Лемнискатные эллиптические функции

Лемнискатный синус (красный) и лемнискатный косинус (фиолетовый) применяются к вещественному аргументу по сравнению с тригонометрическим синусом y = sin( πx / ϖ ) (бледно-пунктирный красный).

В математике лемнискатные эллиптические функции — это эллиптические функции, связанные с длиной дуги лемнискаты Бернулли . Впервые они были изучены Джулио Фаньяно в 1718 году, а затем, среди других, Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом .

Функции лемниската синус и лемниската косинус , обычно обозначаемые символами sl и cl символы sinlem и coslem или sin lemn и cos lemn ), (иногда вместо них используются аналогичны тригонометрическим функциям синус и косинус. В то время как тригонометрический синус связывает длину дуги с длиной хорды в единичного диаметра . круге $x^{2}+y^{2}=x,$ лемнискатный синус связывает длину дуги с длиной хорды лемнискаты. ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

Лемнискатные функции имеют периоды, связанные с числом. $\varpi =$ 2,622057... называется константой лемнискаты и представляет собой отношение периметра лемнискаты к ее диаметру. Это число является четвертой степени . аналогом ( квадратичного ) $\pi =$ 3,141592... , отношение периметра к диаметру круга .

Как комплексные функции , sl и cl имеют квадратную решетку периодов (кратных гауссовским целым числам ) с фундаментальными периодами. $\{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},$ и являются частным случаем двух эллиптических функций Якоби на этой решетке: $\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i),$ $\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)$.

Точно так же гиперболическая лемниската sine slh и гиперболическая лемниската cosine clh имеют квадратную решетку периодов с фундаментальными периодами. ${\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.$

Функции лемнискаты и гиперболические функции лемнискаты связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса. $\wp (z;a,0)$.

Лемнискатные функции синуса и косинуса

Определения

Функции лемнискаты sl и cl можно определить как решение проблемы начального значения :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,$

или, что то же самое, как обратный эллиптический интеграл , отображение Шварца – Кристоффеля из комплексного единичного диска в квадрат с углами. ${\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon$

$z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.$

За пределами этого квадрата функции можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с помощью серии отражений .

Для сравнения, круговой синус и косинус можно определить как решение задачи начального значения:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,$

или как инверсию отображения верхней полуплоскости в полубесконечную полосу с вещественной частью между $-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi$ и положительная мнимая часть:

$z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.$

Связь с постоянной лемнискатой

Основная статья: константа лемнискаты

Функция лемнискатного синуса и гиперболические функции лемнискатного синуса определяются как обратные эллиптическим интегралам. Полные интегралы связаны с константой лемнискаты ϖ .

Функции лемнискат имеют минимальный действительный период 2 ϖ , минимальный мнимый период 2 ϖ i и фундаментальные комплексные периоды. $(1+i)\varpi$ и $(1-i)\varpi$ для постоянной ϖ, называемой константой лемнискаты ,

$\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2.62205\ldots$

Лемнискатные функции удовлетворяют основному соотношению $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},$ аналогично отношению $\cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.$

Константа лемнискаты ϖ является близким аналогом константы окружности π , и многие тождества, включающие π, имеют аналоги, включающие ϖ , поскольку тождества, включающие тригонометрические функции, имеют аналоги, включающие функции лемнискаты. Например, формулу Вьета для π можно записать:

$${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$$

Аналогичная формула для ϖ :

$${\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$$

Формула Мачина для π : ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ и несколько подобных формул для π можно получить, используя тождества суммы тригонометрических углов, например, формулу Эйлера ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$. Аналогичные формулы могут быть разработаны для ϖ , включая следующие, найденные Гауссом: ${\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.$

Гаусс обнаружил, что константы лемнискаты и окружности связаны друг с другом средним арифметико-геометрическим M :

$${\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}$$

Идентификаторы аргументов

Нули, полюса и симметрии

$\operatorname {sl}$ в комплексной плоскости. На картинке видно, что фундаментальные периоды $(1+i)\varpi$ и $(1-i)\varpi$ «минимальны» в том смысле, что они имеют наименьшее абсолютное значение из всех периодов, действительная часть которых неотрицательна.

Лемнискатные функции cl и sl — четные и нечетные функции соответственно:

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

При переводах ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ cl и sl меняются местами, а при трансляциях ${\tfrac {1}{2}}i\varpi$ они дополнительно вращаются и совершают возвратно-поступательные движения :

${\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}$

Удвоение этих переводов на единицу - целое число по Гауссу, кратное $\varpi$ (то есть, $\pm \varpi$ или $\pm i\varpi$), отрицает каждую функцию, инволюцию :

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

В результате обе функции инвариантны относительно перевода на четное целое число Гаусса, кратное $\varpi$. То есть смещение $(a+bi)\varpi ,$ с $a+b=2k$ для целых чисел a , b и k .

${\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

Это делает их эллиптическими функциями (двоякопериодическими мероморфными функциями в комплексной плоскости) с диагональной квадратной решеткой периодов фундаментальных периодов. $(1+i)\varpi$ и $(1-i)\varpi$. Эллиптические функции с квадратной решеткой периодов более симметричны, чем произвольные эллиптические функции, следуя симметрии квадрата.

Отражения и повороты на четверть оборота аргументов функции лемнискаты имеют простые выражения:

${\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

Функция sl имеет простые нули в гауссовских целых кратных ϖ , комплексных числах вида $a\varpi +b\varpi i$ для целых чисел a и b . Он имеет простые полюса в гауссовых полуцелых кратных ϖ , комплексные числа вида ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i$, с остатками $(-1)^{a-b+1}i$. Функция cl отражается и смещается от функции sl , $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}$. Имеет нули для аргументов ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i$ и столбы для аргументов $a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,$ с остатками $(-1)^{a-b}i.$

Также

$\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi$

для некоторых $m,n\in \mathbb {Z}$ и

$\operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.$

Последняя формула представляет собой частный случай комплексного умножения . Аналогичные формулы можно привести для $\operatorname {sl} ((n+mi)z)$ где $n+mi$ любое гауссово целое число – функция $\operatorname {sl}$ имеет комплексное умножение на $\mathbb {Z} [i]$.

Существуют также бесконечные ряды, отражающие распределение нулей и полюсов sl :

${\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}$

$\operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.$

Пифагорейская идентичность

Кривые x² ⊕ y² = a для различных значений a . Отрицательный a зеленым, положительный a синим, a = ±1 красным, a = ∞ черным.

