Jump to content

Элементарная эквивалентность

(Перенаправлено из элементарной подструктуры )

В теории моделей , разделе математической логики , две структуры M и N одной и той же сигнатуры σ называются элементарно эквивалентными , если они удовлетворяют одним и тем же первого порядка σ -предложениям .

Если N является подструктурой M . , часто требуется более сильное условие В этом случае N называется элементарной подструктурой M , первого порядка если каждая σ -формула φ ( a 1 , …, an ) с параметрами a 1 , …, из an N истинна в N тогда и только тогда, когда она в М. правда Если N является элементарной подструктурой M то M называется расширением N. , элементарным Вложение N h : N M называется элементарным вложением N если в M, h ( элементарной ) подструктурой M. является

Подструктура N элементарна также тогда и только тогда, когда она проходит тест Тарского-Вота : каждая формула первого порядка φ ( x , b 1 , …, bn ) с параметрами в N , которая имеет решение в M, имеет решение в N при оценке в M . Можно доказать, что две структуры элементарно эквивалентны играм Эренфойхта–Фрессе .

Элементарные вложения используются при исследовании больших кардиналов , в том числе ранговых .

Элементарно эквивалентные структуры [ править ]

Две структуры M и N одной и той же сигнатуры σ , элементарно эквивалентны если каждое предложение первого порядка (формула без свободных переменных) над σ истинно в M тогда и только тогда, когда оно истинно в N , т. е. если M и N имеют одинаковые полные теория первого порядка.Если M и N элементарно эквивалентны, M N. пишут

первого порядка Теория является полной тогда и только тогда, когда любые две ее модели элементарно эквивалентны.

Например, рассмотрим язык с одним символом двоичного отношения «<». Модель R действительных чисел с ее обычным порядком и модель Q рациональных чисел с ее обычным порядком элементарно эквивалентны, поскольку обе они интерпретируют '<' как неограниченный плотный линейный порядок . Этого достаточно для обеспечения элементарной эквивалентности, поскольку теория неограниченных плотных линейных порядков полна, что можно показать с помощью теста Лоша – Воота .

В более общем смысле, любая теория первого порядка с бесконечной моделью имеет неизоморфные, элементарно эквивалентные модели, которые можно получить с помощью теоремы Левенхайма – Скулема . Так, например, существуют нестандартные модели арифметики Пеано , которые содержат другие объекты, помимо чисел 0, 1, 2 и т. д., и тем не менее элементарно эквивалентны стандартной модели.

Элементарные подструктуры и элементарные расширения [ править ]

N является элементарной подструктурой или элементарной подмоделью M , если N и M являются структурами одной и той же сигнатуры   σ первого порядка такими, что для всех σ -формул φ ( x 1 , …, x n ) со свободными переменными x 1 , …, x n и все элементы a 1 , …, an n из N , φ ( a 1 , …, ) an выполняется в N тогда и только тогда, когда это выполняется в M :

Это определение впервые появляется у Тарского, Воота (1957). [1] Отсюда следует, что N является подструктурой M .

Если N является подструктурой M , то и N, M можно интерпретировать как структуры в сигнатуре σ N, состоящие из σ вместе с новым постоянным символом для каждого элемента N. и Тогда N является элементарной подструктурой M тогда и только тогда, когда N является подструктурой M и N и M элементарно эквивалентны как σ N -структуры.

Если N является элементарной подструктурой M , пишут N M и говорит, что является элементарным расширением N M : M Н.

Нисходящая теорема Левенхайма – Скулема дает счетную элементарную подструктуру для любой бесконечной структуры первого порядка не более чем счетной сигнатуры; восходящая теорема Левенхайма – Скулема дает элементарные расширения любой бесконечной структуры первого порядка сколь угодно большой мощности.

Тест Тарского-Вота [ править ]

Критерий Тарского-Вота (или критерий Тарского-Вота ) является необходимым и достаточным условием того, что подструктура N структуры M является элементарной подструктурой. Это может быть полезно для построения элементарной подструктуры большой конструкции.

Пусть M — структура сигнатуры σ , а N подструктура M. — Тогда N является элементарной подструктурой M и только тогда, когда для каждой формулы первого порядка φ ( x , y 1 , …, y n ) над σ и всех элементов b 1 , …, bn N из тогда , если M x   φ ( x , b 1 , …, bn что ), то существует элемент a из N такой, M φ ( а , б 1 , ..., б п ).

Элементарные вложения [ править ]

Элементарное вложение структуры N в структуру M той же сигнатуры σ — это отображение h : N M первого порядка такое, что для любой σ формулы φ ( x 1 , …, x n ) и всех элементов a 1 - … n из N , ,

Н φ ( a 1 , …, an ) тогда и только тогда, когда M φ ( час ( а 1 ), …, час ( а п )).

Каждое элементарное вложение является сильным гомоморфизмом , а его образ — элементарной подструктурой.

Элементарные вложения — наиболее важные отображения в теории моделей. В теории множеств элементарные вложения, областью которых является V (вселенная теории множеств), играют важную роль в теории больших кардиналов (см. также Критическая точка ).

Ссылки [ править ]

  1. ^ EC Милнер, Использование элементарных подструктур в комбинаторике (1993). В журнале «Дискретная математика» , вып. 136, выпуски 1–3, 1994, стр. 243–252.
  • Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , исследования логики и основы математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0-444-88054-3 .
  • Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-58713-6 .
  • Монк, Дж. Дональд (1976), Математическая логика , Тексты для аспирантов по математике, Нью-Йорк • Гейдельберг • Берлин: Springer Verlag, ISBN  0-387-90170-1
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 9c815a2a852b7d1172b1dd728c7520cb__1695246120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9c/cb/9c815a2a852b7d1172b1dd728c7520cb.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Elementary equivalence - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)