Предел кардинальный

В математике — предельные кардиналы это определенные кардинальные числа . Кардинальное число λ является слабым предельным кардиналом, если λ не является ни кардиналом-преемником , ни нулем. Это означает, что нельзя «достичь» λ от другого кардинала повторными операциями-преемниками. Эти кардиналы иногда называют просто «предельными кардиналами», если контекст ясен.

Кардинал λ является сильным предельным кардиналом , если λ не может быть достигнуто повторяющимися операциями над набором степеней . Это означает, что λ не равно нулю и для всех κ < λ 2 ^Мистер < λ . Каждый сильный предельный кардинал является также слабым предельным кардиналом, поскольку κ ⁺ ≤ 2 ^Мистер для каждого кардинала κ , где κ ⁺ обозначает кардинал-преемник κ .

Первый бесконечный кардинал, $\aleph _{0}$ ( алеф-ноль ) является сильным предельным кардиналом и, следовательно, также слабым предельным кардиналом.

Конструкции

Одним из способов построения предельных кардиналов является операция объединения: $\aleph _{\omega }$ является слабым предельным кардиналом, определяемым как объединение всех алефов перед ним; и вообще $\aleph _{\lambda }$ для любого предельного ординала λ является слабым предельным кардиналом.

Операцию ב можно использовать для получения сильных предельных кардиналов. Эта операция представляет собой преобразование порядковых номеров в кардиналы, определяемое как

$\beth _{0}=\aleph _{0},$

$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$ (наименьший порядковый номер равнозначного числа с набором степеней)

Если λ — предельный ординал, $\beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

Кардинал

$\beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}$

является сильным предельным кардиналом конфинальности ω. В более общем смысле, учитывая любой порядковый номер α , кардинал

$\beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}$

является сильным предельным кардиналом. Таким образом, существуют сколь угодно большие сильные предельные кардиналы.

Связь с порядковыми индексами

Если выбранная аксиома верна, каждое кардинальное число имеет начальный порядковый номер . Если этот начальный порядковый номер $\omega _{\lambda }\,,$ тогда кардинальное число имеет вид $\aleph _{\lambda }$ для того же порядкового индекса λ . Порядковый номер λ определяет, является ли $\aleph _{\lambda }$ является слабым предельным кардиналом. Потому что $\aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ если λ является порядковым номером-преемником, то $\aleph _{\lambda }$ это не слабый предел. И наоборот, если кардинал κ является кардиналом-преемником, скажем $\kappa =(\aleph _{\alpha })^{+}\,,$ затем $\kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.$ Таким образом, в целом $\aleph _{\lambda }$ является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равно нулю или предельному ординалу.

Хотя порядковый индекс говорит нам, является ли кардинал слабым пределом, он не говорит нам, является ли кардинал сильным пределом. Например, ZFC доказывает, что $\aleph _{\omega }$ является слабым предельным кардиналом, но не доказывает и не опровергает, что $\aleph _{\omega }$ является сильным предельным кардиналом (Hrbacek and Jech 1999:168). Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что $\kappa ^{+}=2^{\kappa }\,$ для любого бесконечного кардинала κ . Согласно этой гипотезе понятия слабого и сильного предельных кардиналов совпадают.

Понятие недоступности и большие кардиналы

Вышеизложенное определяет понятие «недоступности»: мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное количество итераций операций-преемников и степенных наборов; отсюда фраза «невозможно достичь» в обоих интуитивно понятных определениях, приведенных выше. Но «операция объединения» всегда обеспечивает другой способ «доступа» к этим кардиналам (и действительно, то же самое относится и к предельным ординалам). Более строгие понятия недоступности можно определить с помощью конфинальности . Для слабого (соответственно сильного) предельного кардинала κ требование состоит в том, чтобы cf( κ ) = κ (т. е. κ было регулярным ), так что κ не может быть выражено как сумма (объединение) менее чем κ меньших кардиналов. Такой кардинал называется слабо (соответственно сильно) недоступным кардиналом . Оба предыдущих примера являются сингулярными кардиналами конфинальности ω и, следовательно, они не являются недостижимыми.

$\aleph _{0}$ был бы недоступным кардиналом обеих «сильных сторон», за исключением того, что определение недоступного требует, чтобы они были неисчислимыми. Стандартная теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недоступного кардинала любого вида, описанного выше. $\aleph _{0}$, в силу теоремы Гёделя о неполноте . Более конкретно, если $\kappa$ тогда слабо недоступен $L_{\kappa }\models ZFC$. Они образуют первые в иерархии крупных кардиналов .

См. также

• Кардинальное число

Ссылки

• Хрбачек, Карел; Джех, Томас (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), ISBN  0-8247-7915-0
• Джех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Спрингера по математике (изд. третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-44761-X , ISBN  978-3-540-44085-7
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Elsevier , ISBN  978-0-444-86839-8

Внешние ссылки

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Бесконечные чернила на кардиналах