Функции лемнискаты удовлетворяют пифагорейскому тождеству:

$\operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1$

В результате параметрическое уравнение $(x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)$ параметризует кривую четвертой степени $x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.$

Это тождество можно альтернативно переписать:

${\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2$

$\operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}$

Определение оператора касательной суммы как $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b),$ дает:

$\operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.$

Функции ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ и ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ удовлетворить еще одно тождество Пифагора:

$\left(\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {cl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1.$

Производные и интегралы

Производные следующие:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}$

Вторые производные лемнискатного синуса и лемнискатного косинуса представляют собой их отрицательные дублированные кубы:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z$

Функции лемнискаты можно интегрировать с помощью функции обратного тангенса:

${\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}$

Сумма аргументов и множественные тождества

Подобно тригонометрическим функциям, лемнискатные функции удовлетворяют тождествам суммы аргументов и разностей. Первоначальное обозначение, использованное Фаньяно для разделения лемнискаты пополам, было:

$\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}$

Производные и пифагорейские тождества могут быть использованы для переработки тождества, используемого Фагано, в терминах sl и cl . Определение касательной суммы оператора $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)$ и оператор касательной-разности $a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),$ тождества суммы аргументов и разностей могут быть выражены как:

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}$

Они напоминают свои тригонометрические аналоги :

${\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}$

В частности, для вычисления комплекснозначных функций в реальных компонентах,

${\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}$

Формулы биссектрисы:

$\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}$

$\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}$

Формулы дублирования:

$\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}$

$\operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}$

Формулы трипликации:

$\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}$

$\operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}$

Обратите внимание на «обратную симметрию» коэффициентов числителя и знаменателя $\operatorname {sl} 3x$. Это явление можно наблюдать в формулах умножения для $\operatorname {sl} \beta x$ где $\beta =m+ni$ в любое время $m,n\in \mathbb {Z}$ и $m+n$ странно.

Лемнатомические полиномы

Позволять $L$ быть решеткой

$L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .$

Кроме того, пусть $K=\mathbb {Q} (i)$, ${\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]$, $z\in \mathbb {C}$, $\beta =m+in$, $\gamma =m'+in'$ (где $m,n,m',n'\in \mathbb {Z}$), $m+n$ быть странным, $m'+n'$ быть странным, $\gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)$ и $\operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)$. Затем

$M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}$

для некоторых взаимно простых многочленов $P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$и некоторые $\varepsilon \in \{0,1,2,3\}$ где

$xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)$

и

$\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })$

где $\delta _{\beta }$ есть ли какой-нибудь $\beta$- торсионный генератор (т.е. $\delta _{\beta }\in (1/\beta )L$ и $[\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L$ генерирует $(1/\beta )L/L$ как ${\mathcal {O}}$- модуль ). Примеры $\beta$-торсионные генераторы включают в себя $2\varpi /\beta$ и $(1+i)\varpi /\beta$. Полином $\Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ называется $\beta$-й лемнатомный полином . Оно монично и неприводимо $K$. Лемнатомные полиномы являются «лемнискатными аналогами» круговых полиномов .

$\Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).$

The $\beta$-й лемнатомный полином $\Lambda _{\beta }(x)$ является минимальным многочленом $\operatorname {sl} \delta _{\beta }$ в $K[x]$. Для удобства пусть $\omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ и ${\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )$. Так, например, минимальный полином $\omega _{5}$ (а также из ${\tilde {\omega }}_{5}$) в $K[x]$ является

$\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,$

и

$\omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}$

${\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}$

(эквивалентное выражение приведено в таблице ниже). Другой пример:

$\Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i$

который является минимальным полиномом $\omega _{-1+2i}$ (а также из ${\tilde {\omega }}_{-1+2i}$) в $K[x].$

Если $p$ является простым и $\beta$ положительный и странный, затем

$\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)$

который можно сравнить с круговым аналогом

$\operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).$

Конкретные значения

Как и в случае с тригонометрическими функциями, значения функций лемнискаты можно вычислить для разделения лемнискаты на n частей одинаковой длины, используя только базовую арифметику и квадратные корни, тогда и только тогда, когда n имеет вид $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ где k — неотрицательное целое число , а каждое p _i (если есть) — отдельное простое число Ферма .

$n$	$\operatorname {cl} n\varpi$	$\operatorname {sl} n\varpi$
$1$	$-1$	$0$
${\tfrac {5}{6}}$	$-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$
${\tfrac {3}{4}}$	$-{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$
${\tfrac {2}{3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\tfrac {1}{2}}$	$0$	$1$
${\tfrac {1}{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\tfrac {1}{4}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$
${\tfrac {1}{6}}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$

Дальнейшие значения

$n$	$\operatorname {cl} n\varpi$	$\operatorname {sl} n\varpi$
${\tfrac {3}{7}}$	$\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {3}{14}}\pi )\cot({\tfrac {1}{28}}\pi )}}+\cos({\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}$
${\tfrac {5}{12}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}-1{\Bigr )}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}+1{\Bigr )}$
${\tfrac {2}{5}}$	${\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{5}}-1){\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1{\bigr )}$	$2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}\,{\sqrt {\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )}}$
${\tfrac {3}{8}}$	${\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\bigr )}}}$	${\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\bigr )}}}$
${\tfrac {5}{14}}$		$\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin({\tfrac {1}{7}}\pi )\cot({\tfrac {3}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {1}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\$
${\tfrac {3}{10}}$	$2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}\,{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}]{5}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1{\bigr )}$
${\tfrac {2}{7}}$	$\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {1}{14}}\pi )\tan({\tfrac {5}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {3}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\$
${\tfrac {3}{14}}$		$\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {1}{14}}\pi )\tan({\tfrac {5}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {3}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\$
${\tfrac {1}{5}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}]{5}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1{\bigr )}$	$2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}\,{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$
${\tfrac {1}{7}}$	$\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin({\tfrac {1}{7}}\pi )\cot({\tfrac {3}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {1}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\$
${\tfrac {1}{8}}$	${\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\bigr )}}}$	${\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\bigr )}}}$
${\tfrac {1}{10}}$	$2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}\,{\sqrt {\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )}}$	${\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{5}}-1){\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1{\bigr )}$
${\tfrac {1}{12}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}+1{\Bigr )}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}-1{\Bigr )}$
${\tfrac {1}{14}}$		$\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {3}{14}}\pi )\cot({\tfrac {1}{28}}\pi )}}+\cos({\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}$

Отношение к геометрическим фигурам

Длина дуги лемнискаты Бернулли

Лемнискатный синус и косинус связывают длину дуги лемнискаты с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

Тригонометрический синус и косинус аналогичным образом связывают длину дуги окружности единичного диаметра с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

${\mathcal {L}}$, лемниската Бернулли с единичным расстоянием от центра до самой дальней точки (т. е. с единичной «полушириной»), важна в теории лемнискатных эллиптических функций. Его можно охарактеризовать как минимум тремя способами:

Угловая характеристика: Учитывая два момента $A$ и $B$ которые находятся на единичном расстоянии друг от друга, пусть $B'$ быть отражением ​ $B$ о $A$. Затем ${\mathcal {L}}$ – это замыкание геометрического положения точек $P$ такой, что $|APB-APB'|$ это прямой угол .

Фокальная характеристика: ${\mathcal {L}}$ - это геометрическое место точек на плоскости, такое что произведение их расстояний от двух фокальных точек $F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}$ и $F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}$ константа ${\tfrac {1}{2}}$.

