Стационарный набор
В математике , в частности в теории множеств и теории моделей , стационарное множество — это множество , которое не слишком мало в том смысле, что оно пересекает все клубные множества и аналогично множеству ненулевой меры в теории меры . Существует по крайней мере три тесно связанных понятия стационарного множества, в зависимости от того, рассматривается ли подмножество порядкового числа , подмножество чего -то заданной мощности или степенного множества .
Классическое понятие [ править ]
Если кардинал несчетной конфинальности , и пересекает все клубы, установленные в затем называется стационарным множеством . [1] Если множество нестационарно, то оно называется тонким . Это понятие не следует путать с понятием тонкого множества в теории чисел .
Если представляет собой стационарный набор и — трефовое множество, то их пересечение также является стационарным. Это потому, что если есть какой-нибудь клубный набор, тогда это клубный набор, поэтому непусто. Поэтому, должен быть стационарным.
Смотрите также : лемма Фодора.
Ограничение на несчетную конфинальность сделано для того, чтобы избежать тривиальности: предположим, что имеет счетную конфинальность. Затем стационарен в тогда и только тогда, когда ограничен . В частности, если конфинальность является , то любые два стационарных подмножества иметь стационарное пересечение.
Это уже не так, если конфинальность является неисчислимым. В самом деле, предположим более того, является регулярным и является стационарным. Затем можно разделить на множество непересекающихся стационарных множеств. Этот результат принадлежит Соловаю . Если является кардиналом-преемником , этот результат принадлежит Уламу и легко показывается с помощью так называемой матрицы Улама .
Х. Фридман показал, что для каждого счетного последующего порядкового номера , каждое стационарное подмножество содержит закрытое подмножество типа ордера .
Идея Джеха [ править ]
Существует также понятие стационарного подмножества , для кардинал и набор такой, что , где представляет собой набор подмножеств мощности : . Это понятие принадлежит Томасу Джеху . Как и прежде, является стационарным тогда и только тогда, когда он встречается с каждым клубом, где клубное подмножество множество, неограниченное относительно и замкнутый при объединении цепей длины не более . Эти понятия в целом различны, хотя для и они совпадают в том смысле, что стационарен тогда и только тогда, когда стационарен в .
Для этого понятия справедлива и соответствующая версия леммы Фодора.
Обобщенное понятие [ править ]
Существует еще третье понятие, имеющее теоретико-модельный характер и иногда называемое обобщенной стационарностью. Это понятие, вероятно, принадлежит Магидору , Форману и Шеле , а также широко использовалось Вудином .
Теперь позвольте быть непустым множеством. Набор является клубом (замкнутым и неограниченным) тогда и только тогда, когда существует функция такой, что . Здесь, представляет собой совокупность конечных подмножеств .
стационарен в тогда и только тогда, когда он соответствует каждому клубному подмножеству .
Чтобы увидеть связь с теорией моделей, обратите внимание, что если это структура со вселенной на счетном языке и является функцией Скулема для , затем стационарный должна содержать элементарную подструктуру . Фактически, стационарна тогда и только тогда, когда для любой такой структуры существует элементарная подструктура который принадлежит .
Ссылки [ править ]
- ^ Джек (2003) стр.91
- Форман, Мэтью (2002) Стационарные множества, гипотеза Чанга и теория разделов , в Теории множеств (Конференция Хайнала) DIMACS Ser. Дискретная математика. Теория. Комп. наук, 58 лет, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд. стр. 73–94. Файл в [1]
- Фридман, Харви (1974). «О замкнутых множествах ординалов» . Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 43 (1): 190–192. дои : 10.2307/2039353 . JSTOR 2039353 . Збл 0299.04003 .
- Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Збл 1007.03002 .