Недоступный кардинал

В теории множеств кардинал несчетный , недостижим арифметики если его нельзя получить из меньших кардиналов обычными операциями кардинальной . Точнее, кардинал $κ$ является строго недоступным , если он удовлетворяет следующим трем условиям: он несчетен, он не является суммой менее чем $κ$ кардиналов, меньших $κ$ , и $\alpha <\kappa$ подразумевает $2^{\alpha }<\kappa$ .

Термин «недоступный кардинал» неоднозначен. Примерно до 1950 года оно означало «слабо недоступный кардинал», но с тех пор оно обычно означает «совершенно недоступный кардинал». Несчетный кардинал слабо недостижим , если он является регулярным слабым предельным кардиналом . Он сильно недостижим или просто недостижим, если является регулярным сильным предельным кардиналом (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо и сильно недоступные кардиналы были несчетными (в этом случае ⁠ $\aleph _{0}$ ⁠ категорически недоступен). Слабо недоступные кардиналы были введены Хаусдорфом (1908) , а сильно недоступные — Серпинским и Тарским (1930) и Цермело (1930) , в последнем они упоминались наряду с $\aleph _{0}$ как предельные числа. ^[1]

Каждый сильно недоступный кардинал также является слабо недоступным, поскольку каждый сильный предельный кардинал является также слабым предельным кардиналом. Если гипотеза обобщенного континуума верна, то кардинал сильно недостижим тогда и только тогда, когда он слабо недоступен.

⁠ $\aleph _{0}$ ⁠ ( aleph-null ) — регулярный сильный предельный кардинал. Предполагая аксиому выбора , любое другое бесконечное кардинальное число является регулярным или (слабым) пределом. Однако только довольно большое кардинальное число может быть и тем, и другим и, следовательно, слабо недоступным.

Порядковый номер является слабо недоступным кардиналом тогда и только тогда, когда он является правильным порядковым номером и является пределом регулярных ординалов. (Ноль, единица и $ω$ — регулярные ординалы, но не пределы регулярных ординалов.) Кардинал, который является слабо недостижимым, а также сильный предельный кардинал, сильно недоступен.

Предположение о существовании строго недоступного кардинала иногда применяется в форме предположения о том, что можно работать внутри вселенной Гротендика , причем эти две идеи тесно связаны.

Модели и последовательность

Теория множеств Цермело–Френкеля с выбором (ZFC) подразумевает, что $\kappa$ й уровень вселенной фон Неймана $V_{\kappa }$ является моделью ZFC всякий раз, когда $\kappa$ категорически недоступен. А ZF подразумевает, что вселенная Гёделя $L_{\kappa }$ является моделью ZFC всякий раз, когда $\kappa$ слабо недоступен. Таким образом, ZF вместе с «существует слабо недостижимый кардинал» подразумевает, что ZFC непротиворечив. Следовательно, недоступные кардиналы — это разновидность больших кардиналов .

Если $V$ является стандартной моделью ZFC и $\kappa$ является недоступным в $V$ , затем: $V_{\kappa }$ является одной из предполагаемых моделей теории множеств Цермело – Френкеля ; и $Def(V_{\kappa })$ это одна из предполагаемых моделей мендельсоновской версии теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя, которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором; и $V_{\kappa +1}$ является одной из предполагаемых моделей теории множеств Морса – Келли . Здесь $Def(X)$ - это набор Δ ₀ определимых подмножеств X (см. Конструируемая вселенная ). Однако, $\kappa$ не обязательно должно быть недоступным или даже кардинальным числом, чтобы $V$ быть стандартной моделью ZF (см. ниже ).

Предполагать $V$ это модель ZFC. Либо V не содержит сильных недоступных, либо, приняв $\kappa$ быть самым маленьким сильным недоступным в $V$ , $V_{\kappa }$ — это стандартная модель ZFC, не содержащая сильных недоступных элементов. Таким образом, непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC+: «нет сильных недоступных». Аналогично, либо $V$ не содержит слабых недоступных, либо, приняв $\kappa$ быть наименьшим порядковым номером, который слабо недоступен относительно любой стандартной подмодели $V$ , затем $L_{\kappa }$ — это стандартная модель ZFC, не содержащая слабых недоступных элементов. Таким образом, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC + «нет слабых и недоступных». Это показывает, что ZFC не может доказать существование недоступного кардинала, поэтому ZFC согласуется с отсутствием каких-либо недоступных кардиналов.

Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, является более тонким. Доказательство, изложенное в предыдущем абзаце, о том, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «нет недоступного кардинала», может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечив, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC влечет за собой непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», не может быть формализовано в ZFC. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте , которая показывает, что если ZFC + «есть недоступный кардинал» непротиворечив, то он не может доказать собственную непротиворечивость. Поскольку ZFC + «есть недоступный кардинал» действительно доказывает непротиворечивость ZFC, если бы ZFC доказала, что ее собственная непротиворечивость влечет за собой непротиворечивость ZFC + «существует недоступный кардинал», тогда эта последняя теория была бы в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, что невозможно, если оно непротиворечиво.

Существуют аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые невозможно формализовать в ZFC. Один из таких аргументов, представленный Хрбачеком и Йехом (1999 , стр. 279), заключается в том, что класс всех ординалов конкретной модели M теории множеств сам по себе был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая M и сохраняя powerset элементов M .

Существование соответствующего класса недоступных

В теории множеств есть много важных аксиом, которые утверждают существование собственного класса кардиналов, удовлетворяющих предикату интереса. В случае недоступности соответствующей аксиомой является утверждение, что для каждого кардинала µ существует недоступный кардинал $κ,$ который строго больше, $µ < κ$ . Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной башни недоступных кардиналов (и иногда ее можно назвать аксиомой недоступных кардиналов). Как и в случае существования любого недоступного кардинала, аксиома недоступного кардинала недоказуема с помощью аксиом ZFC. Предполагая ZFC, недоступная кардинальная аксиома эквивалентна аксиоме вселенной Гротендика и Вердье : каждое множество содержится во вселенной Гротендика . Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или, что эквивалентно, недоступной кардинальной аксиомой) обозначаются ZFCU (не путать с ZFC с urelements ). Эта аксиоматическая система полезна, например, для доказательства того, что каждая категория имеет подходящее вложение Yoneda .

Это относительно слабая большая кардинальная аксиома, поскольку она означает, что ∞ 1-недоступен на языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший ординал не из V, т.е. класс всех ординалов в вашей модели.

α- недоступные кардиналы и гипердоступные кардиналы

Термин « α -недоступный кардинал» неоднозначен и разные авторы используют неодинаковые определения. Одно из определений состоит в том, чтоКардинал $κ$ называется α -недоступным для любого ординала α , если $κ$ недоступен и для каждого ординала β < α , множество β -недоступных объектов, меньших $κ,$ неограничено в $κ$ (и, следовательно, имеет мощность $κ$ , поскольку $κ$ регулярно ). В этом случае 0-недоступные кардиналы совпадают с сильно недоступными кардиналами. Другое возможное определение состоит в том, что кардинал $κ$ называется α -слабо недостижимым, если $κ$ регулярен и для любого ординала β < α множество β -слабо недостижимых меньших, чем $κ,$ неограничено в κ. В этом случае 0-слабо недоступные кардиналы являются регулярными кардиналами, а 1-слабо недоступные кардиналы являются слабо недоступными кардиналами.

-недоступные кардиналы α также можно описать как неподвижные точки функций, которые подсчитывают недоступные снизу. Например, обозначим ψ ₀ ( λ ) λ ^й недоступный кардинал, то неподвижные точки ψ ₀ являются 1-недоступными кардиналами. Тогда пусть ψ _β ( λ ) будет λ ^й β -недоступный кардинал, неподвижными точками ψ _β являются ( β +1)-недоступные кардиналы (значения ψ _{β +1} ( λ )). Если α — предельный ординал, α -недоступная точка — это неподвижная точка каждой ψ _β при β < α (значение ψ _α ( λ ) — это λ ^й такой кардинал). Этот процесс взятия фиксированных точек функций, порождающих последовательно большие кардиналы, обычно встречается при изучении больших кардинальных чисел .

Термин «гипернедоступный» неоднозначен и имеет как минимум три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения регулярного предела сильно недоступных кардиналов (1-недоступных). Другие авторы используют это слово в значении, что $κ$ κ $-недоступно$ . (Оно никогда не может быть $κ +1$ -недоступным.) Иногда оно используется для обозначения кардинала Мало .

Термин α -гипернедоступный также неоднозначен. Некоторые авторы используют его для обозначения α -недоступности. Другие авторы используют определение, согласно которомудля любого ординала α кардинал $κ$ является α -гипернедоступным тогда и только тогда, когда $κ$ гипернедоступен и для каждого ординала β < α множество β -гипернедоступных объектов меньше $κ$ неограничено в $κ$ .

Гипер-гипер-недоступные кардиналы и так далее могут быть определены аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен.

Используя «слабо недоступный» вместо «недоступный», аналогичные определения можно дать для «слабо α -недоступного», «слабо гипердоступного» и «слабо α -гипердоступного».

