Аксиома глобального выбора

В математике , особенно в теориях классов , аксиома глобального выбора является более сильным вариантом аксиомы выбора , которая применяется как к собственным классам множеств , так и к наборам множеств. Неформально это означает, что можно одновременно выбрать элемент из любого непустого множества.

Заявление

Аксиома глобального выбора утверждает, что существует глобальная функция выбора τ, то есть такая функция, что для любого непустого множества z τ( z ) является элементом z .

Аксиому глобального выбора нельзя сформулировать непосредственно на языке теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) с помощью аксиомы выбора (AC), известной как ZFC, поскольку функция выбора τ является собственным классом, а в ZFC невозможно количественно определить по занятия. Это можно сформулировать, добавив в язык ZFC новый функциональный символ τ, обладающий тем свойством, что τ является функцией глобального выбора. Это консервативное расширение ZFC: каждое доказуемое утверждение этой расширенной теории, которое можно сформулировать на языке ZFC, уже доказуемо в ZFC ( Frenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , стр.72). В качестве альтернативы Гёдель показал, что, учитывая аксиому конструктивности, можно записать явную (хотя и несколько сложную) функцию выбора τ на языке ZFC, поэтому в некотором смысле аксиома конструктивности подразумевает глобальный выбор (фактически, [ZFC доказывает, что] на языке, расширенном символом унарной функции τ, аксиома конструктивности подразумевает, что если τ — указанная явно определимая функция, то эта τ является функцией глобального выбора, и тогда глобальный выбор морально справедлив, причем τ является a. свидетель ).

На языке теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя (НБГ) и теории множеств Морса-Келли аксиома глобального выбора может быть сформулирована напрямую ( Френкель, Бар-Хилель и Леви 1973 , стр.133) и эквивалентна различные другие заявления:

• Каждый класс непустых множеств имеет функцию выбора .
• V \ {∅} имеет функцию выбора (где V — класс всех множеств ).
• Имеется хорошая V . упорядоченность
• Существует биекция между V и классом всех порядковых чисел .

В теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя глобальный выбор не добавляет никаких последствий в отношении множеств (не собственных классов), помимо тех, которые можно было бы вывести из обычной аксиомы выбора.

Глобальный выбор является следствием аксиомы ограничения размера .

Ссылки

• Френкель, Авраам А .; Бар-Хилель, Иегошуа ; Леви, Азриэль (1973), Основы теории множеств , Исследования по логике и основам математики, том. 67 (второе исправленное издание), Амстердам-Лондон: North-Holland Publishing Co., ISBN  978-0720422702 , МР   0345816
• Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
• Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN   0-387-90125-6