Неописуемый кардинал

В теории множеств , разделе математики, Q-неописуемый кардинал — это определенный вид большого кардинального которое трудно аксиоматизировать в каком-либо языке Q. числа , Существует множество различных типов неописуемых кардиналов, соответствующих разным выборам Q. языков Они были представлены Ханфом и Скоттом (1961) .

Кардинальное число $\kappa$ называется $\Pi _{m}^{n}$ - неописуемо, если для каждого $\Pi _{m}$ предложение $\phi$ , и установите $A\subseteq V_{\kappa }$ с $(V_{\kappa +n},\in ,A)\vDash \phi$ существует $\alpha <\kappa$ с $(V_{\alpha +n},\in ,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi$ . ^[1] Следуя иерархии Леви , здесь рассматриваются формулы с m-1 чередованиями кванторов, причем самый внешний квантор является универсальным. $\Sigma _{m}^{n}$ -неописуемые кардиналы определяются аналогичным образом, но с самым внешним квантором существования. Прежде чем определиться со структурой $(V_{\kappa +n},\in ,A)$ , в язык теории множеств добавляется один новый символ-предикат, который интерпретируется как $A$ . ^[2] Идея в том, что $\kappa$ невозможно отличить (глядя снизу) от меньших кардиналов никакой формулой логики n+1-го порядка с m-1 чередованиями кванторов, даже с преимуществом дополнительного унарного символа-предиката (для A). Это подразумевает, что оно велико, поскольку означает, что должно быть много меньших кардиналов с похожими свойствами. ^{[ нужна ссылка ]}

Кардинальное число $\kappa$ называется совершенно неописуемым, если оно $\Pi _{m}^{n}$ -неописуемо для всех натуральных чисел m и n .

Если $\alpha$ является порядковым, кардинальным числом $\kappa$ называется $\alpha$ -неописуемо, если для каждой формулы $\phi$ и каждое подмножество $U$ из $V_{\kappa }$ такой, что $\phi (U)$ держится $V_{\kappa +\alpha }$ есть какой-то $\lambda <\kappa$ такой, что $\phi (U\cap V_{\lambda })$ держится $V_{\lambda +\alpha }$ . Если $\alpha$ тогда бесконечно $\alpha$ - неописуемые ординалы совершенно неописуемы, и если $\alpha$ конечно, они такие же, как $\Pi _{\omega }^{\alpha }$ - неописуемые ординалы. Нет $\kappa$ то есть $\kappa$ - неописуемо, да и не $\alpha$ - неописуемость обязательно подразумевает $\beta$ - неописуемость для любого $\beta <\alpha$ , но существует альтернативное представление о проницательных кардиналах , которое имеет смысл, когда $\alpha \geq \kappa$ : если $\phi (U,\kappa )$ держится $V_{\kappa +\alpha }$ , то есть $\lambda <\kappa$ и $\beta$ такой, что $\phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )$ держится $V_{\lambda +\beta }$ . ^[3] Однако возможно, что кардинал $\pi$ является $\kappa$ - неописуемо для $\kappa$ намного больше, чем $\pi$ . ^[1]^{Ч. 9, теорема 4.3}

Историческая справка

Первоначально кардинал κ назывался Q-неописуемым, если для любой Q-формулы $\phi$ и отношение $A$ , если $(\kappa ,<,A)\vDash \phi$ тогда существует $\alpha <\kappa$ такой, что $(\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi$ . ^[4]^[5] Используя это определение, $\kappa$ является $\Pi _{0}^{1}$ - неописуемо, если только $\kappa$ является регулярным и превышает $\aleph _{0}$ . ^[5]^стр.207 Кардиналы $\kappa$ удовлетворяющие указанной выше версии, основанной на кумулятивной иерархии, были названы сильно Q-неописуемыми. ^[6] Это свойство также называют «обычным». $Q$ - неописуемость». ^[7]^стр.32

Эквивалентные условия

Кардинал - это $\Sigma _{n+1}^{1}$ - неописуемо, если это так $\Pi _{n}^{1}$ - неописуемо. ^[8] Кардинал недоступен тогда и только тогда, когда он $\Pi _{n}^{0}$ -неописуемо для всех положительных целых чисел $n$ , что эквивалентно, если это $\Pi _{2}^{0}$ - неописуемо, то же самое, если это $\Sigma _{1}^{1}$ - неописуемо.

$\Pi _{1}^{1}$ -неописуемые кардиналы — это то же самое, что и слабо компактные кардиналы .

