Обычный кардинал

В теории множеств регулярный кардинал — это кардинальное число , равное его собственной конфинальности . Более явно это означает, что $\kappa$ является регулярным кардиналом тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество $C\subseteq \kappa$ имеет мощность $\kappa$. Бесконечные хорошо упорядоченные кардиналы, которые не являются регулярными, называются сингулярными кардиналами . Конечные кардинальные числа обычно не называются регулярными или сингулярными.

При наличии аксиомы выбора любое кардинальное число может быть вполне упорядоченным, и тогда для кардинального числа эквивалентны следующие: $\kappa$:

1. $\kappa$ обычный кардинал.
2. Если $\kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}$ и $\lambda _{i}<\kappa$ для всех $i$, затем $|I|\geq \kappa$.
3. Если $S=\bigcup _{i\in I}S_{i}$, и если $|I|<\kappa$ и $|S_{i}|<\kappa$ для всех $i$, затем $|S|<\kappa$.
4. Категория ​ $\operatorname {Set} _{<\kappa }$ наборов мощности меньше $\kappa$ и все функции между ними замкнуты при копределах мощности меньше $\kappa$.
5. $\kappa$ является регулярным порядковым номером (см. ниже)

Грубо говоря, это означает, что правильный кардинал — это такой, который невозможно разбить на небольшое количество более мелких частей.

Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может не сработать, поскольку в этом случае не все кардиналы обязательно являются мощностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае приведенная выше эквивалентность справедлива только для вполне упорядочиваемых кардиналов.

Бесконечный порядковый номер $\alpha$ является регулярным порядковым номером , если он является предельным порядковым номером , который не является пределом набора меньших порядковых номеров, которые в качестве набора имеют тип порядка меньше, чем $\alpha$. Правильный порядковый номер всегда является начальным порядковым номером , хотя некоторые начальные порядковые номера не являются регулярными, например: $\omega _{\omega }$ (см. пример ниже).

Примеры

Порядковые номера меньше $\omega$ конечны. Конечная последовательность конечных ординалов всегда имеет конечный максимум, поэтому $\omega$ не может быть пределом любой последовательности типа меньше $\omega$ чьи элементы являются порядковыми числами меньше, чем $\omega$, и, следовательно, является регулярным ординалом. $\aleph _{0}$ ( aleph-null ) является правильным кардиналом, поскольку его начальный порядковый номер $\omega$, является регулярным. Также можно непосредственно убедиться в его регулярности, поскольку кардинальная сумма конечного числа конечных кардинальных чисел сама по себе конечна.

$\omega +1$ следующее порядковое число больше, чем $\omega$. Он сингулярен, поскольку не является предельным порядковым номером. $\omega +\omega$ является следующим предельным порядковым номером после $\omega$. Его можно записать как предел последовательности $\omega$, $\omega +1$, $\omega +2$, $\omega +3$, и так далее. Эта последовательность имеет тип заказа $\omega$, так $\omega +\omega$ является пределом последовательности типа меньше $\omega +\omega$ чьи элементы являются порядковыми числами меньше, чем $\omega +\omega$; поэтому оно единично.

$\aleph _{1}$ следующее кардинальное число больше, чем $\aleph _{0}$, поэтому кардиналы меньше $\aleph _{1}$ счетны ( конечны или счетны). Если принять аксиому выбора, то объединение счетного множества счетных множеств само по себе счетно. Так $\aleph _{1}$ не может быть записана как сумма счетного множества счетных кардинальных чисел и является регулярной.

$\aleph _{\omega }$ это следующее кардинальное число после последовательности $\aleph _{0}$, $\aleph _{1}$, $\aleph _{2}$, $\aleph _{3}$, и так далее. Его начальный порядковый номер $\omega _{\omega }$ является пределом последовательности $\omega$, $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, $\omega _{3}$и т. д., который имеет тип заказа $\omega$, так $\omega _{\omega }$ единственное число, и поэтому $\aleph _{\omega }$. Предполагая аксиому выбора, $\aleph _{\omega }$ — первый бесконечный кардинал в единственном числе (первый бесконечный кардинал в единственном числе — это $\omega +1$, а первый бесконечный предельный ординал, являющийся сингулярным, равен $\omega +\omega$). Доказательство существования сингулярных кардиналов требует аксиомы замены , а фактически невозможности доказать существование $\aleph _{\omega }$ В теории множеств Цермело Френкель постулировал эту аксиому.

Несчетные (слабые) предельные кардиналы , которые также являются регулярными, известны как (слабо) недоступные кардиналы . Их существование в ZFC невозможно доказать, хотя известно, что их существование не противоречит ZFC. Их существование иногда воспринимается как дополнительная аксиома. Недоступные кардиналы обязательно являются фиксированными точками функции алеф , хотя не все фиксированные точки являются регулярными. Например, первая фиксированная точка является пределом $\omega$-последовательность $\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...$ и поэтому является единичным.

Характеристики

Если аксиома выбора верна, то каждый последующий кардинал является регулярным. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства чисел алефа можно проверить в зависимости от того, является ли кардинал кардиналом-преемником или предельным кардиналом. Невозможно доказать, что некоторые мощности равны какому-либо конкретному алефу, например, мощность континуума , значение которой в ZFC может быть любым несчетным кардиналом несчетной конфинальности (см. теорему Истона ). Гипотеза континуума постулирует, что мощность континуума равна $\aleph _{1}$, что является регулярным при условии выбора.

Без аксиомы выбора были бы кардинальные числа, которые нельзя было бы упорядочить. Более того, кардинальную сумму произвольного набора определить невозможно. Следовательно, только числа алефов можно осмысленно назвать правильными или единичными кардиналами. Более того, последующий алеф не обязательно должен быть регулярным. Например, объединение счетного множества счетных множеств не обязательно будет счетным. Это согласуется с ZF, что $\omega _{1}$ быть пределом счетной последовательности счетных ординалов, а также множество действительных чисел быть счетным объединением счетных множеств. Кроме того, это согласуется с ZF, если не включать AC, что каждый алеф больше, чем $\aleph _{0}$ сингулярен (результат доказан Моти Гитиком ).

Если $\kappa$ является предельным ординалом, $\kappa$ является регулярным тогда и только тогда, когда множество $\alpha <\kappa$ которые являются критическими точками $\Sigma _{1}$- элементарные вложения $j$ с $j(\alpha )=\kappa$ клуб ​ в $\kappa$.

Для кардиналов $\kappa <\theta$, скажем, что элементарное вложение $j:M\to H(\theta )$ небольшое вложение, если $M$ является транзитивным и $j({\textrm {crit}}(j))=\kappa$. Кардинал $\kappa$ несчетно и регулярно тогда и только тогда, когда существует $\alpha >\kappa$ такой, что для каждого $\theta >\alpha$, есть небольшое вложение $j:M\to H(\theta )$. ^{Следствие 2.2.}

См. также

• Недоступный кардинал

Ссылки

• Герберт Б. Эндертон , Элементы теории множеств , ISBN   0-12-238440-7
• Кеннет Кунен , Теория множеств, Введение в доказательства независимости , ISBN   0-444-85401-0