Большой кардинал
В математической области теории множеств большое кардинальное свойство представляет собой определенный вид свойства трансфинитных кардинальных чисел . Кардиналы с такими свойствами, как следует из названия, обычно очень «большие» (например, больше наименьшего α, так что α=ω α ). Предложение о том, что такие кардиналы существуют, не может быть доказано в наиболее распространенной аксиоматизации теории множеств, а именно ZFC , и такие утверждения можно рассматривать как способы измерения того, сколько, помимо ZFC, необходимо предположить, чтобы иметь возможность доказать определенные желаемые значения. результаты. , их можно рассматривать Другими словами, по выражению Даны Скотт как количественную оценку того факта, «что если вы хотите большего, вам придется больше предполагать». [1]
Существует грубое соглашение, согласно которому результаты, доказуемые только с помощью ZFC, могут быть сформулированы без гипотез, но если доказательство требует других предположений (например, существования больших кардиналов), их следует сформулировать. Является ли это просто лингвистической условностью или чем-то большим, является спорным вопросом среди различных философских школ (см. «Мотивации и эпистемический статус» ниже).
А Большая кардинальная аксиома — это аксиома, утверждающая, что существует кардинал (или, возможно, многие из них) с некоторым указанным большим кардинальным свойством.
Большинство теоретиков рабочих множеств считают, что рассматриваемые в настоящее время большие кардинальные аксиомы согласуются с ZFC. [ нужна ссылка ] Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы подразумевать непротиворечивость ZFC. Следствием этого (через вторую теорему Гёделя о неполноте ) является то, что их согласованность с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив).
Не существует общепринятого точного определения того, что такое большое кардинальное свойство, хотя по существу все согласны с тем, что те, что указаны в списке крупных кардинальных свойств, являются крупными кардинальными свойствами.
Частичное определение
[ редактировать ]Необходимым условием того, чтобы свойство кардинальных чисел было большим кардинальным свойством, является то, что существование такого кардинала не противоречит ZF и что такой кардинал К будет несчетным начальным ординалом, для которого L К является моделью. компании ZFC. Если ZFC непротиворечив , то ZFC не подразумевает существования таких больших кардиналов.
Иерархия силы согласованности
[ редактировать ]Замечательное наблюдение относительно больших кардинальных аксиом состоит в том, что они располагаются в строго линейном порядке по силе непротиворечивости . То есть не известно ни одного исключения из следующего: при наличии двух больших кардинальных аксиом A 1 и A 2 происходит ровно одно из трех:
- Если ZFC не противоречив, ZFC+ A 1 непротиворечив тогда и только тогда, когда ZFC+ A 2 непротиворечив;
- ZFC+ A 1 доказывает, что ZFC+ A 2 непротиворечив; или
- ZFC+ A 2 доказывает, что ZFC+ A 1 непротиворечив.
Они взаимоисключающие, если только одна из рассматриваемых теорий на самом деле не противоречива.
случае 1 мы говорим A1 что и A2 В эквисогласованы , . В случае 2 мы говорим, что A 1 по согласованности сильнее, чем A 2 (в случае 3 наоборот). Если A 2 сильнее, чем A 1 , то ZFC+ A 1 не может доказать ZFC+ A 2 непротиворечивость даже при наличии дополнительной гипотезы о том, что ZFC+ A 1 сам по себе непротиворечив (при условии, конечно, что это действительно так). Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте .
Наблюдение о том, что большие кардинальные аксиомы линейно упорядочены по силе непротиворечивости, — это всего лишь наблюдение, а не теорема. (Без принятого определения крупного кардинального свойства оно не подлежит доказательству в обычном смысле.) Кроме того, не в каждом случае известно, какой из трех случаев имеет место. Сахарон Шела спросил: «Есть ли какая-то теорема, объясняющая это, или наше видение просто более единообразно, чем мы думаем?» Вудин , однако, выводит это из Ω-гипотезы , основной нерешенной проблемы его Ω-логики . Примечательно также, что многие комбинаторные утверждения именно эквисовместимы с каким-то большим кардиналом, а не, скажем, являются промежуточными между ними.
