Принцип отражения

Чтобы узнать о других значениях, см. Принцип отражения (значения) .

В теории множеств , разделе математики , принцип отражения гласит, что можно найти множества, которые по любому заданному свойству напоминают класс всех множеств. Существует несколько различных форм принципа отражения, в зависимости от того, что именно подразумевается под словом «напоминать». Слабые формы принципа отражения — это теоремы теории множеств ZF, предложенные Монтегю (1961) , тогда как более сильные формы могут быть новыми и очень мощными аксиомами теории множеств.

Название «принцип отражения» происходит от того факта, что свойства вселенной всех множеств «отражаются» до меньшего множества.

Мотивация

Наивная версия принципа отражения гласит, что «для любого свойства вселенной всех множеств мы можем найти набор с тем же свойством». Это приводит к немедленному противоречию: вселенная всех множеств содержит все множества, но не существует множества, обладающего свойством содержать все множества. Чтобы получить полезные (и непротиворечивые) принципы отражения, нам нужно более внимательно относиться к тому, что мы подразумеваем под «свойством» и какие свойства мы допускаем.

Принципы отражения связаны с попытками сформулировать идею о том, что ни одно понятие, идея или утверждение не может охватить весь наш взгляд на вселенную множеств . Курт Гёдель описал это следующим образом:

Вселенная всех множеств структурно неопределима. Один из возможных способов уточнить это утверждение состоит в следующем: универсум множеств не может быть однозначно охарактеризован (т. е. отличен от всех своих начальных сегментов) каким-либо внутренним структурным свойством отношения принадлежности в нем, которое выражается в любой логике конечных или трансфинитный тип, включая бесконечные логики любого кардинального числа . Этот принцип можно рассматривать как обобщение принципа замыкания .

— 8.7.3, с. 280

Все принципы установления аксиом теории множеств должны быть сведены к Абсолют принципу Аккермана: непознаваем . Сила этого принципа возрастает по мере того, как мы становимся все более сильными системами теории множеств. Остальные принципы являются лишь эвристическими принципами. Следовательно, центральным принципом является принцип отражения, который, вероятно, будет лучше пониматься по мере увеличения нашего опыта. Между тем, это помогает выделить более конкретные принципы, которые либо дают некоторую дополнительную информацию, либо еще не очевидны как выводимые из принципа отражения, как мы его понимаем сейчас.

— 8.7.9, с. 283

Вообще я считаю, что в конечном счете каждая аксиома бесконечности должна быть выведена из (чрезвычайно правдоподобного) принципа неопределимости V , причем определимость следует понимать во все более и более обобщенном и идеализированном смысле.

— 8.7.16, с. 285

Георг Кантор выразил аналогичные взгляды на абсолютную бесконечность : «Все свойства мощности удовлетворяются в этом числе, в котором находится меньший кардинал.

Чтобы найти непротиворечивые принципы отражения, мы могли бы неформально рассуждать следующим образом. Предположим, что у нас есть некоторый набор A методов формирования множеств (например, взятие степеней множества , подмножества , аксиомы замены и так далее). Мы можем представить себе, что мы взяли все множества, полученные путем многократного применения всех этих методов, и сформировали эти множества в класс X , который можно рассматривать как модель некоторой теории множеств. Но в свете этой точки зрения V не может быть исчерпаемо несколькими операциями, иначе его можно было бы легко описать снизу. Этот принцип известен как неисчерпаемость ( V ). результате V больше X. В Применение методов из A к самому множеству X также приведет к получению коллекции, меньшей, чем , поскольку V не исчерпывается образом X при операциях в A. V Тогда можно ввести следующий новый принцип формирования множеств: «совокупность всех множеств, полученных из некоторого множества путем многократного применения всех методов в коллекции А, также является множеством». После добавления этого принципа к V A все еще не исчерпывается операциями в этом A. новом Этот процесс можно повторять дальше и дальше, добавляя все больше и больше операций к множеству A и получая все более крупные X. модели Каждый X похож на V в том смысле, что он разделяет с V свойство замкнутым относительно операций в A. быть

Мы можем использовать этот неформальный аргумент двояко. Мы можем попытаться формализовать это, скажем, в теории множеств ZF; делая это, мы получаем некоторые теоремы теории множеств ZF, называемые теоремами отражения. В качестве альтернативы мы можем использовать этот аргумент, чтобы мотивировать введение новых аксиом теории множеств, таких как некоторые аксиомы, утверждающие существование больших кардиналов .