Условие неописуемости эквивалентно $V_{\kappa }$ удовлетворяющий принципу отражения (который доказуем в ZFC), но расширен за счет разрешения формул более высокого порядка со свободной переменной второго порядка. ^[8]

Для кардиналов $\kappa <\theta$ , скажем, что элементарное вложение $j:M\to H(\theta )$ небольшое вложение, если $M$ является транзитивным и $j({\textrm {crit}}(j))=\kappa$ . Для любого натурального числа $1\leq n$ , $\kappa$ является $\Pi _{n}^{1}$ - неописуемо тогда и только тогда, когда существует $\alpha >\kappa$ такой, что для всех $\theta >\alpha$ есть небольшое вложение $j:M\to H_{\theta }$ такой, что $H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})$ . ^[9]^{, Следствие 4.3}

Если V=L , то для натурального числа n >0 несчетным кардиналом является Π ¹
_n -неописуемо тогда и только тогда, когда оно (n+1)-стационарно. ^[10]

Принудительные классы

Для класса $X$ ординалов и $\Gamma$ - неописуемый кардинал $\kappa$ , $X$ говорят, что он применяется в $\alpha$ (по какой-то формуле $\phi$ из $\Gamma$ ), если есть $\Gamma$ -формула $\phi$ и $A\subseteq V_{\kappa }$ такой, что $(V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi$ , но ни за что $\beta <\alpha$ с $\beta \notin X$ делает $(V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi$ держать. ^[1]^стр.277 Это дает инструмент для демонстрации необходимых свойств неописуемых кардиналов.

Характеристики

Собственность $\kappa$ существование $\Pi _{n}^{1}$ - неописуемо $\Pi _{n+1}^{1}$ над $V_{\kappa }$ , то есть существует $\Pi _{n+1}^{1}$ предложение, что $V_{\kappa }$ удовлетворяет тогда и только тогда, когда $\kappa$ является $\Pi _{n}^{1}$ - неописуемо. ^[11] Для $m>1$ , свойство быть $\Pi _{n}^{m}$ - неописуемо $\Sigma _{n}^{m}$ и свойство быть $\Sigma _{n}^{m}$ - неописуемо $\Pi _{n}^{m}$ . ^[11] Таким образом, для $m>1$ , каждый кардинал, который либо $\Pi _{n+1}^{m}$ - неописуемый или $\Sigma _{n+1}^{m}$ - неописуемо и то и другое $\Pi _{n}^{m}$ - неописуемый и $\Sigma _{n}^{m}$ - неописуемо и множество таких кардиналов ниже него стационарно. Сила консистенции $\Sigma _{n}^{m}$ - неописуемые кардиналы ниже, чем у $\Pi _{n}^{m}$ - неописуемо, но для $m>1$ это соответствует ZFC, что наименьшее $\Sigma _{n}^{m}$ - неописуемое существует и превосходит наименьшее $\Pi _{n}^{m}$ -неописуемый кардинал (это доказывается из непротиворечивости ZFC с $\Pi _{n}^{m}$ - неописуемый кардинал и $\Sigma _{n}^{m}$ - неописуемый кардинал над ним). ^{[ нужна ссылка ]}

Совершенно неописуемые кардиналы остаются совершенно неописуемыми в конструируемой вселенной и в других канонических внутренних моделях. $\Pi _{n}^{m}$ - и $\Sigma _{n}^{m}$ - неописуемость.

Для натурального числа $n$ , если кардинал $\kappa$ является $n$ - неописуемо, есть порядковый номер $\alpha <\kappa$ такой, что $(V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )$ , где $\equiv$ обозначает элементарную эквивалентность . ^[12] Для $n=0$ это двустороннее условие (см. Две теоретико-модельные характеристики недоступности ).

Измеримые кардиналы $\Pi _{1}^{2}$ - неописуемо, но наименьший измеримый кардинал не является $\Sigma _{1}^{2}$ - неописуемо. Однако при условии выбора ниже любого измеримого кардинала существует множество совершенно неописуемых кардиналов.

Для $n\geq 1$ , ZFC+"есть $\Sigma _{n}^{1}$ -неописуемый кардинал» равнозначно ZFC+»есть $\Sigma _{n}^{1}$ - неописуемый кардинал $\kappa$ такой, что $2^{\kappa }>\kappa ^{+}$ ", т.е. "GCH выходит из строя при $\Sigma _{n}^{1}$ - неописуемый кардинал». ^[8]

Ссылки

Ханф, В.П.; Скотт, DS (1961), «Классификация недоступных кардиналов», Уведомления Американского математического общества , 8 : 445, ISSN 0002-9920.
Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3 .

