Проблема Суслина

В математике поставленный проблема Суслина — это вопрос о вполне упорядоченных множествах, Михаилом Яковлевичем Суслиным ( 1920 ) и опубликованный посмертно.Было показано, что она не зависит от стандартной аксиоматической системы теории множеств , известной как ZFC ; Соловей и Тенненбаум (1971) показали, что это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть на основе этих аксиом, если предположить, что ZF непротиворечив.

(Суслин также иногда пишется с французской транслитерацией как Суслин , от кириллицы Суслин .)

(Линейно) упорядоченное множество без скачков и пробелов, в котором любой набор его интервалов (содержащих более одного элемента), не вторгающихся друг в друга, не более чем счетен, обязательно ли это (обычный) линейный континуум?
Является ли (линейно) упорядоченное множество без скачков и пробелов таким, что каждый набор его интервалов (содержащий более одного элемента), не перекрывающихся друг с другом, является не более чем счетным, обязательно (обычным) линейным континуумом?

Оригинальная постановка задачи Суслина из ( Суслин, 1920 ).

Формулировка

Проблема Суслина спрашивает: дано непустое полностью упорядоченное множество R с четырьмя свойствами

1. R не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента ;
2. порядок на R плотный ; (между любыми двумя различными элементами есть еще один)
3. порядок на R является полным в том смысле, что каждое непустое ограниченное подмножество имеет верхнюю и нижнюю грани ; и
4. набор взаимно непересекающихся непустых открытых интервалов в R счетен каждый это условие счетной цепи для порядковой топологии R ( ),

ли R обязательно по порядку изоморфен вещественной прямой R ?

Если требование счета счетной цепи заменить требованием того, чтобы R содержал счетное плотное подмножество (т. е. R является сепарабельным пространством ), то ответ действительно будет положительным: любое такое множество R обязательно по порядку изоморфно R (доказано по Кантору ).

Условие топологического пространства , согласно которому каждая совокупность непустых непересекающихся открытых множеств не более чем счетна, называется свойством Суслина .

Подразумеваемое

Любое полностью упорядоченное множество, не изоморфное R , но удовлетворяющее свойствам 1–4, называется линией Суслина . Гипотеза Суслина утверждает, что линий Суслина не существует: что каждый плотный полный линейный порядок со счетными цепями без концов изоморфен реальной линии. Эквивалентное утверждение состоит в том, что каждое высоты ω ₁ имеет либо ветвь длины ω ₁ , либо антицепь мощности дерево ℵ ₁ .

Обобщенная гипотеза Суслина гласит, что для любого бесконечного регулярного кардинала κ каждое дерево высоты κ имеет либо ветвь длины κ , либо антицепь мощности κ. Существование линий Суслина эквивалентно существованию деревьев Суслина и алгебр Суслина .

Гипотеза Суслина не зависит от ZFC. Джех (1967) и Тенненбаум (1968) независимо использовали методы воздействия для построения моделей ZFC, в которых существуют линии Суслина. Позже Йенсен доказал, что линии Суслина существуют, если предполагается принцип ромба , следствие аксиомы конструктивности V = L. (Результат Дженсена был неожиданным, поскольку ранее предполагалось , что V = L подразумевает отсутствие линий Суслина на том основании, что V = L подразумевает, что существует «немного» множеств.) С другой стороны, Соловей и Тенненбаум ( 1971) использовал принуждение для построения модели ZFC без линий Суслина; точнее, они показали, что аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума влечет за собой гипотезу Суслина.

Гипотеза Суслина также независима как от обобщенной гипотезы континуума (доказанной Рональдом Дженсеном ), так и от отрицания гипотезы континуума . Неизвестно, согласуется ли обобщенная гипотеза Суслина с обобщенной гипотезой континуума; однако, поскольку эта комбинация подразумевает отрицание принципа квадратов для особого сильного предельного кардинала — фактически, для всех сингулярных кардиналов и всех регулярных кардиналов-последователей — из этого следует, что аксиома детерминированности выполняется в L(R) и считается, что это влечет за собой существование внутренней модели со сверхсильным кардиналом .

См. также

• Список утверждений, независимых от ZFC
• Непрерывная гипотеза
• ОБЪЯВЛЕНИЕ ⁺
• Теорема Кантора об изоморфизме

Ссылки

• К. Девлин и Х. Джонсбротен, Проблема Суслина, конспекты лекций по математике (405) Springer, 1974.
• Йех, Томаш (1967), "Недоказуемость гипотезы Суслена", Комментарий. Математика. унив. Каролина , 8 : 291–305, MR   0215729.
• Суслин, М. (1920), «Задача 3» (PDF) , Основы математики , 1 :223, doi : 10.4064/fm-1-1-223-224
• Соловай, Р.М.; Тенненбаум, С. (1971), «Итерационные расширения Коэна и проблема Суслина», Annals of Mathematics , 94 (2): 201–245, doi : 10.2307/1970860 , JSTOR   1970860
• Тенненбаум, С. (1968), «Проблема Суслина», Proc. Натл. акад. наук. США , 59 (1): 60–63, Bibcode : 1968PNAS...59...60T , doi : 10.1073/pnas.59.1.60 , MR   0224456 , PMC   286001 , PMID   16591594
• Гришин, В.Н. (2001) [1994], «Гипотеза Суслина» , Энциклопедия Математики , EMS Press