Явная координатная характеристика: ${\mathcal {L}}$ представляет собой кривую четвертой степени, удовлетворяющую полярному уравнению $r^{2}=\cos 2\theta$ или декартово уравнение ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

Периметр ​ ​ ${\mathcal {L}}$ является $2\varpi$.

Точки на ${\mathcal {L}}$ на расстоянии $r$ от начала координат являются пересечениями круга $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ и гипербола $x^{2}-y^{2}=r^{4}$. Пересечение в положительном квадранте имеет декартовы координаты:

${\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.$

Используя эту параметризацию с $r\in [0,1]$ за четверть ${\mathcal {L}}$, длина дуги от начала координат до точки ${\big (}x(r),y(r){\big )}$ является:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}$

Аналогично, длина дуги от $(1,0)$ к ${\big (}x(r),y(r){\big )}$ является:

${\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}$

Или в обратном направлении функции лемнискатного синуса и косинуса определяют расстояние от начала координат как функции длины дуги от начала координат и точки. $(1,0)$, соответственно.

Аналогично, функции кругового синуса и косинуса связывают длину хорды с длиной дуги для окружности единичного диаметра с помощью полярного уравнения $r=\cos \theta$ или декартово уравнение $x^{2}+y^{2}=x,$ используя тот же аргумент, что и выше, но с параметризацией:

${\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.$

Альтернативно, так же, как единичный круг $x^{2}+y^{2}=1$ параметризуется через длину дуги $s$ с точки $(1,0)$ к

$(x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),$

${\mathcal {L}}$ параметризуется через длину дуги $s$ с точки $(1,0)$ к

$(x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).$

Интеграл лемниската и функции лемниската удовлетворяют тождеству дублирования аргументов, открытому Фаньяно в 1718 году:

$\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.$

Лемниската разделена на 15 секций одинаковой длины дуги (красные кривые). Поскольку простые делители 15 (3 и 5) являются простыми числами Ферма, этот многоугольник (черный) можно построить с помощью линейки и циркуля.

Позднее математики обобщили этот результат. Аналогично строящимся многоугольникам в круге, лемнискату можно разделить на n частей одинаковой длины дуги, используя только линейку и циркуль тогда и только тогда, когда n имеет вид $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ где k — неотрицательное целое число , а каждое p _i (если есть) — отдельное простое число Ферма . Часть теоремы «если» была доказана Нильсом Абелем в 1827–1828 годах, а часть «только если» была доказана Майклом Розеном в 1981 году. Аналогично, лемнискату можно разделить на n частей одинаковой длины дуги, используя только линейку и циркуль тогда и только тогда, когда $\varphi (n)$ является степенью двойки (где $\varphi$ — полная функция Эйлера ). лемниската Не предполагается, что уже нарисована; теорема относится только к построению точек деления.

Позволять $r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}$. Тогда n - точек деления для ${\mathcal {L}}$ точки

$\left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

где $\lfloor \cdot \rfloor$ это функция пола . приведены Ниже некоторые конкретные значения $\operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}$.

Длина дуги прямоугольной резинки

Лемнискатный синус связывает длину дуги с координатой x в прямоугольной эластике.

Обратный лемнискатный синус также описывает длину дуги s относительно координаты x прямоугольной эластики . Эта кривая имеет координату y и длину дуги:

$y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

Прямоугольная эластика решает задачу, поставленную Якобом Бернулли в 1691 году для описания формы идеализированного гибкого стержня, закрепленного в вертикальном положении на нижнем конце и притягиваемого вниз под действием веса с дальнего конца до тех пор, пока он не согнется горизонтально. Предложенное Бернулли решение положило начало теории пучка Эйлера-Бернулли , получившей дальнейшее развитие Эйлера в 18 веке.

Эллиптическая характеристика

Лемнискатные эллиптические функции и эллипс

Позволять $C$ быть точкой на эллипсе $x^{2}+2y^{2}=1$ в первом квадранте и пусть $D$ быть проекцией $C$ на единичном круге $x^{2}+y^{2}=1$. Расстояние $r$ между источником $A$ и точка $C$ является функцией $\varphi$ (угол $BAC$ где $B=(1,0)$; эквивалентно длине дуги окружности $BD$). Параметр $u$ дается

$u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.$

Если $E$ это проекция $D$ по оси X, и если $F$ это проекция $C$ на оси x, то лемнискатные эллиптические функции имеют вид

$\operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.$

Личности серий

Силовая серия

в степенной ряд равно Разложение лемнискатного синуса в начале координат

$\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}$

где коэффициенты $a_{n}$ определяются следующим образом:

$n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,$

$a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}$

где $i+j+k=n$ трехчленные композиции обозначает все $n$. Например, чтобы оценить $a_{13}$, видно, что композиций всего шесть $13-2=11$ которые дают ненулевой вклад в сумму: $11=9+1+1=1+9+1=1+1+9$ и $11=5+5+1=5+1+5=1+5+5$, так

$a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.$

Разложение можно эквивалентно записать как

$\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}$

где

$p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.$

Разложение в степенной ряд ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ в начале находится

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

где $\alpha _{n}=0$ если $n$ четный и

$\alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}$

если $n$ странно.

Разложение можно эквивалентно записать как

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

где

$s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,$

$t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.$

Для лемнискатного косинуса

$\operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

где

$r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,$

$q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.$

Личность Рамануджана cos/cosh

Знаменитая идентичность cos/cosh Рамануджана гласит, что если

$R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},$

затем

$R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.$

Существует тесная связь между лемнискатными функциями и $R(s)$. Действительно,

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

и

$R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.$

Непрерывные дроби

Для $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$:

$\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)$

$\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}$

Методы расчета

Быстрый алгоритм, возвращающий приближения к $\operatorname {sl} x$ (которые приближаются к $\operatorname {sl} x$ с увеличением $N$), заключается в следующем:

• $a_{0}\leftarrow 1;$ $b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}};$ $c_{0}\leftarrow {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$
• для каждого $n\geq 1$ делать
  • $a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});$ $b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};$ $c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})$
  • если $c_{n}<{\textrm {tolerance}}$ затем
    • $N\leftarrow n;$ перерыв
• $\phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x$
• для каждого n от N до 0 сделать
  • $\phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)$
• возвращаться ${\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}$

Это эффективно использует среднее арифметико-геометрическое и основано на преобразованиях Ландена .

Несколько методов расчета $\operatorname {sl} x$ сначала необходимо произвести замену переменных $\pi x=\varpi {\tilde {x}}$ а затем вычисляем $\operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).$

рядов Метод гиперболических :

$\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C}$

${\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C}$

Метод рядов Фурье :

$\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

${\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi$

Лемнискатные функции можно вычислить быстрее, выполнив

${\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}$

— тэта-функции Якоби .