Цитаты

^ Jump up to: ^а ^б ^с Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .
^ Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное . Монографии Спрингера по математике. п. 295. дои : 10.1007/3-540-44761-X . ISBN 3-540-44085-2 .
^ М. Ратьен, « Высшая бесконечность в теории доказательств » (1995), стр.20. Архивировано 14 января 2024 года.
^ К. Кунен, «Неописуемость и континуум» (1971). Появление в аксиоматической теории множеств: Труды симпозиумов по чистой математике, том. 13 часть 1 , стр.199--203
^ Jump up to: ^а ^б Азриэль Леви, «Размеры неописуемых кардиналов» (1971). Появление в аксиоматической теории множеств: Труды симпозиумов по чистой математике, том. 13 часть 1 , стр.205--218
^ Рихтер, Уэйн; Аксель, Питер (1974). «Индуктивные определения и отражающие свойства допустимых ординалов» . Исследования по логике и основам математики . 79 : 301–381. дои : 10.1016/S0049-237X(08)70592-5 . hdl : 10852/44063 .
^ В. Боос, « Лекции по большим кардинальным аксиомам ». На конференции по логике , Киль, 1974. Конспекты лекций по математике 499 (1975).
^ Jump up to: ^а ^б ^с Хаузер, Кай (1991). «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения». Журнал символической логики . 56 (2): 439–457. дои : 10.2307/2274692 . JSTOR 2274692 .
^ Святой, Питер; Люке, Филипп; Негомир, Ана (2019). «Маленькие характеристики вложения для больших кардиналов» . Анналы чистой и прикладной логики . 170 (2): 251–271. arXiv : 1708.06103 . дои : 10.1016/j.apal.2018.10.002 .
^ Багария, Джоан; Магидор, Менахем ; Сакаи, Хироши (2015). «Отражение и неописуемость в конструктивной вселенной». Израильский математический журнал . 208 : 1–11. дои : 10.1007/s11856-015-1191-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. п. 64. дои : 10.1007/978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3 .
^ В. Н. Рейнхардт, « Теория множеств Аккермана равна ZF », стр. 234–235. Анналы математической логики, том. 2, вып. 2 (1970).

[Drake74-1] Jump up to: ^а ^б ^с Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .

[Jech2006-2] Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное . Монографии Спрингера по математике. п. 295. дои : 10.1007/3-540-44761-X . ISBN 3-540-44085-2 .

[3] М. Ратьен, « Высшая бесконечность в теории доказательств » (1995), стр.20. Архивировано 14 января 2024 года.

[4] К. Кунен, «Неописуемость и континуум» (1971). Появление в аксиоматической теории множеств: Труды симпозиумов по чистой математике, том. 13 часть 1 , стр.199--203

[Levy71-5] Jump up to: ^а ^б Азриэль Леви, «Размеры неописуемых кардиналов» (1971). Появление в аксиоматической теории множеств: Труды симпозиумов по чистой математике, том. 13 часть 1 , стр.205--218

[6] Рихтер, Уэйн; Аксель, Питер (1974). «Индуктивные определения и отражающие свойства допустимых ординалов» . Исследования по логике и основам математики . 79 : 301–381. дои : 10.1016/S0049-237X(08)70592-5 . hdl : 10852/44063 .

[7] В. Боос, « Лекции по большим кардинальным аксиомам ». На конференции по логике , Киль, 1974. Конспекты лекций по математике 499 (1975).

[Hauser91-8] Jump up to: ^а ^б ^с Хаузер, Кай (1991). «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения». Журнал символической логики . 56 (2): 439–457. дои : 10.2307/2274692 . JSTOR 2274692 .

[9] Святой, Питер; Люке, Филипп; Негомир, Ана (2019). «Маленькие характеристики вложения для больших кардиналов» . Анналы чистой и прикладной логики . 170 (2): 251–271. arXiv : 1708.06103 . дои : 10.1016/j.apal.2018.10.002 .

[10] Багария, Джоан; Магидор, Менахем ; Сакаи, Хироши (2015). «Отражение и неописуемость в конструктивной вселенной». Израильский математический журнал . 208 : 1–11. дои : 10.1007/s11856-015-1191-7 .

[Kanamori03-11] Jump up to: ^а ^б Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. п. 64. дои : 10.1007/978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3 .

[12] В. Н. Рейнхардт, « Теория множеств Аккермана равна ZF », стр. 234–235. Анналы математической логики, том. 2, вып. 2 (1970).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]