Аксиома конструктивности

Аксиома конструктивности — возможная аксиома теории множеств в математике, которая утверждает, что каждое множество конструируемо . Аксиома обычно записывается V = L. как Аксиома, впервые исследованная Куртом Гёделем , несовместима с утверждением о существовании нулевой точности и более сильными большими кардинальными аксиомами (см. список больших кардинальных свойств ). Обобщения этой аксиомы исследуются в теории внутренних моделей .

Последствия

Из аксиомы конструктивности следует аксиома выбора (AC) в рамках теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF). Он также решает многие естественные математические вопросы, независимые от теории множеств Цермело – Френкеля, с помощью аксиомы выбора (ZFC); например, аксиома конструктивности подразумевает гипотезу обобщенного континуума , отрицание гипотезы Суслина и существование аналитической ( фактически, $\Delta _{2}^{1}$) неизмеримый набор действительных чисел , все из которых не зависят от ZFC.

Аксиома конструктивности подразумевает отсутствие больших кардиналов с силой согласованности , большей или равной 0. ^# , в который входят некоторые «относительно маленькие» большие кардиналы. Например, ни один кардинал не может быть ω ₁ - Эрдёшем в L . Хотя L действительно содержит начальные ординалы этих больших кардиналов (когда они существуют в супермодели L ), и они все еще являются начальными ординалами в L , он исключает вспомогательные структуры (например, меры ), которые наделяют эти кардиналы их большими кардинальскими свойствами.

Хотя аксиома конструктивности действительно решает многие вопросы теории множеств, она обычно не принимается в качестве аксиомы теории множеств так же, как аксиомы ZFC. Среди теоретиков множеств реалистического толка, которые считают, что аксиома конструктивности либо истинна, либо ложна, большинство полагает, что она ложна. Частично это связано с тем, что он кажется излишне «ограничительным», поскольку допускает только определенные подмножества данного набора (например, $0^{\sharp }\subseteq \omega$ не могут существовать), без явных оснований полагать, что это все. Частично это происходит потому, что аксиома противоречит достаточно сильным большим кардинальным аксиомам . Эта точка зрения особенно связана с Кабалой или «Калифорнийской школой», как Сахарон Шела выразился бы .

В арифметике

Особенно с 1950-х по 1970-е годы проводились исследования по формулированию аналога аксиомы конструктивности для подсистем арифметики второго порядка . При изучении таких аналогов можно выделить несколько результатов:

• Джона Аддисона $\Sigma _{2}^{1}$ формула ${\textrm {Constr}}(X)$ такой, что ${\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)$ если только $X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L$, то есть $X$ является конструктивной реальностью.

• Существует $\Pi _{3}^{1}$ формула, известная как «аналитическая форма аксиомы конструктивности», которая имеет некоторые ассоциации с теоретико-множественной аксиомой V=L. Например, некоторые случаи, когда $M\vDash {\textrm {V=L}}$ если только $M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Analytical}}\;{\textrm {form}}\;{\textrm {of}}\;{\textrm {V=L}}$ были даны.

Значение

Основное значение аксиомы конструктивности заключается в доказательстве Куртом Гёделем относительной непротиворечивости аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя . (Доказательство переносится на теорию множеств Цермело–Френкеля , которая в последние годы стала более распространенной.)

А именно Гёдель доказал, что $V=L$ является относительно последовательным (т.е. если $ZFC+(V=L)$ может доказать противоречие, то можно и $ZF$), и это в $ZF$

$V=L\implies AC\land GCH,$

тем самым устанавливая, что AC и GCH также относительно последовательны.

Доказательство Гёделя было дополнено в последующие годы результатом Пола Коэна о том, что AC и GCH независимы , т. е. что отрицания этих аксиом ( $\lnot AC$ и $\lnot GCH$) также относительно согласуются с теорией множеств ZF.

Утверждения верны в L

Вот список утверждений, которые справедливы в конструируемой вселенной (обозначенной L ):

• Гипотеза обобщенного континуума и, как следствие,
  • Аксиома выбора
• Бриллиантовый костюм
  • Клубный костюм
• Глобальный квадрат
• Существование болот
• Отрицание гипотезы Суслина
• Несуществование 0 ^# и как следствие
  • Отсутствие всех больших кардиналов , что подразумевает существование измеримого кардинала.
• Справедливость гипотезы Уайтхеда о том, что каждая абелева группа A с Ext ¹ ( A , Z )=0 — свободная абелева группа .
• Существование определимого нормального порядка всех множеств (формула которого может быть указана явно). В частности, L удовлетворяет условию V=HOD .
• Существование примитивно-рекурсивной сюръекции класса $F:{\textrm {Ord}}\to {\textrm {V}}$, то есть функция класса из Ord, диапазон которой содержит все множества.

Принимая аксиому конструктивности (которая утверждает, что каждое множество конструируемо ), эти предложения также справедливы и во вселенной фон Неймана , разрешая многие предложения теории множеств и некоторые интересные вопросы анализа .

Ссылки

• Девлин, Кейт (1984). Конструктивность . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-13258-9 .

Внешние ссылки

• Сколько существует действительных чисел? , Кейт Девлин, Математическая ассоциация Америки , июнь 2001 г.