В ZFC

При попытке формализовать аргумент в пользу принципа отражения из предыдущего раздела теории множеств ZF оказалось необходимым добавить некоторые условия относительно набора свойств A (например, A может быть конечным). В результате получается несколько тесно связанных «теорем отражения», каждая из которых утверждает, что мы можем найти набор, который является почти моделью ZFC. В отличие от более сильных принципов отражения, они доказуемы в ZFC.

Одним из наиболее распространенных принципов отражения для ZFC является схема теорем, которую можно описать следующим образом: для любой формулы $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ с параметрами, если $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ верно (в теоретико-множественной вселенной $V$), то есть уровень $V_{\alpha }$ кумулятивной иерархии такой, что $V_{\alpha }\vDash \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})$. Это известно как принцип отражения Леви-Монтегю. или принцип отражения Леви, в основном исследовано Леви (1960) и Монтегю (1961) . Другая версия этого принципа отражения гласит, что для любого конечного числа формул ZFC мы можем найти множество $V_{\alpha }$ в кумулятивной иерархии так, что все формулы набора абсолютны для $V_{\alpha }$ (что очень грубо означает, что они удерживаются в $V_{\alpha }$ тогда и только тогда, когда они справедливы во вселенной для всех множеств). Итак, это говорит о том, что набор $V_{\alpha }$ напоминает вселенную всех множеств, по крайней мере, в том, что касается данного конечного числа формул.

Другой принцип отражения для ZFC — это схема теорем, которую можно описать следующим образом: Позволять $\phi$ быть формулой с не более чем свободными переменными $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Тогда ZFC доказывает, что

$(\forall N)(\exists M{\supseteq }N)(\forall x_{1},\ldots ,x_{n}{\in }M)(\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi ^{M})$

где $\phi ^{M}$ обозначает релятивизацию ​ $\phi$ к $M$ (то есть замена всех кванторов, встречающихся в $\phi$ формы $\forall x$ и $\exists x$ к $\forall x{\in }M$ и $\exists x{\in }M$, соответственно).

Другая форма принципа отражения в ZFC гласит, что для любого конечного набора аксиом ZFC мы можем найти счетную транзитивную модель, удовлетворяющую этим аксиомам. (В частности, это доказывает, что, если только ZFC не противоречив, он не является конечно аксиоматизируемым, потому что если бы он был таковым, он доказал бы существование модели самого себя и, следовательно, доказал бы свою собственную непротиворечивость, что противоречит второй теореме Гёделя о неполноте.) Эта версия теоремы отражения тесно связана с теоремой Левенхайма–Скулема .

Если $\kappa$ — сильный недоступный кардинал , то существует замкнутое неограниченное подмножество $C$ из $\kappa$, такой, что для каждого $\alpha \in C$, $V_{\alpha }$ представляет собой подструктуру элементарную $V_{\kappa }$.

Как новые аксиомы

Большие кардиналы

Принципы отражения связаны с большими кардинальными аксиомами и могут использоваться для их обоснования. Рейнхардт приводит следующие примеры:

Возможно, будет полезно привести некоторые неформальные аргументы, иллюстрирующие использование принципов отражения.

Возможно, самое простое: вселенная множеств недоступна (т. е. удовлетворяет аксиоме замены), следовательно, существует недоступный кардинал. Это можно несколько уточнить следующим образом. Позволять $\theta _{\nu }$ перечислить недоступных кардиналов. По таким же рассуждениям $\theta _{\nu }$ не ограничен; Канторовский абсолют $\Omega$ (все порядковые номера) является недоступным выше любой предложенной границы $\beta$, следовательно, выше находится недоступный кардинал $\beta$. Ясно, что существуют $\Omega$ недоступное выше ниже $\Omega$; поэтому существует недоступное $\kappa$ такие, что есть $\kappa$ недоступные ниже него (т.е. $\kappa =\theta _{\kappa }$).

