Эллиптическая функция Вейерштрасса

«P-функция» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о функции фазового пространства, представляющей квантовое состояние, см. P-представление Глаубера – Сударшана .

«℘» перенаправляется сюда; этот символ также может использоваться для обозначения набора мощности .

В математике — эллиптические функции Вейерштрасса это эллиптические функции , которые принимают особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Этот класс функций также называют ℘-функциями и обычно обозначаются символом ℘, уникальной буквой p . Они играют важную роль в теории эллиптических функций, т. е. мероморфных функций двоякопериодических , . ℘-функция вместе со своей производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых , и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.

Символ Вейерштрасса $\wp$-функция

Модель Вейерштрасса $\wp$-функция

Мотивация

Кубик ​ формы $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}$, где $g_{2},g_{3}\in \mathbb {C}$ являются комплексными числами с $g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0$, не может быть рационально параметризован . Тем не менее, все еще хочется найти способ параметризовать его.

Для квадрики $K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}$; единичный круг , существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной функции косинуса: $$\psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).$$Из-за периодичности синуса и косинуса $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ выбран в качестве области определения, поэтому функция является биективной.

Аналогичным образом можно получить параметризацию $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ посредством двоякопериодического $\wp$-функция (см. раздел «Связь с эллиптическими кривыми»). Эта параметризация имеет область определения $\mathbb {C} /\Lambda$, что топологически эквивалентно тору .

Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Рассмотрим интегральную функцию $$a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.$$Его можно упростить, заменив $y=\sin t$ и $s=\arcsin x$: $$a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.$$Это означает $a^{-1}(x)=\sin x$. Таким образом, функция синус является обратной функцией целой функции.

Эллиптические функции являются обратными функциями эллиптических интегралов . В частности, пусть: $$u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.$$Тогда расширение $u^{-1}$ на комплексную плоскость равна $\wp$-функция. Эта обратимость используется в комплексном анализе для решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих свойству Пенлеве , т. е. тех уравнений, которые допускают полюсы в качестве своих единственных подвижных особенностей .

Определение

Визуализация $\wp$-функция с инвариантами $g_{2}=1+i$ и $g_{3}=2-3i$ в котором белый цвет соответствует полюсу, черный – нулю.

Позволять $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ — два комплексных числа , линейно независимые над $\mathbb {R}$ и пусть $\Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ быть решеткой периодов, порожденной этими числами. Тогда $\wp$-функция определяется следующим образом:

$\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).$

Этот ряд сходится локально равномерно абсолютно в комплексном торе $\mathbb {C} \setminus \Lambda$.

Обычно используется $1$ и $\tau$ в верхней полуплоскости $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}$ как генераторы решетки ​ . Деление на ${\textstyle \omega _{1}}$ отображает решетку $\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}$ изоморфно на решетку $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ с ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$. Потому что $-\tau$ можно заменить на $\tau$, без ограничения общности можно считать $\tau \in \mathbb {H}$, а затем определите $\wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )$.

Характеристики

• $\wp$ — мероморфная функция с полюсом порядка 2 в каждом периоде $\lambda$ в $\Lambda$.
• $\wp$ является четной функцией. Это означает $\wp (z)=\wp (-z)$ для всех $z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda$, что можно увидеть следующим образом:

${\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}$

Второе последнее равенство имеет место, поскольку $\{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda$. Поскольку сумма абсолютно сходится, эта перестановка не меняет предела.

• Производная от $\wp$ дается: $$\wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.$$
• $\wp$ и $\wp '$ двоякопериодичны периодами с $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$. Это означает: $${\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}$$ Отсюда следует, что $\wp (z+\lambda )=\wp (z)$ и $\wp '(z+\lambda )=\wp '(z)$ для всех $\lambda \in \Lambda$.

