Аксиома конструкции

Аксиома конструкции является возможной аксиомой для теории наборов в математике, которая утверждает, что каждый набор подходит для конструкции . Аксиома обычно записывается как v = l . Аксиома, впервые исследованная Куртом Гёделем , не соответствует предположению, что нулевой острый существует и более сильные большие кардинальные аксиом (см. Список больших кардинальных свойств ). Обобщения этой аксиомы изучаются во внутренней теории модели .

Подразумеваемое

Аксиома конструкции подразумевает аксиому выбора (AC), учитывая теорию набора Zermelo -Fraenkel без аксиомы выбора (ZF). Это также решает много естественных математических вопросов, которые не зависят от теории набора Zermelo -Fraenkel с аксиомой выбора (ZFC); Например, аксиома конструкции подразумевает обобщенную гипотезу континуума , отрицание гипотезы Суслина и существование аналитика ( на самом деле,, на самом деле, $\Delta _{2}^{1}$) не измеренный набор реальных чисел , все они не зависят от ZFC.

Аксиома конструктивности подразумевает отсутствие больших кардиналов с силой согласованности , большей или равной 0. ^# , который включает в себя некоторые «относительно маленькие» большие кардиналы. Например, ни один кардинал не может быть ω ₁ - erdős в l . В то время как L содержит первоначальные ординалы тех крупных кардиналов (когда они существуют в супермодели L ), и они все еще являются начальными ординалами в L , это исключает вспомогательные структуры (например, меры ), которые наделяют эти кардиналы своими большими кардинальными свойствами.

Хотя аксиома конструктивности действительно решает многие вопросы теории множеств, она обычно не принимается в качестве аксиомы теории множеств так же, как аксиомы ZFC. Среди теоретиков множеств реалистического толка, которые считают, что аксиома конструктивности либо истинна, либо ложна, большинство полагает, что она ложна. Частично это связано с тем, что он кажется излишне «ограничительным», поскольку допускает только определенные подмножества данного набора (например, $0^{\sharp }\subseteq \omega$ не могут существовать), без явных оснований полагать, что это все. Частично это происходит потому, что аксиома противоречит достаточно сильным большим кардинальным аксиомам . Эта точка зрения особенно связана с Кабалой или «Калифорнийской школой», как Сахарон Шела выразился бы .

В арифметике

Особенно с 1950-х по 1970-е годы были проведены некоторые исследования по разработке аналога аксиомы конструкции для подсистем арифметики второго порядка . Несколько результатов выделяются в изучении таких аналогов:

• Джон Аддисон $\Sigma _{2}^{1}$ формула ${\textrm {Constr}}(X)$ так что ${\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)$ IFF $X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L$IE $X$ это настоящее здание.

• Есть $\Pi _{3}^{1}$ Формула, известная как «аналитическая форма аксиомы конструкции», которая имеет некоторые ассоциации с теоретичной аксиомой v = l. Например, некоторые случаи, когда $M\vDash {\textrm {V=L}}$ IFF $M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Analytical}}\;{\textrm {form}}\;{\textrm {of}}\;{\textrm {V=L}}$ были даны.

Значение

Основное значение аксиомы конструкции заключается в Курта Гёделя доказательстве относительной согласованности выбора гипотезы об и обобщенной континууме для фон Неймана -Бернейс -Гёделя . (Доказательство переносится на теорию набора Zermelo -Fraenkel , которая стала более распространенной в последние годы.)

А именно Гёдель доказал, что $V=L$ относительно последователен (т.е. $ZFC+(V=L)$ может доказать противоречие, тогда как можно $ZF$), и это в $ZF$

$V=L\implies AC\land GCH,$

тем самым установление того, что AC и GCH также являются относительно последовательными.

Доказательство Гёделя было дополнено в последующие годы результатом Пола Коэна о том, что как AC, так и GCH являются независимыми , то есть отрицания этих аксиомов ( $\lnot AC$ и $\lnot GCH$) также относительно соответствуют теории наборов ZF.

Утверждения верны в l

Вот список утверждений, которые справедливы в конструируемой вселенной (обозначенной L ):

• Гипотеза обобщенного континуума и, как следствие
  • Аксиома выбора
• Бриллиантовый костюм
  • Клубный костюм
• Глобальный квадрат
• Существование болот
• Отрицание гипотезы Суслина
• Несуществование 0 ^# и как следствие
  • Отсутствие всех больших кардиналов , что подразумевает существование измеримого кардинала.
• Существование Σ ¹
  ₂ (по отношению к аналитической иерархии ) множество вещественных чисел, не поддающихся измерению .
• Правда о догадке Уайтхеда о том, что каждая абельская группа А с экстренным ¹ ( A , z ) = 0 - бесплатная абельская группа .
• Существование определяемого хорошо упорядоченного из всех наборов (формула, для которой может быть явно указано). В частности, L удовлетворяет v = hod .
• Существование примитивного рекурсивного класса супер $F:{\textrm {Ord}}\to {\textrm {V}}$, т. Е. Функция класса от ORD, чей диапазон содержит все наборы.

Принимая аксиому конструктивности (которая утверждает, что каждый набор является конструктивным ), эти предложения также сохраняются во вселенной фон Неймана , разрешая множество предложений в теории наборов и некоторые интересные вопросы в анализе .

Ссылки

• Devlin, Keith (1984). Конструктивность . Springer-Verlag . ISBN  3-540-13258-9 .

Внешние ссылки

• Сколько существует действительных чисел? , Кейт Девлин, Математическая ассоциация Америки , июнь 2001 г.