Теория классов Бернейса

Пол Бернейс использовал принцип отражения в качестве аксиомы для одной версии теории множеств (а не теории множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя , которая является более слабой теорией). Его принцип отражения грубо гласил, что если $A$ — класс с некоторым свойством, то можно найти транзитивное множество $u$ такой, что $A\cap u$ обладает тем же свойством, если рассматривать его как подмножество «вселенной». $u$. Это довольно мощная аксиома, подразумевающая существование нескольких меньших и больших кардиналов , таких как недоступные кардиналы . (Грубо говоря, класс всех ординалов в ZFC является недоступным кардиналом, если не считать того факта, что он не является множеством, и тогда принцип отражения можно использовать, чтобы показать, что существует множество, обладающее тем же свойством, другими словами это недоступный кардинал.) К сожалению, это не может быть аксиоматизировано непосредственно в ZFC, и теорию классов, такую ​​как теория множеств Морса – Келли обычно приходится использовать . Непротиворечивость принципа отражения Бернейса подразумевается из существования ω-кардинала Эрдеша .

Точнее, аксиомы теории классов Бернейса таковы:

1. экстенсиональность
2. класса спецификация : для любой формулы $\phi$ без $a$ бесплатно, $\exists a\forall b(b\in a\leftrightarrow \phi \land b{\text{ is a set}})$
3. подмножества : $b\subseteq a\land a{\text{ is a set}}\to b{\text{ is a set}}$
4. отражение: для любой формулы $\phi$, $\phi (A)\to \exists u(u{\text{ is a transitive set}}\land \phi ^{{\mathcal {P}}u}(A\cap u))$
5. фундамент
6. выбор

где ${\mathcal {P}}$ обозначает набор мощности .

По словам Акихиро Канамори , в статье 1961 года Бернейс рассмотрел схему отражения

$\phi \to \exists x({\text{transitive}}(x)\land \phi ^{x})$

для любой формулы $\phi$ без $x$ бесплатно, где ${\text{transitive}}(x)$ утверждает, что $x$ является транзитивным . Начнем с наблюдения, которое устанавливает параметры $a_{1},\ldots ,a_{n}$ может появиться в $\phi$ и $x$ можно потребовать сдержать их путем введения положений $\exists y(a_{i}\in y)$ в $\phi$Бернейс именно с помощью этой схемы установил спаривание , объединение , бесконечность и замену , по сути добившись удивительно экономичного представления ZF .

Другие

Некоторые формулировки теории множеств Аккермана используют принцип отражения. Аксиома Аккермана гласит, что для любой формулы $\phi$ не говоря уже $V$,

$a\in V\land b\in V\to \forall x(\phi \to x\in V)\to \exists u{\in }V\forall x(x\in u\leftrightarrow \phi )$

Питер Кёлльнер показал, что общий класс принципов отражения, считающихся «внутренне оправданными», либо непоследователен , либо слаб, поскольку они последовательны относительно кардинала Эрдеша . Однако существуют более мощные принципы отражения, тесно связанные с различными большими кардинальными аксиомами. Почти для каждой известной большой кардинальной аксиомы существует известный принцип отражения, который ее подразумевает, и наоборот, все известные принципы отражения, кроме самых мощных, подразумеваются известными большими кардинальными аксиомами. Примером этого является аксиома целостности , из которого следует существование супер -n -огромных кардиналов для всех конечных n , а его непротиворечивость подразумевается кардиналом I3 ранга в ранг .

Добавьте аксиому, утверждающую, что Ord является кардиналом Мало — для каждого замкнутого неограниченного класса ординалов C (определяемого формулой с параметрами) существует регулярный ординал в C . Это позволяет вывести существование сильных недоступных кардиналов и многое другое по любому порядковому номеру.

Для арифметики

Принципы отражения можно рассматривать для теорий арифметики, которые обычно намного слабее, чем ZFC.

разумность

Позволять ${\mathsf {PA}}$ обозначают арифметику Пеано и ${\mathsf {PA}}_{k}$ обозначают множество истинных предложений языка PA, которые $\Sigma _{k}$ в арифметической иерархии . Теорема Мостовского об отражении состоит в том, что для каждого натурального числа $k$, $PA$ доказывает состоятельность ${\mathsf {PA}}_{k}$. В каждом наборе ${\mathsf {PA}}_{k}$ является $\Sigma _{k}$-определяемо, это должно быть выражено в виде схемы теоремы. ^{п. 4} Эти принципы обоснованности иногда называют принципами синтаксической рефлексии, в отличие от упомянутых выше разновидностей, основанных на удовлетворенности, которые называются принципами семантической рефлексии. ^{п. 1}

