Неописуемый кардинал

В теории множеств , разделе математики, Q-неописуемый кардинал — это определенный вид большого кардинального которое трудно аксиоматизировать в каком-либо языке Q. числа , Существует множество различных типов неописуемых кардиналов, соответствующих разным выборам Q. языков Они были представлены Ханфом и Скоттом (1961) .

Кардинальное число $\kappa$ называется $\Pi _{m}^{n}$- неописуемо, если для каждого $\Pi _{m}$ предложение $\phi$, и установите $A\subseteq V_{\kappa }$ с $(V_{\kappa +n},\in ,A)\vDash \phi$ существует $\alpha <\kappa$ с $(V_{\alpha +n},\in ,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi$. Следуя иерархии Леви , здесь рассматриваются формулы с m-1 чередованиями кванторов, причем самый внешний квантор является универсальным. $\Sigma _{m}^{n}$-неописуемые кардиналы определяются аналогичным образом, но с самым внешним квантором существования. Прежде чем определиться со структурой $(V_{\kappa +n},\in ,A)$, в язык теории множеств добавляется один новый символ-предикат, который интерпретируется как $A$. Идея в том, что $\kappa$ невозможно отличить (глядя снизу) от меньших кардиналов никакой формулой логики n+1-го порядка с m-1 чередованиями кванторов, даже с преимуществом дополнительного унарного символа-предиката (для A). Это подразумевает, что оно велико, поскольку означает, что должно быть много меньших кардиналов с похожими свойствами.

Кардинальное число $\kappa$ называется совершенно неописуемым, если оно $\Pi _{m}^{n}$-неописуемо для всех натуральных чисел m и n .

Если $\alpha$ является порядковым, кардинальным числом $\kappa$ называется $\alpha$-неописуемо, если для каждой формулы $\phi$ и каждое подмножество $U$ из $V_{\kappa }$ такой, что $\phi (U)$ держится $V_{\kappa +\alpha }$ есть какой-то $\lambda <\kappa$ такой, что $\phi (U\cap V_{\lambda })$ держится $V_{\lambda +\alpha }$. Если $\alpha$ тогда бесконечно $\alpha$- неописуемые ординалы совершенно неописуемы, и если $\alpha$ конечно, они такие же, как $\Pi _{\omega }^{\alpha }$- неописуемые ординалы. Нет $\kappa$ то есть $\kappa$- неописуемо, да и не $\alpha$- неописуемость обязательно подразумевает $\beta$- неописуемость для любого $\beta <\alpha$, но существует альтернативное представление о проницательных кардиналах , которое имеет смысл, когда $\alpha \geq \kappa$: если $\phi (U,\kappa )$ держится $V_{\kappa +\alpha }$, то есть $\lambda <\kappa$ и $\beta$ такой, что $\phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )$ держится $V_{\lambda +\beta }$. Однако возможно, что кардинал $\pi$ является $\kappa$- неописуемо для $\kappa$ намного больше, чем $\pi$. ^{Ч. 9, теорема 4.3}

Историческая справка

Первоначально кардинал κ назывался Q-неописуемым, если для любой Q-формулы $\phi$ и отношение $A$, если $(\kappa ,<,A)\vDash \phi$ тогда существует $\alpha <\kappa$ такой, что $(\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi$. Используя это определение, $\kappa$ является $\Pi _{0}^{1}$- неописуемо, если только $\kappa$ является регулярным и превышает $\aleph _{0}$. ^стр.207 Кардиналы $\kappa$ удовлетворяющие указанной выше версии, основанной на кумулятивной иерархии, были названы сильно Q-неописуемыми. Это свойство также называют «обычным». $Q$- неописуемость». ^стр.32

Эквивалентные условия

Кардинал - это $\Sigma _{n+1}^{1}$- неописуемо, если это так $\Pi _{n}^{1}$- неописуемо. Кардинал недоступен тогда и только тогда, когда он $\Pi _{n}^{0}$-неописуемо для всех положительных целых чисел $n$, что эквивалентно, если это $\Pi _{2}^{0}$- неописуемо, то же самое, если это $\Sigma _{1}^{1}$- неописуемо.

$\Pi _{1}^{1}$-неописуемые кардиналы — это то же самое, что и слабо компактные кардиналы .

