Двоякопериодическая функция
В математике двоякопериодическая функция — это функция, определенная на комплексной плоскости и имеющая два «периода», которые представляют собой комплексные числа u и v , линейно независимые как векторы над полем действительных чисел . То, что u и v являются периодами функции ƒ, означает, что
для всех значений комплексного числа z . [1] [2]
Таким образом, двоякопериодическая функция является двумерным расширением более простой однопериодической функции , которая повторяется в одном измерении. Знакомые примеры функций с одним периодом на прямой из действительных чисел включают тригонометрические функции , такие как косинус и синус . В комплексной плоскости экспоненциальная функция e С — однопериодическая функция с периодом 2 πi .
Примеры
[ редактировать ]В качестве произвольного отображения пар действительных чисел (или комплексных чисел) в действительные числа двоякопериодическая функция может быть построена без особых усилий. Например, предположим, что периоды равны 1 и i , так что повторяющаяся решетка представляет собой набор единичных квадратов с вершинами в целых гауссовых числах . Значения в квадрате-прототипе (т. е. x + iy , где 0 ≤ x < 1 и 0 ≤ y < 1) могут быть присвоены довольно произвольно, а затем «скопированы» в соседние квадраты. Тогда эта функция обязательно будет двоякопериодической.
Если векторы 1 и i в этом примере заменены линейно независимыми векторами u и v , квадрат-прототип становится параллелограммом-прототипом, который по-прежнему замостит плоскость . «Началом» решетки параллелограммов не обязательно должна быть точка 0: решетка может начинаться из любой точки. Другими словами, мы можем думать о плоскости и связанных с ней функциональных значениях как о фиксированных и мысленно переводить решетку, чтобы получить представление о характеристиках функции.
Использование комплексного анализа
[ редактировать ]Если двоякопериодическая функция также является комплексной функцией , которая удовлетворяет уравнениям Коши – Римана и обеспечивает аналитическую функцию вдали от некоторого набора изолированных полюсов – другими словами, мероморфную функцию – то можно получить много информации о такой функции. путем применения некоторых основных теорем комплексного анализа.
- Непостоянная мероморфная двоякопериодическая функция не может быть ограничена на параллелограмме-прототипе. Ибо если бы это было так, то оно было бы повсюду ограничено и, следовательно, постоянно по теореме Лиувилля .
- Поскольку функция мероморфна, она не имеет существенных особенностей и ее полюсы изолированы. Следовательно, можно построить сдвинутую решетку, не проходящую ни через один полюс. Контурный интеграл вокруг любого параллелограмма в решетке должен быть равен нулю, поскольку значения, принимаемые двоякопериодической функцией вдоль двух пар параллельных сторон, одинаковы, а две пары сторон перемещаются в противоположных направлениях при движении по контуру. Следовательно, по теореме о вычетах функция не может иметь один простой полюс внутри каждого параллелограмма - она должна иметь как минимум два простых полюса внутри каждого параллелограмма (случай Якобиана) или она должна иметь хотя бы один полюс порядка больше единицы ( Вейерштрасиан случай).
- Аналогичный аргумент можно применить к функции g = 1/ ƒ , где ƒ мероморфна и двоякопериодична. При этой нули ƒ g становятся полюсами , инверсии и наоборот . Таким образом, мероморфная двоякопериодическая функция ƒ не может иметь один простой нуль, лежащий внутри каждого параллелограмма на решетке — она должна иметь хотя бы два простых нуля или иметь хотя бы один нуль кратности больше единицы. Отсюда следует, что ƒ не может достичь какого-либо значения только один раз, поскольку ƒ минус это значение само по себе будет мероморфной двоякопериодической функцией всего с одним нулем.
См. также
[ редактировать ]Литература
[ редактировать ]- Джеймс, CGJ (1835). «О четверно-периодических функциях двух переменных, на которых основана теория трансцендентных абелианов » . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 13 . АЛ Крелле. Раймер, Берлин: 55–56 . Проверено 3 октября 2022 г. Перепечатано в Gesammelte Werke, Vol. 2, 2-е изд. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 25-26, 1969.
- Уиттакер, Э.Т. и Уотсон, Дж.Н.: Курс современного анализа , 4-е изд. перепечатано Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1963, стр. 429–535. Главы XX - XXII об эллиптических функциях, общих теоремах и эллиптических функциях Вейерштрасса, тэта-функциях и эллиптических функциях Якоби.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ «Двухпериодическая функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press , 2001 [1994] , адаптировано из оригинальной статьи Е.Д. Соломенцева.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная периодическая функция» . mathworld.wolfram.com . Вольфрам Математический мир . Проверено 3 октября 2022 г.