расширение Лорана

Позволять $r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}$. Тогда для $0<|z|<r$ тот $\wp$-функция имеет следующее разложение Лорана $$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}$$где $$G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}$$ для $n\geq 3$ это так называемые ряды Эйзенштейна .

Дифференциальное уравнение

Набор $g_{2}=60G_{4}$ и $g_{3}=140G_{6}$. Тогда $\wp$-функция удовлетворяет дифференциальному уравнению $$\wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.$$Это соотношение можно проверить, образовав линейную комбинацию степеней $\wp$ и $\wp '$ устранить столб в $z=0$. Это дает целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля .

Инварианты

Действительная часть инварианта g ₃ как функция квадрата нома q на единичном круге.

Мнимая часть инварианта g ₃ как функция квадрата нома q на единичном круге.

Коэффициенты приведенного выше дифференциального уравнения g ₂ и g ₃ известны как инварианты . Потому что они зависят от решетки $\Lambda$ их можно рассматривать как функции в $\omega _{1}$и $\omega _{2}$.

Разложение в ряд предполагает, что g ₂ и g ₃ являются однородными функциями степени −4 и −6. То есть $$g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$$$$g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$$ для $\lambda \neq 0$.

Если $\omega _{1}$и $\omega _{2}$ выбираются таким образом, что $\operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0$, g ₂ и g ₃ можно интерпретировать как функции на верхней полуплоскости $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}$.

Позволять $\tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$. У одного есть: $$g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),$$$$g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).$$Это означает, что g ₂ и g ₃ масштабируются только при этом. Набор $$g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )$$ и $$g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).$$Как функции $\tau \in \mathbb {H}$ $g_{2},g_{3}$ так называемые модульные формы.

Ряд Фурье для $g_{2}$ и $g_{3}$ даны следующим образом: $$g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]$$$$g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]$$где $$\sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }$$- функция делителя и $q=e^{\pi i\tau }$ это имя .

Модульный дискриминант

Действительная часть дискриминанта как функция квадрата нома q на единичном круге.

Модульный дискриминант Δ определяется как дискриминант многочлена в правой части приведенного выше дифференциального уравнения: $$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.$$Дискриминант представляет собой модульную форму веса 12. То есть под действием модульной группы он преобразуется как $$\Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )$$где $a,b,d,c\in \mathbb {Z}$ с ad − bc = 1.

Обратите внимание, что $\Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}$ где $\eta$ Дедекинда – эта-функция .

Для коэффициентов Фурье $\Delta$см. функцию тау Рамануджана .

Константы e ₁ , e ₂ и e ₃

$e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ обычно используются для обозначения значений $\wp$-функция на полупериодах. $$e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)$$$$e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)$$$$e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)$$Они попарно различны и зависят только от решетки $\Lambda$ а не на его генераторах.

$e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ являются корнями кубического многочлена $4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}$ и связаны уравнением: $$e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.$$Поскольку эти корни различны, дискриминант $\Delta$ не исчезает в верхней полуплоскости. Теперь мы можем переписать дифференциальное уравнение: $$\wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).$$Это означает, что полупериоды являются нулями $\wp '$.

Инварианты $g_{2}$ и $g_{3}$ можно выразить через эти константы следующим образом: $$g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})$$$$g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}$$$e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ связаны с модульной лямбда-функцией : $$\lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.$$

Связь с эллиптическими функциями Якоби.

Для численных работ часто удобно вычислять эллиптическую функцию Вейерштрасса через эллиптические функции Якоби .

Базовыми отношениями являются: $$\wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}$$где $e_{1},e_{2}$и $e_{3}$ — три корня, описанные выше, и где модуль k функций Якоби равен $$k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}$$и их аргумент w равен $$w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.$$

Связь с тэта-функциями Якоби

Функция $\wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})$ может быть представлена ​​тэта-функциями Якоби : $$\wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)$$где $q=e^{\pi i\tau }$ это имя и $\tau$ это соотношение периодов $(\tau \in \mathbb {H} )$. Это также обеспечивает очень быстрый алгоритм вычисления $\wp (z,\tau )$.

