$

где: $$f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)$$$$f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)$$$$f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)$$$$f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))$$

Эллиптические функции Якоби как решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные по первой переменной

Производные трех основных эллиптических функций Якоби ( по первой переменной, с $m$ фиксированные): $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),$$$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),$$$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).$$

Их можно использовать для получения производных всех других функций, как показано в таблице ниже (аргументы (u,m) скрыты):

Производные ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {pq} (u,m)$

		д
		с	с	н	д
п
	с	0	-ds нс	−dn sn	−m' и сд
	с	округ Колумбия, Северная Каролина	0	CN DN	компакт-диск и
	н	DC SC	-cs дс	0	м компакт-диск SD
	д	м 'NC SC	-cs нс	− м сп сн	0

Также

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.$

Таким образом, с учетом приведенных выше теорем сложения и для данного m с 0 < m <1 основные функции являются решениями следующих нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений :

• $\operatorname {sn} (x)$ решает дифференциальные уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0$ и $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})$
• $\operatorname {cn} (x)$ решает дифференциальные уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0$ и $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})$
• $\operatorname {dn} (x)$ решает дифференциальные уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0$ и $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})$

Функция, которая точно решает дифференциальное уравнение маятника ,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,$

с начальным углом $\theta _{0}$ а нулевая начальная угловая скорость равна

${\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}$

где $m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}$, $c>0$ и $t\in \mathbb {R}$.

Производные по второй переменной

С первым аргументом $z$ фиксированы, производные по второй переменной $m$ следующие:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}$

Расширение по ному

Пусть имя будет $q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }$, $\operatorname {Im} (\tau )>0$, $m=k^{2}$ и пусть $v=\pi u/(2K(m))$. Тогда функции разлагаются в ряд Ламберта

$\operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),$

$\operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),$

$\operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),$

$\operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),$

$\operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)$

когда $\left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).$

Разложение двумерного степенного ряда было опубликовано Шеттом.

Быстрое вычисление

Отношения тета-функции обеспечивают эффективный способ вычисления эллиптических функций Якоби. Существует альтернативный метод, основанный на среднем арифметико-геометрическом и преобразованиях Ландена :

Инициализировать

$a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}$

где $0<m<1$.Определять

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}$

где $n\geq 1$.Затем определите

$\varphi _{N}=2^{N}a_{N}u$

для $u\in \mathbb {R}$ и фиксированный $N\in \mathbb {N}$. Если

$\varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)$

для $n\geq 1$, затем

$\operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}$

как $N\to \infty$. Это примечательно своей быстрой конвергенцией. Тогда тривиально вычислить все эллиптические функции Якоби по амплитуде Якоби. $\operatorname {am}$ на реальной линии.

В сочетании с теоремами сложения для эллиптических функций (которые в целом справедливы для комплексных чисел) и преобразованиями Якоби описанный выше метод вычислений можно использовать для вычисления всех эллиптических функций Якоби во всей комплексной плоскости.

Другой метод быстрого вычисления эллиптических функций Якоби с помощью среднего арифметико-геометрического, позволяющий избежать вычисления амплитуды Якоби, принадлежит Герберту Э. Зальцеру:

Позволять

$0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},$

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.$

Набор

${\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}$

Затем

${\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}$

как $N\to \infty$.

Приближение гиперболическими функциями

Эллиптические функции Якоби можно разложить с помощью гиперболических функций. Когда $m$ близко к единице, так что $m'^{2}$ и высшие силы $m'$ можно пренебречь, имеем:

• sn( ты ): $$\operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).$$
• сп( ты ): $$\operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).$$
• дн( ты ): $$\operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).$$

Для амплитуды Якоби $$\operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).$$

Непрерывные дроби

Предполагая реальные числа $a,p$ с $0<a<p$ и ном $q=e^{\pi i\tau }$, $\operatorname {Im} (\tau )>0$ с эллиптическим модулем ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$. Если $K[\tau ]=K(k(\tau ))$, где $K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})$ — полный эллиптический интеграл первого рода , то имеет место следующее разложение цепной дроби

