Тонкий кардинал

В математике — тонкие кардиналы и эфирные кардиналы это тесно связанные виды больших кардинальных чисел.

Кардинал $\kappa$ называется тонким, если для любого замкнутого и неограниченного $C\subset \kappa$ и для каждой последовательности $A$ длины $\kappa$ такой, что $A_{\delta }\subset \delta$ для произвольного $\delta <\kappa$ (где $A_{\delta }$ это $\delta$-й элемент), существуют $\alpha ,\beta$, принадлежащий $C$, с $\alpha <\beta$, такой, что $A_{\alpha }=A_{\beta }\cap \alpha$.

Кардинал $\kappa$ называется эфирным, если для любого замкнутого и неограниченного $C\subset \kappa$ и для каждой последовательности $A$ длины $\kappa$ такой, что $A_{\delta }\subset \delta$ и $A_{\delta }$ имеет ту же мощность, что и $\delta$ для произвольного $\delta <\kappa$, существуют $\alpha ,\beta$, принадлежащий $C$, с $\alpha <\beta$, такой, что ${\textrm {card}}(\alpha )=\mathrm {card} (A_{\beta }\cup A_{\alpha })$.

Тонкие кардиналы были представлены Дженсеном и Куненом (1969) . Эфирные кардиналы были представлены Кетоненом (1974) . Любой тонкий кардинал эфирен, ^{п. 388} и любой сильно недоступный эфирный кардинал тонок. ^{п. 391}

Характеристики

Известны некоторые свойства, эквивалентные тонкости.

Вопенки

Тонкие кардиналы эквивалентны слабой форме кардиналов Вопенки . А именно, недоступный кардинал $\kappa$ является тонким тогда и только тогда, когда в $V_{\kappa +1}$, любая логика имеет стационарно много слабых кардиналов компактности.

Сам принцип Вопенки можно сформулировать как существование сильного кардинала компактности для каждой логики.

Цепи в транзитивных множествах

Есть тонкий кардинал $\leq \kappa$ тогда и только тогда, когда каждое транзитивное множество $S$ мощности $\kappa$ содержит $x$ и $y$ такой, что $x$ является правильным подмножеством $y$ и $x\neq \varnothing$ и $x\neq \{\varnothing \}$. ^{Следствие 2.6.} Бесконечный порядковый номер $\kappa$ является тонким тогда и только тогда, когда для каждого $\lambda <\kappa$, каждое транзитивное множество $S$ мощности $\kappa$ включает в себя цепочку (в стадии включения) типа ордера $\lambda$.

Расширения

Сверхтонкий кардинал — это тонкий кардинал, под которым находится стационарный набор тонких кардиналов. ^стр.1014

См. также

• Список крупных кардинальных свойств

Ссылки

• Фридман, Харви (2001), «Тонкие кардиналы и линейные упорядочения», Анналы чистой и прикладной логики , 107 (1–3): 1–34, doi : 10.1016/S0168-0072(00)00019-1
• Дженсен, РБ; Кунен, К. (1969), Некоторые комбинаторные свойства L и V , неопубликованная рукопись