Ряд Фурье для логарифма лемнискатного синуса:

$\ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Следующие серии личностей были обнаружены Рамануджаном :

${\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi$

$\arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Функции ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ и ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ аналогичный $\sin$ и $\cos$ на единичной окружности имеют следующие разложения в ряд Фурье и гиперболический ряд:

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}$

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}$

Два других метода быстрых вычислений используют следующую сумму и ряд произведений:

Этот продукт описан в учебнике «Курс современного анализа» :

$\mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}$

$\mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}$

Братья Питер и Джонатан Борвейн описали аналогичную формулу в своей работе π и AGM на стр. 60 и далее, упомянув общий случай эллиптической функции Якоби.

По той же схеме с помощью теоремы касательного удвоения можно составить следующие формулы сумм:

${\text{sl}}{\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=f{\biggl (}{\frac {4\pi }{\varpi }}\sin x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2n-1)\pi ]}{\cosh ^{2}[(2n-1)\pi ]-\cos ^{2}x}}{\biggr )}$

${\text{cl}}{\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=f{\biggl (}{\frac {4\pi }{\varpi }}\cos x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2n-1)\pi ]}{\cosh ^{2}[(2n-1)\pi ]-\sin ^{2}x}}{\biggr )}$

где $f(x)=\tan(2\arctan x)=2x/(1-x^{2}).$

Лемниската функционирует как отношение целых функций.

Поскольку лемнискатный синус является мероморфной функцией во всей комплексной плоскости, его можно записать как отношение целых функций . Гаусс показал, что sl имеет следующее разложение произведения, отражающее распределение его нулей и полюсов:

$\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}$

где

$M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).$

Здесь, $\alpha$ и $\beta$ обозначим соответственно нули и полюса sl , находящиеся в квадранте $\operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0$. Доказательство можно найти в. Важно отметить, что бесконечные произведения сходятся к одному и тому же значению для всех возможных порядков, в которых их члены могут быть умножены, как следствие равномерной сходимости .

show Доказательство бесконечного произведения лемнискатного синуса.

It can be easily seen (using uniform and absolute convergence arguments to justify interchanging of limiting operations) that ${\frac {M'(z)}{M(z)}}=-\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<\varpi$ (where $\mathrm {H} _{n}$ are the Hurwitz numbers defined in Lemniscate elliptic functions § Hurwitz numbers) and ${\frac {N'(z)}{N(z)}}=(1+i){\frac {M'((1+i)z)}{M((1+i)z)}}-{\frac {M'(z)}{M(z)}}.$ Therefore ${\frac {N'(z)}{N(z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.$ It is known that ${\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(4n-1)\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-2}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<\varpi .$ Then from ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}=-{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-\operatorname {sl} ^{2}z$ and $\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-{\frac {(1+i)^{2}}{\operatorname {sl} ^{2}((1+i)z)}}$ we get ${\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}=-\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.$ Hence ${\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}={\frac {M'(z)}{M(z)}}-{\frac {N'(z)}{N(z)}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.$ Therefore $\operatorname {sl} z=C{\frac {M(z)}{N(z)}}$ for some constant $C$ for $\left|z\right|<\varpi /{\sqrt {2}}$ but this result holds for all $z\in \mathbb {C}$ by analytic continuation. Using $\lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {sl} z}{z}}=1$ gives $C=1$ which completes the proof. $\blacksquare$

Гаусс предположил, что $\ln N(\varpi )=\pi /2$ (впоследствии это оказалось правдой) и прокомментировал, что это «самое замечательное и доказательство этого свойства обещает самый серьезный рост анализа». Gauss расширил ассортимент продукции для $M$ и $N$ как бесконечный ряд (см. ниже). Он также открыл несколько тождеств, связанных с функциями $M$ и $N$, такой как

The $M$ функция в комплексной плоскости. Сложный аргумент представлен различным оттенком.

The $N$ функция в комплексной плоскости. Сложный аргумент представлен различным оттенком.

$N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]$

и

$N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.$

Благодаря некоторой теореме При разделении пределов нам разрешено умножать бесконечные произведения и собирать одинаковые степени $z$. Это дает следующие разложения в степенные ряды, сходящиеся всюду в комплексной плоскости:

$M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}$

$N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .$

Это можно сравнить со степенным рядом $\operatorname {sl}$ который имеет только конечный радиус сходимости (поскольку он не целый).

Мы определяем $S$ и $T$ к

$S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).$

Тогда лемнискатный косинус можно записать как

$\operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}$

где

$S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}$

$T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .$

Кроме того, тождества

$M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),$

$S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},$

$T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}$

и пифагорейские идентичности

$M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},$

$M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}$

держись за всех $z\in \mathbb {C}$.

Альтернативный способ выражения лемнискатных функций как отношения целых функций включает в себя тета-функции (см. Лемнискатные эллиптические функции § Методы вычислений ; тета-функции и вышеуказанные функции не эквивалентны).

Связь с другими функциями

Связь с эллиптическими функциями Вейерштрасса и Якоби.

Функции лемнискат тесно связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса. $\wp (z;1,0)$ («лемнискатический случай») с инвариантами g ₂ = 1 и g ₃ = 0 . Эта решетка имеет фундаментальные периоды $\omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,$ и $\omega _{2}=i\omega _{1}$. Соответствующие константы функции Вейерштрасса: $e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.$

Связанный случай эллиптической функции Вейерштрасса с g ₂ = a , g ₃ = 0 может быть обработан с помощью масштабирующего преобразования. Однако это может включать комплексные числа. Если желательно оставаться в пределах действительных чисел, следует рассмотреть два случая: a > 0 и a < 0 . периода Параллелограмм представляет собой либо квадрат , либо ромб . Эллиптическая функция Вейерштрасса $\wp (z;-1,0)$ называется «псевдолемнискатическим случаем».

Квадрат лемнискатного синуса можно представить как

$\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}$

где второй и третий аргумент $\wp$ обозначим решёточные инварианты g ₂ и g ₃ . Лемнискатный синус - это рациональная функция в эллиптической функции Вейерштрасса и ее производной:

$\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.$

Лемнискатные функции также можно записать через эллиптические функции Якоби . Эллиптические функции Якоби $\operatorname {sn}$ и $\operatorname {cd}$ с положительным действительным эллиптическим модулем имеют «вертикальную» прямоугольную решетку, ориентированную по действительным и мнимым осям. Альтернативно, функции $\operatorname {sn}$ и $\operatorname {cd}$ с модулем i (и $\operatorname {sd}$ и $\operatorname {cn}$ с модулем $1/{\sqrt {2}}$) имеют квадратную решетку периодов, повернутую на 1/8 оборота.

$\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

$\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

где вторые аргументы обозначают эллиптический модуль $k$.

