Принцип отражения Шварца

Эта статья о принципе отражения в комплексном анализе. Принципы отражения теории множеств см. в разделе Принцип отражения .

В математике принцип отражения Шварца — это способ расширения области определения комплексной аналитической функции , т. е. это форма аналитического продолжения . Он утверждает, что если аналитическая функция определена в верхней полуплоскости и имеет четко определенные (несингулярные) действительные значения на действительной оси , то ее можно расширить до сопряженной функции в нижней полуплоскости. В обозначениях, если $F(z)$ — функция, удовлетворяющая указанным выше требованиям, то ее продолжение на остальную часть комплексной плоскости задается формулой $$F({\bar {z}})={\overline {F(z)}}.$$

То есть мы делаем определение, согласующееся по действительной оси.

Герман Блэк

Результат, доказанный Германом Шварцем, состоит в следующем. Предположим, что F — непрерывная функция на замкнутой верхней полуплоскости $\left\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)\geq 0\right\}$, голоморфный в верхней полуплоскости $\left\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\right\}$, который принимает действительные значения на действительной оси. Тогда приведенная выше формула продолжения является аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость.

На практике было бы лучше иметь теорему, допускающую определенные особенности F , например F — мероморфную функцию . Чтобы понять такие расширения, нужен метод доказательства, который можно ослабить. Фактически теорема Мореры хорошо приспособлена для доказательства таких утверждений. Контурные интегралы, включающие расширение F, явно разделяются на две части, используя часть вещественной оси. Итак, учитывая, что этот принцип довольно легко доказать в частном случае теоремы Мореры, понимания доказательства достаточно, чтобы получить другие результаты.

Этот принцип также можно применить к гармоническим функциям .

См. также

• Преобразование Кельвина
• Метод оплаты имиджа
• Функция черного цвета

Внешние ссылки

• «Принцип Римана-Шварца» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Тодд Роуленд. «Принцип отражения Шварца» . Математический мир .