Связь с эллиптическими кривыми

См. Также: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами.

Рассмотрим вложение кубической кривой в комплексную проективную плоскость

${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).$

Для этой кубики не существует рациональной параметризации, если $\Delta \neq 0$. В этом случае ее еще называют эллиптической кривой. Тем не менее существует параметризация в однородных координатах , использующая $\wp$-функция и ее производная $\wp '$:

$\varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}$

Теперь карта $\varphi$ является биективным и параметризует эллиптическую кривую ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.

$\mathbb {C} /\Lambda$ — абелева группа и топологическое пространство , наделенное фактортопологией .

Можно показать, что каждая кубика Вейерштрасса задана таким образом. То есть для каждой пары $g_{2},g_{3}\in \mathbb {C}$ с $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0$ существует решетка $\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}$, такой, что

$g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$ и $g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$.

Утверждение о том, что эллиптические кривые $\mathbb {Q}$ может быть параметризован через $\mathbb {Q}$, известна как теорема модульности . Это важная теорема теории чисел . Это было частью доказательства Эндрю Уайлса (1995) Великой теоремы Ферма .

Теоремы сложения

Позволять $z,w\in \mathbb {C}$, так что $z,w,z+w,z-w\notin \Lambda$. Тогда у человека есть: $$\wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).$$

А также формула дублирования: $$\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).$$

Эти формулы имеют и геометрическую интерпретацию, если посмотреть на эллиптическую кривую ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ вместе с картографированием ${\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ как в предыдущем разделе.

Групповая структура $(\mathbb {C} /\Lambda ,+)$ переводится в кривую ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$и может быть геометрически интерпретировано там:

Сумма трех попарно различных точек $a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$равна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой в $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}$.

Это эквивалентно: $$\det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,$$где $\wp (u)=a$, $\wp (v)=b$ и $u,v\notin \Lambda$.

Типография

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается специальной строчной буквой ℘, которая была собственным обозначением Вейерштрасса, введенным в его лекциях 1862–1863 годов.

В вычислительной технике буква ℘ доступна как \wp в ТеХе . В Юникоде кодовая точка U+2118 ℘ ЗАГЛАВНАЯ ПИСЬМО P ( &weierp;, &wp; ), с более правильным псевдонимом Эллиптическая функция Вейерштрасса . В HTML его можно экранировать как ℘.

Информация о персонаже

Предварительный просмотр	℘
Имя в Юникоде	СКРИПТ ЗАГЛАВНЫЙ P / ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Вейерштрасса
Кодировки	десятичный	шестигранник
Юникод	8472	U + 2118
UTF-8	226 132 152	Е2 84 98
Ссылка на числовые символы	℘	℘
Ссылка на именованный персонаж	℘, ℘

См. также

• Функции Вейерштрасса
• Эллиптические функции Якоби
• Лемнискатные эллиптические функции

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 18» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 627. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, перевод на английский язык как AMS Переводы математических монографий, том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN   0-8218-4532-2
• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Спрингер, Нью-Йорк ISBN   0-387-97127-0 (см. главу 1.)
• К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN   0-387-15295-4
• Конрад Кнопп , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе под названием «Теория функций» (1996), Dover Publications. ISBN   0-486-69219-1
• Серж Ланг , Эллиптические функции (1973), Аддисон-Уэсли, ISBN   0-201-04162-6
• Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета , 1952, главы 20 и 21.

Внешние ссылки

• «Эллиптические функции Вейерштрасса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Эллиптические функции Вейерштрасса в Mathworld .
• Глава 23, Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса в DLMF ( Цифровая библиотека математических функций ), авторы В. П. Рейнхардт и П. Л. Уокер.
• P-функция Вейерштрасса и ее производная, реализованные на C Дэвидом Дюма