Функции ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ и ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ также может быть выражено через эллиптические функции Якоби:

${\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),$

${\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).$

Связь с модульной лямбда-функцией

Лемнискатный синус можно использовать для вычисления значений модульной лямбда-функции :

$\prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}$

Например:

${\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}={\tan }{\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}$

Обратные функции

Обратная функция лемнискатного синуса - это лемнискатный арксинус, определяемый как

$\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.$

Его также можно представить гипергеометрической функцией :

$\operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}\right).$

Обратная функция лемнискатного косинуса — это лемнискатный арккосинус. Эта функция определяется следующим выражением:

$\operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x$

Для x в интервале $-1\leq x\leq 1$, $\operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x$ и $\operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x$

Для уменьшения вдвое длины дуги лемнискаты справедливы следующие формулы:

${\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}$

Кроме того, существуют так называемые функции площади гиперболической лемнискаты:

$\operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}$

$\operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\operatorname {arccot}(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}$

$\operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)$

$\operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}$

$\operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} {\bigl [}x(1+{\sqrt {1-x^{4}}})^{-1/2}{\bigr ]}$

Выражение с использованием эллиптических интегралов

Лежниската-арксинус и лемниската-аркосинус также могут быть выражены формой Лежандра:

Эти функции можно отобразить непосредственно, используя неполный эллиптический интеграл первого рода:

$\operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

$\operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)$

Длины дуг лемнискаты также можно выразить, используя только длины дуг эллипсов (вычисленные с помощью эллиптических интегралов второго рода):

${\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}$

Лемниската арккосинус имеет следующее выражение:

$\operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

Использование в интеграции

Лемниската-арксинус можно использовать для объединения многих функций. Вот список важных интегралов (константы интегрирования опущены):

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x$

$\int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}$

$\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}$

$\int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x$

$\int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x$

Гиперболические лемнискатные функции

Основная информация

Гиперболический лемнискатный синус (красный) и гиперболический лемнискатный косинус (фиолетовый) применяются к вещественному аргументу по сравнению с тригонометрическим тангенсом (бледно-пунктирный красный).

Гиперболический лемнискатный синус в комплексной плоскости. Темные области представляют собой нули, а светлые области представляют собой полюса. Сложный аргумент представлен различным оттенком.

Для удобства пусть $\sigma ={\sqrt {2}}\varpi$. $\sigma$ является «квадратным» аналогом $\pi$ (см. ниже). Десятичное разложение $\sigma$ (т.е. $3.7081\ldots$) появляется в записи 34e главы 11 второй записной книжки Рамануджана.

Гиперболический лемнискатный синус ( slh ) и косинус ( clh ) можно определить как обратные эллиптическим интегралам следующим образом:

$z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}$

где в $(*)$, $z$ находится в квадрате с углами $\{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}$. За пределами этого квадрата функции можно аналитически продолжить до мероморфных функций во всей комплексной плоскости.

Полный интеграл имеет значение:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots$

Таким образом, две определенные функции имеют следующее отношение друг к другу:

$\operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}$

Произведение гиперболического лемнискатного синуса и гиперболического лемнискатного косинуса равно единице:

$\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1$

Функции $\operatorname {slh}$ и $\operatorname {clh}$ иметь квадратную решетку периодов с фундаментальными периодами $\{\sigma ,\sigma i\}$.

Гиперболические лемнискатные функции можно выразить через лемнискатный синус и лемнискатный косинус:

$\operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}$

$\operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}$

Но существует также связь с эллиптическими функциями Якоби с эллиптическим модулем, равным квадратному корню из двух:

$\operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}$

$\operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}$

Гиперболический лемнискатный синус имеет следующее мнимое отношение к лемнискатному синусу:

$\operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}$

Это аналогично взаимосвязи между гиперболическим и тригонометрическим синусом:

$\sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}$

Связь с кривой Ферма четвертой степени

Гиперболическая лемниската Тангенс и Котангенс

На этом изображении показана стандартизированная суперэллиптическая прямоугольная кривая Ферма четвертой степени:

Суперэллипс с соотношением $x^{4}+y^{4}=1$

В кривой Ферма четвертой степени $x^{4}+y^{4}=1$ (иногда называемый белкой ) гиперболические лемнискатные синус и косинус аналогичны функциям тангенса и котангенса в единичном круге. $x^{2}+y^{2}=1$ (квадратичная кривая Ферма). Если начало координат и точка на кривой соединены друг с другом линией L , гиперболический лемнискатный синус удвоенной площади между этой линией и осью x является координатой y пересечения L с линией. $x=1$. Так же, как $\pi$ это площадь, заключенная в круг $x^{2}+y^{2}=1$, область, окруженная белкой $x^{4}+y^{4}=1$ является $\sigma$. Более того,

$M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}$

где $M$ – среднее арифметико-геометрическое .

Гиперболический лемнискатный синус удовлетворяет тождеству сложения аргументов:

$\operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}$

Когда $u$ действительна, производная и первоначальная первообразная $\operatorname {slh}$ и $\operatorname {clh}$ можно выразить так:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {slh} (u)={\sqrt {1+\operatorname {slh} (u)^{4}}}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {clh} (u)=-{\sqrt {1+\operatorname {clh} (u)^{4}}}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {slh} (u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {slh} (u)$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {clh} (u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {clh} (u)$

Существуют также гиперболический лемнискатный тангенс и гиперболический лемнискатный тангенс, а также дополнительные функции:

Функции tlh и ctlh удовлетворяют тождествам, описанным в упомянутом дифференциальном уравнении:

${\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}$

${\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}$

Функциональное обозначение sl обозначает лемнискатический синус, а обозначение cl — лемнискатический косинус.Кроме того, эти отношения к эллиптическим функциям Якоби действительны:

${\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}$

${\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}$

Когда $u$ действительно, производная и интеграл четверти периода $\operatorname {tlh}$ и $\operatorname {ctlh}$ можно выразить так:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {tlh} (u)=\operatorname {ctlh} (u)^{3}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {ctlh} (u)=-\operatorname {tlh} (u)^{3}$ $\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\operatorname {tlh} (u)\,\mathrm {d} u={\frac {\varpi }{2}}$ $\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\operatorname {ctlh} (u)\,\mathrm {d} u={\frac {\varpi }{2}}$

Вывод гиперболических лемнискатных функций.

По отношению к кривой Ферма четвертой степени $x^{4}+y^{4}=1$, гиперболический лемнискатный синус аналогичен тригонометрической функции тангенса. В отличие от $\operatorname {slh}$ и $\operatorname {clh}$, функции $\sin _{4}$ и $\cos _{4}$ не может быть аналитически продолжено на мероморфные функции во всей комплексной плоскости.

Горизонтальные и вертикальные координаты этого суперэллипса зависят от удвоенной замкнутой площади w = 2A, поэтому должны быть выполнены следующие условия:

$x(w)^{4}+y(w)^{4}=1$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}$

$x(w=0)=1$

$y(w=0)=0$

Решения этой системы уравнений следующие:

$x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}$

$y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}$

Таким образом, к фактору применимо следующее:

${\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)$

Функции x(w) и y(w) называются котангенсным гиперболическим лемнискатом и гиперболическим тангенсом .

$x(w)={\text{ctlh}}(w)$

$y(w)={\text{tlh}}(w)$

На эскизе также показано, что вывод гиперболической лемнискатной функции Areasinus равен обратной величине квадратного корня из наследника четвертой степенной функции.

