Алмазный принцип

В математике , и особенно в аксиоматической теории множеств , принцип ромба $◊$ — это комбинаторный принцип, введенный Рональдом Дженсеном в Jensen (1972) , который справедлив в конструируемой вселенной ( $L$ ) и подразумевает гипотезу континуума . Йенсен извлек принцип ромба из своего доказательства того, что из аксиомы конструктивности ( $V = L$ ) следует существование дерева Суслина .

Определения

Алмазный принцип $◊$ утверждает, что существует ◊-последовательность — семейство множеств $A α \subseteq α$ для $α < ω 1$ такое, что для любого подмножества $A$ из ω ₁ множество $α$ такое, что $A \cap α = A α$ стационарно , в $ω 1$ .

Существует несколько эквивалентных форм принципа ромба. Утверждается, что существует счетный набор $A α$ подмножеств $α$ для каждого счетного ординала $α$ такой, что для любого подмножества $A$ из $ω 1$ существует стационарное подмножество $C$ из $ω 1$ такое, что для всех $α$ в $C$ имеем $A \cap α \in А α$ и $C \cap α \in А α$ . Другая эквивалентная форма утверждает, что существуют множества $A α \subseteq α$ для $α < ω 1$ такие, что для любого подмножества $A$ из $ω 1$ существует хотя бы одно бесконечное $α$ такое, что $A \cap α = A α$ .

В более общем смысле, для данного кардинального числа $κ$ и стационарного множества $S \subseteq κ$ утверждение $◊ S$ (иногда пишется $◊(S)$ или $◊ κ (S)$ ) является утверждением о том, что существует последовательность $⟨ A α : α \in S ⟩$ такой, что

каждое $A α \subseteq α$
любого $A \subseteq κ$ { $α α \in S : A \cap α = A} для$ стационарно в $κ$

Принцип $◊ ω 1$ такой же, как и $◊$ .

Принцип бриллиант-плюс $◊ +$ утверждает, что существует $◊ +$ -последовательность , другими словами, счетная совокупность $A α$ подмножеств $α$ для каждого счетного ординала α такая, что для любого подмножества $A$ из $ω 1$ существует замкнутое неограниченное подмножество $C$ из $ω 1$ такое, что для всех $α$ в $C$ имеем $A \cap α \in A α$ и $C \cap α \in A α$ .

Свойства и использование

Дженсен (1972) показал, что принцип ромба $◊$ подразумевает существование деревьев Суслина . Он также показал, что $V = L$ подразумевает принцип ромба-плюс, из которого следует принцип ромба, из которого следует CH . В частности, принцип ромба и принцип ромба-плюс независимы от аксиом ZFC . Также $♣ + CH$ подразумевает $◊$ , но Шелах дал модели $♣ + \neg CH$ , поэтому $◊$ и $♣$ не эквивалентны (скорее, $♣$ слабее, чем $◊$ ).

Матет доказал принцип $\diamondsuit _{\kappa }$ эквивалентно свойству разбиений $\kappa$ с диагональным пересечением начальных участков стационарных в $\kappa$ . ^[1]

Алмазный принцип $◊$ не предполагает существования дерева Курепы , но более сильное $◊ +$ Принцип подразумевает как $принцип ◊$ , так и существование дерева Курепы.

Акеманн и Уивер (2004) использовали $◊$ для построения $C *$ -алгебры, служащей контрпримером к проблеме Наймарка .

Для всех кардиналов $κ$ и стационарных подмножеств $S \subseteq κ +$ , $◊ S$ имеет место в конструируемой вселенной . Шела (2010) доказал, что для $κ > ℵ 0$ , $◊ κ + (S)$ следует из $2 Мистер = Мистер +$ для стационарного $S$ , не содержащего ординалов конфинальности $κ$ .

Шела показал, что принцип ромба решает проблему Уайтхеда , подразумевая, что каждая группа Уайтхеда свободна.

См. также

Ссылки

Акеманн, Чарльз; Уивер, Ник (2004). «Непротиворечивость контрпримера к проблеме Наймарка» . Труды Национальной академии наук . 101 (20): 7522–7525. arXiv : math.OA/0312135 . Бибкод : 2004PNAS..101.7522A . дои : 10.1073/pnas.0401489101 . МР 2057719 . ПМК 419638 . ПМИД 15131270 .
Йенсен, Р. Бьорн (1972). «Тонкая структура конструктивной иерархии» . Анналы математической логики . 4 (3): 229–308. дои : 10.1016/0003-4843(72)90001-0 . МР 0309729 .
Ринот, Ассаф (2011). «Алмазный принцип Дженсена и его родственники». Теория множеств и ее приложения . Современная математика. Том. 533. Провиденс, Род-Айленд: AMS. стр. 125–156. arXiv : 0911.2151 . Бибкод : 2009arXiv0911.2151R . ISBN 978-0-8218-4812-8 . МР 2777747 .
Шела, Сахарон (1974). «Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции». Израильский математический журнал . 18 (3): 243–256. дои : 10.1007/BF02757281 . МР 0357114 . S2CID 123351674 .
Шела, Сахарон (2010). «Бриллианты» . Труды Американского математического общества . 138 (6): 2151–2161. дои : 10.1090/S0002-9939-10-10254-8 .

Цитаты

^ П. Матет, « О ромбовидных последовательностях ». Основы математики том. 131, вып. 1, стр.35--44 (1988)

[1] П. Матет, « О ромбовидных последовательностях ». Основы математики том. 131, вып. 1, стр.35--44 (1988)

[1]