${\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}$

Известные цепные дроби, включающие ${\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)$ и ${\textrm {dn}}(t)$ с эллиптическим модулем $k$ являются

Для $z\in \mathbb {C}$, $|k|<1$: стр. 374

$\int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots$

Для $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, $|k|<1$: стр. 375

$\int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots$

Для $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, $|k|<1$: стр. 220

$\int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots$

Для $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, $|k|<1$: стр. 374

$\int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots$

Для $z\in \mathbb {C}$, $|k|<1$: стр. 375

$\int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots$

Обратные функции

Обратные к эллиптическим функциям Якоби можно определить аналогично обратным тригонометрическим функциям ; если $x=\operatorname {sn} (\xi ,m)$, $\xi =\operatorname {arcsn} (x,m)$. Их можно представить в виде эллиптических интегралов: и были найдены представления степенных рядов.

• $\operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}$
• $\operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}$
• $\operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}$

Картографическая проекция

Квинкунциальная проекция Пирса — это картографическая проекция, основанная на эллиптических функциях Якоби.

См. также

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца – Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Тета-функция Якоби
• Тета-функция Рамануджана
• Эллиптические функции Диксона
• Эллиптические функции Абеля
• Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Лемнискатные эллиптические функции

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 16» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 569. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций (1970) Москва, переведено на английский язык как AMS Переводы математических монографий, том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN   0-8218-4532-2
• А. С. Диксон. Элементарные свойства эллиптических функций с примерами (Макмиллан, 1894 г.)
• Альфред Джордж Гринхилл. Приложения эллиптических функций (Лондон, Нью-Йорк, Макмиллан, 1892 г.)
• Эдмунд Т. Уиттакер, Джордж Невилл Уотсон: курс современного анализа . 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1990. С. 469–470.
• Лекции Х. Хэнкока по теории эллиптических функций (Нью-Йорк, J. Wiley & Sons, 1910)
• Якоби, CGJ (1829), Новые основы теории эллиптических функций (на латыни), Кенигсберг, ISBN  978-1-108-05200-9 , Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010), «Эллиптические функции Якоби» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• (на французском языке) П. Аппель и Э. Лакур. Принципы теории эллиптических функций и их приложения (Париж, Готье Виллар, 1897 г.)
• (на французском языке) Трактат Г. Х. Халфена об эллиптических функциях и их приложениях (том 1) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) Трактат Г. Х. Халфена об эллиптических функциях и их приложениях (том 2) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) Трактат Г. Х. Халфена об эллиптических функциях и их приложениях (том 3) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том I, Введение. Дифференциальное исчисление. Первая часть (Париж: Готье-Виллар и др., 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том II, Дифференциальное исчисление. Часть II (Париж: Готье-Виллар и др., 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том III, Интегральное исчисление. Часть I, Общие теоремы. Инверсия (Париж: Готье-Виллар и др., 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том IV, Интегральное исчисление. Часть II, Приложения (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893)
• (на французском языке) К. Брио и Ж. К. Буке. Теория эллиптических функций (Париж: Готье-Виллар, 1875 г.)
• Тосио Фукусима: быстрое вычисление полных эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби . 2012, Национальная астрономическая обсерватория Японии (国立天文台)
• Лоуэн, Бланш и Хоренштейн: Об обращении q-ряда, связанного с эллиптическими функциями Якобиана . Бык. амер. Математика. Соц. 48, 1942 г.
• Х. Фергюсон, Д. Е. Нильсен, Г. Кук: Формула разделения целых коэффициентов тета-функции nome . Математика вычислений, том 29, номер 131, июль 1975 г.
• Дж. Д. Фентон и Р. С. Гардинер-Гарден: Быстро сходящиеся методы вычисления эллиптических интегралов, а также тета- и эллиптических функций . Дж. Аустрал. Математика. Соц. (Серия Б) 24, 1982, С. 57
• Адольф Кнезер: Новое исследование ряда из теории эллиптических функций . J. Pure and Angew Math. 157, 1927. Страницы 209–218.

Внешние ссылки

• «Эллиптические функции Якоби» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические функции Якоби» . Математический мир .