Первое доказательство: сравнение с производной арктангенса

На эскизе, показанном справа, есть черная диагональ. Длину отрезка, идущего перпендикулярно от пересечения этой черной диагонали с красной вертикальной осью до точки (1|0), следует назвать s. А длина участка черной диагонали от точки начала координат до точки пересечения этой диагонали с голубой изогнутой линией суперэллипса имеет следующее значение в зависимости от значения slh:

$D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}$

Эта связь описывается теоремой Пифагора .

Аналогичный единичный круг дает арктангенс тригонометрического круга с описанным распределением площади.

Для этого применяется следующий вывод:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}$

Чтобы определить вывод площадей sinus lemniscatus Hyperbolicus, ниже приведено сравнение бесконечно малых треугольных площадей для одной и той же диагонали в суперэллипсе и единичном круге. Потому что сумма бесконечно малых треугольных площадей описывает размеры площади. В случае суперэллипса на рисунке половина рассматриваемой области показана зеленым цветом. Из-за квадратичного отношения площадей к длинам треугольников с одинаковым бесконечно малым углом в начале координат применима следующая формула:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}$

Второе доказательство: формирование интеграла и вычитание площади.

На изображении, касательно площади lemniscatus Hyperbolicus, высота пересечения диагонали и изогнутой линии соответствует удвоенной зеленой области. Сама зеленая область создается как разностный интеграл функции суперэллипса от нуля до соответствующего значения высоты минус площадь соседнего треугольника:

${\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}$

Применяется следующее преобразование:

${\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}$

Итак, согласно правилу цепочки , этот вывод имеет место:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=$

$={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}$

Конкретные значения

В этом списке точно показаны значения гиперболического лемнискатного синуса :

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})$

$\mathrm {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})$

В этой таблице показаны наиболее важные значения функций гиперболического лемнискатного тангенса и котангенса :

$z$	$\operatorname {clh} z$	$\operatorname {slh} z$	$\operatorname {ctlh} z=\cos _{4}z$	$\operatorname {tlh} z=\sin _{4}z$
$0$	$\infty$	$0$	$1$	$0$
${\tfrac {1}{4}}\sigma$	$1$	$1$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$
${\tfrac {1}{2}}\sigma$	$0$	$\infty$	$0$	$1$
${\tfrac {3}{4}}\sigma$	$-1$	$-1$	$-1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$
$\sigma$	$\infty$	$0$	$-1$	$0$

Теоремы комбинирования и деления пополам

В сочетании с гиперболическим лемнискатным ареазином можно установить следующие тождества:

${\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}$

${\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}$

Квадрат гиперболического лемнискатного касательного является пифагорейским аналогом квадрата гиперболического лемнискатного котангенса, поскольку сумма четвертых степеней $\operatorname {tlh}$ и $\operatorname {ctlh}$ всегда равно значению единице.

Теорема пополам гиперболического синуса lemniscatus гласит:

${\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}$

Эту формулу можно представить как комбинацию следующих двух формул:

$\mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}$

${\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}$

Кроме того, следующие формулы справедливы для всех действительных значений $x\in \mathbb {R}$:

${\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}$

${\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}$

Эти тождества следуют из последней упомянутой формулы:

${\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}$

${\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}$

Следующие формулы для лемнискатического синуса и лемнискатического косинуса тесно связаны между собой:

${\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}$

${\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}$

Координатные преобразования

Аналогично определению несобственного интеграла в функции колоколообразной кривой Гаусса , преобразование координат общего цилиндра можно использовать для вычисления интеграла от 0 до положительной бесконечности в функции $f(x)=\exp(-x^{4})$ интегрировано по x. Далее доказательства обоих интегралов приводятся в параллельном виде.

Это преобразование цилиндрических координат в функции колоколообразной кривой Гаусса:

${\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=$

$=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =$

$=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}$

А это аналогичное преобразование координат для лемнискатного случая:

${\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{4}-z^{4})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=$

$=\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =$

$=\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}$

В последней строке этой эллиптически аналогичной цепочки уравнений снова находится исходная колоколообразная кривая Гаусса, интегрированная с квадратичной функцией в качестве внутренней замены в соответствии с Цепным правилом инфинитезимальной аналитики (анализа).

В обоих случаях определитель матрицы Якоби умножается на исходную функцию в области интегрирования.

Полученные в результате новые функции в области интеграции затем интегрируются в соответствии с новыми параметрами.

Теория чисел

В алгебраической теории чисел каждое конечное абелево расширение гауссовых рациональных чисел $\mathbb {Q} (i)$ является подполем ​ $\mathbb {Q} (i,\omega _{n})$ для некоторого положительного целого числа $n$. Это аналогично теореме Кронекера–Вебера для рациональных чисел. $\mathbb {Q}$ который основан на делении круга - в частности, каждое конечное абелева расширение $\mathbb {Q}$ является подполем $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ для некоторого положительного целого числа $n$. Обе проблемы являются частными случаями «Югендтраума» Кронекера, ставшего двенадцатой проблемой Гильберта .

Поле ​ $\mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))$ (для положительного нечетного $n$) является продолжением $\mathbb {Q} (i)$ созданный $x$- и $y$-координаты г. $(1+i)n$- точки кручения на эллиптической кривой $y^{2}=4x^{3}+x$.

Числа Гурвица

Числа Бернулли $\mathrm {B} _{n}$ может быть определен

$\mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0$

и появиться в

$\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1$

где $\zeta$ — дзета-функция Римана .

Числа Гурвица $\mathrm {H} _{n},$ названные в честь Адольфа Гурвица , являются «лемнискатными аналогами» чисел Бернулли. Они могут быть определены по

$\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0$

где $\zeta (\cdot ;1/4,0)$ — дзета-функция Вейерштрасса с инвариантами решетки $1/4$ и $0$. Они появляются в

$\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1$

где $\mathbb {Z} [i]$ являются гауссовскими целыми числами и $G_{4n}$ представляют собой ряд Эйзенштейна по весу $4n$и в

$\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}$

Числа Гурвица также можно определить следующим образом: $\mathrm {H} _{4}=1/10$,

$\mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2$

и $\mathrm {H} _{n}=0$ если $n$ не кратно $4$. Это дает

$\mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots$

Также

$\operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=2\prod _{(p-1)|4n}p$

где $p\in \mathbb {P}$ такой, что $p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4),$так же, как

$\operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p$

где $p\in \mathbb {P}$ (по теореме фон Штаудта–Клаузена ).

Фактически, теорема фон Штаудта – Клаузена утверждает, что

$\mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$

(последовательность A000146 в OEIS ), где $p$ — любое простое число, и аналогичная теорема верна для чисел Гурвица: предположим, что $a\in \mathbb {Z}$ странно, $b\in \mathbb {Z}$ даже, $p$ является простым таким, что $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$, $p=a^{2}+b^{2}$ (см. теорему Ферма о суммах двух квадратов ) и $a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)$. Тогда для любого заданного $p$, $a=a_{p}$ однозначно определяется и

$\mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {(2a_{p})^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1,$

$\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }k_{4n+1}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\implies k_{p}\equiv 2a_{p}\,({\text{mod}}\,p).$

Последовательность целых чисел $\mathrm {G} _{n}$ начинается с $0,-1,5,253,\ldots .$

Позволять $n\geq 2$. Если $4n+1$ является простым числом, то $\mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$. Если $4n+1$ не является простым, то $\mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$.