Порядок силы непротиворечивости не обязательно совпадает с порядком размера наименьшего свидетеля большой кардинальной аксиомы. Например, существование огромного кардинала с точки зрения силы согласованности намного сильнее, чем существование сверхкомпактного кардинала , но если предположить, что оба существуют, первый огромный меньше, чем первый сверхкомпактный.
Мотивации и эпистемический статус
[ редактировать ]Большие кардиналы понимаются в контексте вселенной фон Неймана V, которая создается путем трансфинитного повторения операции набора степеней , которая собирает вместе все подмножества данного набора. Обычно модели , в которых большие кардинальные аксиомы не работают, можно каким-то естественным образом рассматривать как подмодели тех, в которых аксиомы выполняются. Например, если есть недоступный кардинал , то «отсечение вселенной» на высоте первого такого кардинала дает вселенную , в которой нет недоступных кардиналов. Или, если существует измеримый кардинал , то итерация определимой операции над набором степеней, а не полной операции, дает конструктивную вселенную Гёделя L, которая не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал» (даже несмотря на то, что она содержит измеримый кардинал как порядковый номер). ).
Таким образом, с определенной точки зрения многих теоретиков множеств (особенно тех, кто вдохновлен традицией Кабала ) , большие кардинальные аксиомы «говорят», что мы рассматриваем все множества, которые «должны» рассматривать, в то время как их отрицания являются «ограничительными» и говорят, что мы рассматриваем только некоторые из этих множеств. Более того, последствия крупных кардинальных аксиом, похоже, подчиняются естественным закономерностям (см. Мэдди, «Веря в аксиомы, часть II»). По этим причинам такие теоретики множеств склонны считать, что большие кардинальные аксиомы имеют предпочтительный статус среди расширений ZFC, который не разделяется аксиомами с менее ясной мотивацией (такими как аксиома Мартина ) или другими, которые они считают интуитивно маловероятными (такими как V = Л ). Убежденные реалисты в этой группе сказали бы проще, что большие кардинальные аксиомы истинны .
Эта точка зрения ни в коем случае не является универсальной среди теоретиков множеств. Некоторые формалисты утверждают, что теория стандартных множеств по определению является изучением последствий ZFC, и хотя они в принципе не возражают против изучения последствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы в качестве предпочтительных. Есть также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является правильной мотивацией, и даже считают, что основные кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, есть некоторые, кто отрицает, что отрицания больших кардинальных аксиом являются ограничительными, указывая, что (например) в L может существовать модель транзитивного множества , которая полагает, что существует измеримый кардинал, даже если сам L не удовлетворяет этому требованию. предложение.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Белл, Дж. Л. (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств . Издательство Оксфордского университета. viii. ISBN 0-19-853241-5 .
Ссылки
[ редактировать ]- Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .
- Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
- Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-00384-3 .
- Канамори, Акихиро; Магидор, М. (1978), «Эволюция больших кардинальных аксиом в теории множеств» (PDF) , Высшая теория множеств , Конспекты лекций по математике, том. 669, Springer Berlin/Heidelberg, стр. 99–275, doi : 10.1007/BFb0103104 , ISBN. 978-3-540-08926-1 , получено 25 сентября 2022 г.
- Мэдди, Пенелопа (1988). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . 53 (2): 481–511. дои : 10.2307/2274520 . JSTOR 2274520 .
- Мэдди, Пенелопа (1988). «Веря в аксиомы, II». Журнал символической логики . 53 (3): 736–764. дои : 10.2307/2274569 . JSTOR 2274569 . S2CID 16544090 .
- Шела, Сахарон (2002). «Будущее теории множеств». arXiv : math/0211397 .
- Соловей, Роберт М .; Уильям Н. Рейнхардт ; Акихиро Канамори (1978). «Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения» (PDF) . Анналы математической логики . 13 (1): 73–116. дои : 10.1016/0003-4843(78)90031-1 .
- Вудин, В. Хью (2001). «Гипотеза континуума, часть II». Уведомления Американского математического общества . 48 (7): 681–690.