Принцип локального отражения $Rfn(T)$ для теории $T$ это схема, которая для каждого предложения $\phi$ языка $T$, $\mathrm {Prov} _{T}(\phi )\implies \phi$. Когда $Rfn_{\Gamma }(T)$ является ограниченной версией принципа, учитывающей только $\phi$ в классе формул $\Gamma$, $\mathrm {Con} (T)$ и $Rfn_{\Pi _{1}^{0}}(T)$ эквивалентны по $T$. ^{п. 205}

Принцип равномерного отражения $RFN(T)$ для теории $T$ это схема, согласно которой для каждого натурального числа $n$, $\forall (\ulcorner \phi \urcorner \in \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0})\forall (y_{0},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N} )(\mathrm {Pr} _{T}(\ulcorner \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}\urcorner \implies \mathrm {Tr} _{n}(\ulcorner \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}\urcorner ))$, где $\Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0}$ есть объединение множеств гёделевых чисел $\Sigma _{n}^{0}$ и $\Pi _{n}^{0}$ формулы и $\phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}$ является $\phi$ со своими свободными переменными $y_{0},\ldots ,y_{m}$ заменено цифрами $\underbrace {S\ldots S} _{y_{0}}0$и т. д. на языке арифметики Пеано, и $\mathrm {Tr} _{n}$ является предикатом частичной истинности для $\Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0}$ формулы. ^{п. 205}

Отражение модели

Для $k\geq 1$, а $\beta _{k}$-модель – это модель, которая имеет правильные значения истинности $\Pi _{k}^{1}$ заявления, где $\Pi _{k}^{1}$ находится в $k+1$-й уровень аналитической иерархии . Счетный $\beta _{k}$-модель подсистемы арифметики второго порядка состоит из счетного множества множеств натуральных чисел, которое может быть закодировано как подмножество $\mathbb {N}$. Теория $\Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}$ доказывает существование $\beta _{1}$-модель, также известная как $\beta$-модель. ^{Теорема VII.2.16}

The $\beta _{k}$-модельный принцип отражения для $\Sigma _{n}^{1}$ формулы утверждают, что для любого $\Sigma _{n}^{1}$ формула $\theta (X)$ с $X$ как его единственная свободная переменная множества, для всех $X\subseteq \mathbb {N}$, если $\theta (X)$ то существует счетное кодированное $\beta _{k}$-модель $M$ где $X\in M$ такой, что $M\vDash \theta (X)$. Расширение $\Sigma _{k}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}$ из ${\mathsf {ACA}}_{0}$ схемой зависимого выбора аксиоматизируется. Для любого $0\leq k$, система $\Sigma _{k+2}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}$ эквивалентно $\beta _{k+1}$-размышление для $\Sigma _{k+4}^{1}$ формулы. ^{Теорема VII.7.6}

$\beta$-модельное отражение имеет связь с теоретико-множественным отражением, например, над слабой теорией множеств KP , добавляя схему отражения $\Pi _{n}$-формулы для транзитивных множеств ( $\phi \implies \exists z({\textrm {transitive}}(z)\land \phi ^{z})$ для всех $\Pi _{n}$ формулы $\phi$) дает то же самое $\Pi _{4}^{1}$- последствия как ${\mathsf {ACA+BI}}$ плюс схема $\beta$-модель отражения для $\Pi _{n+1}^{1}$ формулы.

Ссылки

• Джех, Томас (2002), Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и расширенное) , Springer, ISBN  3-540-44085-2
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN  0-444-85401-0
• Леви, Азриэль (1960), «Схемы аксиом сильной бесконечности в аксиоматической теории множеств» , Pacific Journal of Mathematics , 10 : 223–238, doi : 10.2140/pjm.1960.10.223 , ISSN   0030-8730 , MR   0124205
• Монтегю, Ричард (1961), «Дополнение Френкеля к аксиомам Цермело», в Бар-Хиллеле, Иеошуа; Познанский, EIJ; Рабин, Миссури; Робинсон, Абрахам (ред.), Очерки по основам математики , Еврейский университет, Иерусалим: Magnes Press, стр. 91–114, MR   0163840
• Рейнхардт, В.Н. (1974), «Замечания о принципах отражения, больших кардиналах и элементарных вложениях», Аксиоматическая теория множеств , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XIII, Часть II, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 189–205, МР   0401475.

Внешние ссылки

• системы Mizar Доказательство : http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html