Кардиналы Мало доступны, гипер-недоступны, гипер-гипер-недоступны и так далее.

Две теоретико-модельные характеристики недоступности

Во-первых, кардинал $κ$ недоступен тогда и только тогда, когда $κ$ обладает следующим свойством отражения : для всех подмножеств $U\subset V_{\kappa }$ , существует $\alpha <\kappa$ такой, что $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ представляет собой подструктуру элементарную $(V_{\kappa },\in ,U)$ . (На самом деле множество таких α замкнуто и неограничено в $κ$ .) Следовательно, $\kappa$ является $\Pi _{n}^{0}$ - неописуемо для всех n ≥ 0. С другой стороны, не обязательно существует порядковый номер $\alpha >\kappa$ такой, что $V_{\kappa }$ , и если это так, то $\kappa$ должно быть $\kappa$ недоступный кардинал. ^[2]

В ZF доказывается, что $V$ имеет несколько более слабое свойство отражения, где подструктура $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ требуется только быть «элементарным» по отношению к конечному набору формул. В конечном счете, причина этого ослабления заключается в том, что, хотя теоретико-модельное отношение удовлетворения $⊧$ может быть определено, сама семантическая истина (т. е. $\vDash _{V}$ ) не может, в силу теоремы Тарского .

Во-вторых, с помощью теоремы о категоричности ZFC Цермело можно доказать, что $\kappa$ недоступен тогда и только тогда, когда $(V_{\kappa },\in )$ является моделью ZFC второго порядка .

В этом случае по свойству отражения, указанному выше, существует $\alpha <\kappa$ такой, что $(V_{\alpha },\in )$ является стандартной моделью ( первого порядка ) ZFC. Следовательно, существование недоступного кардинала является более сильной гипотезой, чем существование транзитивной модели ZFC.

Недоступность $\kappa$ это $\Pi _{1}^{1}$ собственность более $V_{\kappa }$ , ^[3] будучи кардиналом $\pi$ быть недоступным (в некоторой данной модели $\mathrm {ZF}$ содержащий $\pi$ ) является $\Pi _{1}$ . ^[4]

См. также

Цитируемые работы

Дрейк, Франция (1974), Теория множеств: введение в большие кардиналы , исследования логики и основы математики, том. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
Хаусдорф, Феликс (1908), «Основные особенности теории упорядоченных множеств» , Mathematical Annals , 65 (4): 435–505, doi : 10.1007/BF01451165 , hdl : 10338.dmlcz/100813 , ISSN 0025-5831 , S2CID 119648544
Хрбачек, Карел ; Джех, Томас (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), Нью-Йорк: Деккер, ISBN 978-0-8247-7915-3
Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
Серпинский, Вацлав ; Тарский, Альфред (1930), «О характеристическом свойстве недоступных чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300 , ISSN 0016-2736
Цермело, Эрнст (1930), «О предельных числах и диапазонах множеств: новые исследования основ теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29- 47 , ISSN 0016-2736 . Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), «О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основах теории множеств», От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики , Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2 .

Ссылки

^ А. Канамори, « Цермело и теория множеств », стр.526. Бюллетень символической логики, том. 10, нет. 4 (2004). По состоянию на 21 августа 2023 г.
^ А. Энайят, «Аналоги теоремы Макдауэлла-Спкера для теории множеств» (2020), стр.10. По состоянию на 9 марта 2024 г.
^ К. Хаузер, «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения». Журнал символической логики, том. 56, вып. 2 (1991), стр. 439–457.
^ К. Дж. Девлин, «Свойства неописуемости и маленькие большие кардиналы» (1974). В $\vDash$ Конференция ISILC по логике: материалы Международного летнего института и коллоквиума по логике, Киль, 1974 г. , Конспекты лекций по математике, том. 499 (1974)

[1] А. Канамори, « Цермело и теория множеств », стр.526. Бюллетень символической логики, том. 10, нет. 4 (2004). По состоянию на 21 августа 2023 г.

[2] А. Энайят, «Аналоги теоремы Макдауэлла-Спкера для теории множеств» (2020), стр.10. По состоянию на 9 марта 2024 г.

[3] К. Хаузер, «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения». Журнал символической логики, том. 56, вып. 2 (1991), стр. 439–457.

[4] К. Дж. Девлин, «Свойства неописуемости и маленькие большие кардиналы» (1974). В $\vDash$ Конференция ISILC по логике: материалы Международного летнего института и коллоквиума по логике, Киль, 1974 г. , Конспекты лекций по математике, том. 499 (1974)

[1]

[2]

[3]

[4]