Вместо этого некоторые авторы определяют числа Гурвица как $\mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}$.

Появления в сериале Лорана

Числа Гурвица появляются в нескольких разложениях рядов Лорана, связанных с функциями лемнискат:

${\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}$

Аналогично, в терминах чисел Бернулли:

${\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .$

Квартичный аналог символа Лежандра.

Позволять $p$ быть простым таким, что $p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)$. Четвертичный остаток (мод. $p$) — любое число, соответствующее четвертой степени целого числа. Определять $\left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}$быть $1$ если $a$ – вычет четвертой степени (mod $p$) и определим его как $-1$ если $a$ не является четвертым вычетом (mod $p$).

Если $a$ и $p$ взаимно просты, то существуют числа $p'\in \mathbb {Z} [i]$ (видеть для этих чисел) такая, что

$\left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.$

Эта теорема аналогична

$\left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}$

где $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$ — это символ Лежандра .

Проекции карты мира

«Мир в квинкунциальной проекции» Пирса (1879) .

, Квинкунциальная проекция Пирса разработанная Чарльзом Сандерсом Пирсом из Службы береговой службы США в 1870-х годах, представляет собой картографическую проекцию мира , основанную на обратном лемнискате синуса стереографически проецируемых точек (рассматриваемых как комплексные числа).

Когда линии постоянной действительной или мнимой части проецируются на комплексную плоскость через гиперболический лемнискатный синус, а затем стереографически проецируются на сферу (см. Сфера Римана ), полученные кривые представляют собой сферические коники , сферический аналог плоских эллипсов и гипербол . Таким образом, лемнискатные функции (и, в более общем плане, эллиптические функции Якоби ) обеспечивают параметризацию сферических коник.

Конформная картографическая проекция глобуса на 6 квадратных граней куба также может быть определена с помощью функций лемнискаты. Поскольку многие уравнения в частных производных можно эффективно решить с помощью конформного отображения, такое отображение сферы в куб удобно для моделирования атмосферы .

См. также

• Эллиптическая функция
  • Эллиптические функции Абеля
  • Эллиптические функции Диксона
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Эллиптическая сумма Гаусса
• постоянная Гаусса
• Квинкунциальная проекция Пирса
• Отображение Шварца – Кристоффеля

Внешние ссылки

• Паркер, Мэтт (2021). «Какова площадь Сквиркла?» . Стендап-математика . Ютуб. Архивировано из оригинала 19 декабря 2021 г.

