Теория внутренней модели
В множеств теории внутренней модели теория это исследование определенных моделей ZFC — или некоторого их фрагмента или усиления. Обычно эти модели представляют собой транзитивные подмножества или подклассы вселенной Неймана V или иногда расширения V. фон общего Теория внутренних моделей изучает взаимосвязь этих моделей с детерминированностью , большими кардиналами и описательной теорией множеств . Несмотря на название, она считается скорее ответвлением теории множеств, чем теории моделей .
Примеры [ править ]
- Класс всех множеств — это внутренняя модель, содержащая все остальные внутренние модели.
- Первым нетривиальным примером внутренней модели стала конструктивная вселенная L, разработанная Куртом Гёделем . Каждая модель M из ZF имеет внутреннюю модель L. М удовлетворяющая аксиоме конструктивности , и это будет наименьшая внутренняя модель M, все ординалы M. содержащая Независимо от свойств исходной модели, L М будет удовлетворять обобщенной гипотезе континуума и комбинаторным аксиомам, таким как принцип ромба ◊.
- HOD, класс множеств, определяемых по порядку наследования , образует внутреннюю модель, удовлетворяющую ZFC.
- Множества, наследственно определяемые над счетной последовательностью ординалов, образуют внутреннюю модель, используемую в теореме Соловея .
- L(R) — наименьшая внутренняя модель, содержащая все действительные числа и все порядковые номера.
- L[U], класс, построенный относительно нормального, неглавного, -полный ультрафильтр U по порядковому номеру (см. нулевой кинжал ).
Согласованность результатов [ править ]
Одним из важных применений внутренних моделей является доказательство согласованности результатов. что каждая модель аксиомы A имеет внутреннюю модель, удовлетворяющую аксиоме B , то, если A непротиворечива Если можно показать , , B также должна быть непротиворечивой. Этот анализ наиболее полезен, когда A является аксиомой, независимой от ZFC, например, большой кардинальной аксиомой ; это один из инструментов, используемых для ранжирования аксиом по степени непротиворечивости .
Ссылки [ править ]
- Йех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
- Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00384-7