Условие неописуемости эквивалентно $V_{\kappa }$ удовлетворяющий принципу отражения (который доказуем в ZFC), но расширен за счет разрешения формул более высокого порядка со свободной переменной второго порядка.

Для кардиналов $\kappa <\theta$, скажем, что элементарное вложение $j:M\to H(\theta )$ небольшое вложение, если $M$ является транзитивным и $j({\textrm {crit}}(j))=\kappa$. Для любого натурального числа $1\leq n$, $\kappa$ является $\Pi _{n}^{1}$- неописуемо тогда и только тогда, когда существует $\alpha >\kappa$ такой, что для всех $\theta >\alpha$ есть небольшое вложение $j:M\to H_{\theta }$ такой, что $H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})$. ^{, Следствие 4.3}

Если V=L , то для натурального числа n >0 несчетным кардиналом является Π ¹
_n -неописуемо тогда и только тогда, когда оно (n+1)-стационарно.

Принудительные классы

Для класса $X$ ординалов и $\Gamma$- неописуемый кардинал $\kappa$, $X$ говорят, что он применяется в $\alpha$ (по какой-то формуле $\phi$ из $\Gamma$), если есть $\Gamma$-формула $\phi$ и $A\subseteq V_{\kappa }$ такой, что $(V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi$, но ни за что $\beta <\alpha$ с $\beta \notin X$ делает $(V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi$ держать. ^стр.277 Это дает инструмент для демонстрации необходимых свойств неописуемых кардиналов.

Свойства

Собственность $\kappa$ существование $\Pi _{n}^{1}$- неописуемо $\Pi _{n+1}^{1}$ над $V_{\kappa }$, то есть существует $\Pi _{n+1}^{1}$ предложение, что $V_{\kappa }$ удовлетворяет тогда и только тогда, когда $\kappa$ является $\Pi _{n}^{1}$- неописуемо. Для $m>1$, свойство быть $\Pi _{n}^{m}$- неописуемо $\Sigma _{n}^{m}$ и свойство быть $\Sigma _{n}^{m}$- неописуемо $\Pi _{n}^{m}$. Таким образом, для $m>1$, каждый кардинал, который либо $\Pi _{n+1}^{m}$- неописуемый или $\Sigma _{n+1}^{m}$- неописуемо и то и другое $\Pi _{n}^{m}$- неописуемый и $\Sigma _{n}^{m}$- неописуемо и множество таких кардиналов ниже него стационарно. Сила консистенции $\Sigma _{n}^{m}$- неописуемые кардиналы ниже, чем у $\Pi _{n}^{m}$- неописуемо, но для $m>1$ это соответствует ZFC, что наименьшее $\Sigma _{n}^{m}$- неописуемое существует и превосходит наименьшее $\Pi _{n}^{m}$-неописуемый кардинал (это доказывается из непротиворечивости ZFC с $\Pi _{n}^{m}$- неописуемый кардинал и $\Sigma _{n}^{m}$- неописуемый кардинал над ним).

Совершенно неописуемые кардиналы остаются совершенно неописуемыми в конструируемой вселенной и в других канонических внутренних моделях. $\Pi _{n}^{m}$- и $\Sigma _{n}^{m}$- неописуемость.

Для натурального числа $n$, если кардинал $\kappa$ является $n$- неописуемо, есть порядковый номер $\alpha <\kappa$ такой, что $(V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )$, где $\equiv$ обозначает элементарную эквивалентность . Для $n=0$ это двустороннее условие (см. Две теоретико-модельные характеристики недоступности ).

Измеримые кардиналы $\Pi _{1}^{2}$- неописуемо, но наименьший измеримый кардинал не является $\Sigma _{1}^{2}$- неописуемо. Однако, при условии выбора , ниже любого измеримого кардинала существует множество совершенно неописуемых кардиналов.

Для $n\geq 1$, ZFC+"есть $\Sigma _{n}^{1}$-неописуемый кардинал» эквивалентно ZFC+»есть $\Sigma _{n}^{1}$- неописуемый кардинал $\kappa$ такой, что $2^{\kappa }>\kappa ^{+}$", т.е. "GCH выходит из строя при $\Sigma _{n}^{1}$- неописуемый кардинал».

Ссылки

• Ханф, В.П.; Скотт, DS (1961), «Классификация недоступных кардиналов», Уведомления Американского математического общества , 8 : 445, ISSN   0002-9920.
• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-88867-3_2 . ISBN  3-540-00384-3 .