Ссылки

• Абель, Нильс Хенрик (1827–1828) «Исследование эллиптических функций» (на французском языке). Журнал Крелля .
  Часть 1 . 1827. 2 (2): 101–181. дои : 10.1515/crll.1827.2.101 .
  Часть 2 . 1828. 3 (3): 160–190. дои : 10.1515/crll.1828.3.160 .
• Адамс, Оскар Шерман (1925). Эллиптические функции, примененные к конформным картам мира (PDF) . Типография правительства США.
• Аюб, Раймонд (1984). «Вклад лемнискаты и Фаньяно в эллиптические интегралы». Архив истории точных наук . 29 (2): 131–149. дои : 10.1007/BF00348244 .
• Берндт, Брюс К. (1994). Записные книжки Рамануджана, часть IV (первое изд.). Спрингер. ISBN  978-1-4612-6932-8 .
• Боттаццини, Умберто ; Грей, Джереми (2013). Скрытая гармония – геометрические фантазии: возникновение теории комплексных функций . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4614-5725-1 .
• Карлсон, Билли С. (2010). «19. Эллиптические интегралы» . В Олвере, Фрэнк ; и др. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж.
• Кокс, Дэвид Арчибальд (январь 1984 г.). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса» . L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330.
• Кокс, Дэвид Арчибальд; Шурман, Джерри (2005). «Геометрия и теория чисел на клевере» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 112 (8): 682–704. дои : 10.1080/00029890.2005.11920241 .
• Кокс, Дэвид Арчибальд (2012). «Лемниската». Теория Галуа . Уайли. стр. 463–514. дои : 10.1002/9781118218457.ch15 .
• Кокс, Дэвид Арчибальд (2013). Простые числа формы x ² + ​ ² (Второе изд.). Уайли.
• Кокс, Дэвид Арчибальд; Хайд, Тревор (2014). «Теория Галуа о лемнискате» (PDF) . Журнал теории чисел . 135 : 43–59. arXiv : 1208.2653 . дои : 10.1016/j.jnt.2013.08.006 .
• Эннепер, Альфред (1890) [1-е изд. 1876 г.]. «Примечание III: Исторические заметки о геометрических применениях эллиптических интегралов». [Исторические заметки о геометрических приложениях эллиптических интегралов]. Эллиптические функции, теория и история (на немецком языке). Неберт. стр. 524–547.
• Эйлер, Леонард (1761). «Наблюдения по сравнению дуг неспрямляемых кривых» . Новые комментарии Императорской Петрополитанской академии наук (на латыни) 6 : 58–84. Е 252 . ( Цифры )
• Эйлер, Леонард (1786). «О странных свойствах упругой кривой при уравнении ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$ contentae" [Об удивительных свойствах упругих кривых, содержащихся в уравнении ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$]. Известия Петрополитанской Императорской Академии наук (на латыни). 1782 (2): 34–61. Е 605
• Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи . Перевод Уилсона, Стивена. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3246-8 .
• Фаньяно, Джулио Карло (1718–1723) «Метод измерения лемнискаты». Журнал итальянских писателей (на итальянском языке).
  «Schediasma primo» [Часть 1]. 1718. 29 : 258–269.
  «Достиг первой скедиазмы» [Приложение к части 1]. 1723. 34 : 197–207.
  «Скедиазма по» [Часть 2]. 1718. 30 : 87–111.
  Перепечатано как Фаньяно (1850 г.). «32–34. Метод измерения лемнискаты» . Математические труды, вып. 2 . Аллериги и Сегати. стр. 293–313. ( Цифры )
• Гаусс, Карл Фридрих (1917). Сочинения (том X, раздел I) (на латыни и немецком языке). Издано Королевским обществом наук в Геттингене.
• Гомес-Молледа, Массачусетс; Ларио, Жоан-К. (2019). «Конструкции линейки и циркуля равностороннего треугольника и пятиугольника в лемнискатной кривой». Математический интеллект . 41 (4): 17–21. дои : 10.1007/s00283-019-09892-w .
• Гринхилл, Альфред Джордж (1892). Приложения эллиптических функций . Макмиллан.
• Гюйу, Эмиль (1887). «Новая система проекции сферы: Обобщение проекции Меркатора» [Новая система проекции сферы]. Гидрографический аннал . Серия 2 (на французском языке). 9 :16–35.
• Хаузель, Кристиан (1978). «Эллиптические функции и абелевы интегралы». В Дьедонне, Жан (ред.). Конспект истории математики 1700–1900 гг. II (на французском языке). Германн. стр. 1–113.
• Хайд, Тревор (2014). «Продукт Уоллиса на клевере» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 121 (3): 237–243. doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.03.237 .
• Кубота, Томио (1964). «Некоторые арифметические применения эллиптической функции». Журнал Крелля . 214/215 : 141–145. дои : 10.1515/crll.1964.214-215.141 .
• Лангер, Джоэл К.; Певец, Дэвид А. (2010). «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины» (PDF) . Миланский математический журнал . 78 (2): 643–682. дои : 10.1007/s00032-010-0124-5 .
• Лангер, Джоэл К.; Певец, Дэвид А. (2011). «Лемнискатическая шахматная доска» . Форум Геометрикорум . 11 : 183–199.
• Лоуден, Дерек Франк (1989). Эллиптические функции и приложения . Прикладные математические науки. Том. 80. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4757-3980-0 .
• Ли, Лоуренс Патрик (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Картографическая монография. Том. 16. Издательство Университета Торонто.
• Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна . Спрингер. ISBN  3-540-66957-4 .
• Левиен, Раф (2008). Эластика: математическая история (PDF) (Технический отчет). Калифорнийский университет в Беркли. UCB/EECS-2008-103.
• Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения константы лемнискаты». Американский математический ежемесячник . 113 (6): 510–520. дои : 10.2307/27641976 .
• Линдквист, Питер; Пеэтре, Яак (2001). «Два замечательных тождества, называемые двойками, для обратных к некоторым абелевым интегралам» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 108 (5): 403–410. дои : 10.1080/00029890.2001.11919766 .
• Маркушевич, Алексей Иванович (1966). Замечательные синусоидальные функции . Эльзевир.
• Маркушевич, Алексей Иванович (1992). Введение в классическую теорию абелевых функций . Переводы математических монографий. Том. 96. Американское математическое общество. дои : 10.1090/ммоно/096 .
• МакГрегор, Джон Л. (2005). C-CAM: геометрические аспекты и динамическая формулировка (технический отчет). CSIRO Исследования атмосферы . 70.
• Маккин, Генри ; Молл, Виктор (1999). Эллиптические кривые: теория функций, геометрия, арифметика . Кембридж. ISBN  9780521582285 .
• Милн-Томсон, Луи Мелвилл (1964). «16. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям . Национальное бюро стандартов. стр. 567–585.
• Нойман, Эдвард (2007). «О лемнискатных функциях Гаусса и лемнискатическом среднем» (PDF) . Математика Панноника . 18 (1): 77–94.
• Нисимура, Ре (2015). «Новые свойства функции лемниската и ее преобразование» . Журнал математического анализа и приложений . 427 (1): 460–468. дои : 10.1016/j.jmaa.2015.02.066 .
• Огава, Такума (2005). «Сходства между тригонометрической функцией и функцией лемнискаты с точки зрения арифметики» . Математический журнал Цукуба . 29 (1).
• Пирс, Чарльз Сандерс (1879). «Квинкунциальная проекция сферы» . Американский журнал математики . 2 (4): 394–397. дои : 10.2307/2369491 .
• Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое Род? . Конспект лекций по математике. Том. 2162. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-42312-8 .
• Прасолов Виктор; Соловьев, Юрий (1997). «4. Теорема Абеля о делении лемнискаты». Эллиптические функции и эллиптические интегралы . Переводы математических монографий. Том. 170. Американское математическое общество. дои : 10.1090/ммоно/170 .
• Ранчич, Миодраг; Персер, Р. Джеймс; Мезингер, Федор (1996). «Глобальная модель мелководья с использованием расширенного сферического куба: гномонические и конформные координаты». Ежеквартальный журнал Королевского метеорологического общества . 122 (532): 959–982. дои : 10.1002/qj.49712253209 .
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010a). «22. Эллиптические функции Якобиана» . В Олвере, Фрэнк; и др. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010b). «23. Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса» . В Олвере, Фрэнк; и др. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж.
• Робинсон, Пол Л. (2019a). «Лемнискатические функции». arXiv : 1902.08614 .
• Робинсон, Пол Л. (2019b). «Эллиптические функции в системе первого порядка». arXiv : 1903.07147 .
• Розен, Майкл (1981). «Теорема Абеля о лемнискате». Американский математический ежемесячник . 88 (6): 387–395. дои : 10.2307/2321821 .
• Рой, Ранджан (2017). Эллиптические и модульные функции от Гаусса до Дедекинда и Гекке . Издательство Кембриджского университета. п. 28. ISBN  978-1-107-15938-9 .
• Шаппахер, Норберт (1997). «Некоторые вехи лемнискатомии» (PDF) . В Сертёзе, С. (ред.). Алгебраическая геометрия (Материалы летней школы Билкент, 7–19 августа 1995 г., Анкара, Турция). Марсель Деккер. стр. 257–290.
• Шнайдер, Теодор (1937). «Арифметические исследования эллиптических интегралов». Математические анналы (на немецком языке). 113 (1): 1–13. дои : 10.1007/BF01571618 .
• Шварц, Герман Амандус (1869). «О некоторых проблемах картографии». Журнал Крелля (на немецком языке). 70 :105-120. дои : 10.1515/crll.1869.70.105 .
• Сигел, Карл Людвиг (1969). «1. Эллиптические функции». Темы теории комплексных функций, Vol. Я. ​Уайли-Интерсайенс. стр. 1–89. ISBN  0-471-60844-0 .
• Снейп, Джейми (2004). «Лемниската Бернулли» . Приложения эллиптических функций в классической и алгебраической геометрии (Диссертация). Университет Дарема. стр. 50–56.
• Саутард, Томас Х. (1964). «18. Эллиптические и родственные функции Вейерштрасса» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям . Национальное бюро стандартов. стр. 627–683.
• Шридхаран, Рамайенгар (2004) «От физики к математике: от Линтеарии до лемнискаты». Резонанс .
  «Часть I» . 9 (4): 21–29. дои : 10.1007/BF02834853 .
  «Часть II: Работа Гаусса и Ландена» . 9 (6): 11–20. дои : 10.1007/BF02839214 .
• Тодд, Джон (1975). «Лемнискатные константы» . Коммуникации АКМ . 18 (1): 14–19. дои : 10.1145/360569.360580 .
• Вигрен, Эрик; Дикманн, Андреас (21 июня 2020 г.). «Простые решения решеточных сумм для электрических полей из-за бесконечного числа параллельных линейных зарядов» . Симметрия . 12 (6): 1040. дои : 10.3390/sym12061040 .
• Уиттакер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1920) [1-е изд. 1902]. «22.8 Функции лемнискат» . Курс современного анализа (3-е изд.). Кембридж. стр. 524–528.