Проницательный кардинал

В математике проницательный кардинал — это определенный вид большого кардинального числа, введенный ( Rathjen 1995 ), расширяющий определение неописуемых кардиналов .

Для порядкового λ кардинальное число κ называется λ-проницательным, если для каждого предложения φ, использующего предикатный символ и с одной свободной переменной, и положить A ⊆ V _κ с (V _κ+λ , ∈, A) ⊧ φ(κ ) существует α, λ' < κ такая, что (V _α+λ' , ∈, A ∩ V _α ) ⊧ φ(α). Оно называется проницательным, если оно λ-проницательно для любого λ ^[1]^{(Определение 4.1)} (в том числе λ > κ).

Это определение расширяет концепцию неописуемости на трансфинитные уровни. λ-проницательный кардинал также является µ-проницательным для любого ординала µ < λ. ^[1]^{(Следствие 4.3)} была разработана Майклом Ратьеном как часть его порядкового анализа Π Проницательность ¹_2- понимание . По сути, это нерекурсивный аналог устойчивости свойства допустимых ординалов .

В более общем смысле, кардинальное число κ называется λ-Π _m -threwd, если для каждого Π _m предложения φ и множества A ⊆ V _κ с (V _κ+λ , ∈, A) ⊧ φ(κ) существует α, λ' < κ, где (V _α+λ' , ∈, A ∩ V _α ) ⊧ φ(α). ^[1]^{(Определение 4.1)} Π _m — это один из уровней иерархии Леви , короче говоря, рассматриваются формулы с m-1 чередованиями кванторов , причем самый внешний квантор является универсальным.

Для конечного n n -Π -проницательных кардиналов — это то же самое , _m что Π _m^н- неописуемый кардинал. ^{[ нужна ссылка ]}

Если κ — тонкий кардинал , то множество κ-хитрых кардиналов стационарно в κ. ^[1]^{(Лемма 4.6)} Кардинал сильно раскрывается, если он проницателен. ^[2]

λ-проницательность — это улучшенная версия λ-неописуемости, как она определена у Дрейка; это кардинальное свойство отличается тем, что отраженная подструктура должна быть (V _α+λ , ∈, A ∩ V _α ), что делает невозможным, чтобы кардинал κ был κ-неописуемым. При этом теряется свойство монотонности: λ-неописуемый кардинал может не быть α-неописуемым для некоторого порядкового числа α < λ.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д М. Ратьен, « Искусство порядкового анализа ». По состоянию на 20 июня 2022 г.
^ Люке, Филипп (2021). «Сильная разворачиваемость, проницательность и комбинаторные последствия». arXiv : 2107.12722 [ math.LO ]. По состоянию на 4 июля 2023 г.

Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .
Ратьен, Майкл (2006). «Искусство порядкового анализа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2009 г. Проверено 13 августа 2009 г.
Ратьен, Майкл (1995), «Последние достижения в порядковом анализе: Π ¹₂ -CA и родственные системы», Бюллетень символической логики , 1 (4): 468–485, doi : 10.2307/421132 , ISSN 1079-8986 , JSTOR 421132 , MR 1369172 , S2CID 10648711

Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[rathjenart-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д М. Ратьен, « Искусство порядкового анализа ». По состоянию на 20 июня 2022 г.

[2] Люке, Филипп (2021). «Сильная разворачиваемость, проницательность и комбинаторные последствия». arXiv : 2107.12722 [ math.LO ]. По состоянию на 4 июля 2023 г.

[1]

[2]