Теория внутренней модели

В множеств теории внутренней модели теория это исследование определенных моделей ZFC — или некоторого их фрагмента или усиления. Обычно эти модели представляют собой транзитивные подмножества или подклассы вселенной Неймана V или иногда расширения V. фон общего Теория внутренних моделей изучает взаимосвязь этих моделей с детерминированностью , большими кардиналами и описательной теорией множеств . Несмотря на название, она считается скорее ответвлением теории множеств, чем теории моделей .

Примеры

• Класс всех множеств — это внутренняя модель, содержащая все остальные внутренние модели.
• Первым нетривиальным примером внутренней модели стала конструктивная вселенная L, разработанная Куртом Гёделем . Каждая модель M из ZF имеет внутреннюю модель L. ^М удовлетворяющая аксиоме конструктивности , и это будет наименьшая внутренняя модель M, все ординалы M. содержащая Независимо от свойств исходной модели, L ^М будет удовлетворять обобщенной гипотезе континуума и комбинаторным аксиомам, таким как принцип ромба ◊.
• HOD, класс множеств, определяемых по порядку наследования , образует внутреннюю модель, удовлетворяющую ZFC.
• Множества, наследственно определяемые над счетной последовательностью ординалов, образуют внутреннюю модель, используемую в теореме Соловея .
• L(R) — наименьшая внутренняя модель, содержащая все действительные числа и все порядковые номера.
• L[U], класс, построенный относительно нормального, неглавного, $\kappa$-полный ультрафильтр U по порядковому номеру $\kappa$ (см. нулевой кинжал ).

Согласованность результатов

Одним из важных применений внутренних моделей является доказательство согласованности результатов. что каждая модель аксиомы A имеет внутреннюю модель, удовлетворяющую аксиоме B , то, если A непротиворечива Если можно показать , , B также должна быть непротиворечивой. Этот анализ наиболее полезен, когда A является аксиомой, независимой от ZFC, например, большой кардинальной аксиомой ; это один из инструментов, используемых для ранжирования аксиом по степени непротиворечивости .

Ссылки

• Йех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-00384-7

См. также

• Базовая модель
• Внутренняя модель