Класс (теория множеств)

В теории множеств и ее приложениях в математике класс — это совокупность множеств (или иногда других математических объектов), которая может быть однозначно определена свойством , общим для всех его членов. Классы действуют как способ иметь коллекции, подобные наборам, но при этом отличаться от наборов, чтобы избежать парадоксов, особенно парадокса Рассела (см. § Парадоксы ). Точное определение «класса» зависит от основного контекста. В работах по теории множеств Цермело-Френкеля понятие класса является неформальным, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя , аксиоматизируют понятие «собственного класса», например, как сущности, которые не являются членами другая сущность.

Класс, который не является множеством (неформально в Цермело-Френкеле), называется собственным классом , а класс, который является множеством, иногда называется малым классом . Например, класс всех порядковых чисел и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.

В теоретико-множественных трудах Куайна фраза «конечный класс» часто используется вместо фразы «собственный класс», подчеркивая, что в системах, которые он рассматривает, определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются последним термином в любой цепочке членства. которому они принадлежат.

За пределами теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним слова «множество». Это использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не различались, как в современной теоретико-множественной терминологии. Многие дискуссии о «классах» в XIX веке и раньше на самом деле относились к множествам или, скорее, возможно, происходили без учета того, что некоторые классы могут не быть множествами.

Примеры

Совокупность всех алгебраических структур данного типа обычно представляет собой собственный класс. Примеры включают класс всех групп , класс всех векторных пространств и многие другие. В теории категорий , категория совокупность объектов которой образует собственный класс (или совокупность морфизмов которой образует правильный класс), называется большой категорией .

Сюрреалистические числа представляют собой собственный класс объектов, обладающих свойствами поля .

В рамках теории множеств многие коллекции множеств оказываются собственными классами. Примеры включают класс всех множеств (универсальный класс), класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел .

Один из способов доказать правильность класса — поставить его в соответствие с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, при доказательстве отсутствия свободной полной решетки на трех и более образующих .

Парадоксы

Парадоксы наивной теории множеств можно объяснить с помощью противоречивого негласного предположения о том, что «все классы являются множествами». Имея строгое обоснование, эти парадоксы вместо этого предлагают доказательства того, что определенные классы являются собственными (т. е. что они не являются множествами). Например, парадокс Рассела предполагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат самих себя, является правильным, а парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковых чисел является правильным. Парадоксы не возникают с классами, поскольку не существует понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат самих себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. классы . С другой стороны, конгломерат может иметь в качестве членов соответствующие

Классы формальных теорий множеств

Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждую формулу с классами необходимо синтаксически свести к формуле без классов. Например, можно сократить формулу $A=\{x\mid x=x\}$ к $\forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)$. Для класса $A$ и установленный символ переменной $x$, необходимо уметь разложить каждую из формул $x\in A$, $x=A$, $A\in x$, и $A=x$ в формулу без появления класса. ^{п. 339}

Семантически в метаязыке классы можно описать как классы эквивалентности логических формул : Если ${\mathcal {A}}$ представляет собой структуру , интерпретирующую ZF, а затем объектный язык «выражение построителя классов». $\{x\mid \phi \}$ интерпретируется в ${\mathcal {A}}$ путем сбора всех элементов из области ${\mathcal {A}}$ на котором $\lambda x\phi$ держит; таким образом, класс можно описать как набор всех предикатов, эквивалентных $\phi$ (который включает в себя $\phi$ сам). В частности, можно отождествить «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных $x=x$.

Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не применимы к классам непосредственно. Однако если недоступный кардинал $\kappa$ Предполагается, что множества меньшего ранга образуют модель ZF ( вселенная Гротендика ), а ее подмножества можно рассматривать как «классы».

В ZF понятие функции также можно обобщить на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле, поскольку она не является множеством; это скорее формула $\Phi (x,y)$ со свойством, что для любого множества $x$ есть не более одного комплекта $y$ такой, что пара $(x,y)$ удовлетворяет $\Phi$. Например, функция класса, отображающая каждый набор в его набор степеней, может быть выражена формулой $y={\mathcal {P}}(x)$. Тот факт, что упорядоченная пара $(x,y)$ удовлетворяет $\Phi$ может быть выражено с помощью сокращенной записи $\Phi (x)=y$.

Другой подход основан на аксиомах фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG); классы являются основными объектами в этой теории, и тогда множество определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования классов в NBG ограничены тем, что они количественно оценивают только множества, а не все классы. Это делает NBG консервативным продолжением ZFC.

Теория множеств Морса – Келли допускает собственные классы в качестве основных объектов, таких как NBG, но также допускает количественную оценку всех правильных классов в своих аксиомах существования классов. Это приводит к тому, что MK строго сильнее, чем NBG и ZFC.

В других теориях множеств, таких как « Новые основы» или теория полумножеств , концепция «собственного класса» все еще имеет смысл (не все классы являются множествами), но критерий множественности не замкнут относительно подмножеств. Например, любая теория множеств с универсальным множеством имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.

Ссылки

• Джех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-44085-7
• Леви, А. (1979), Теория базовых множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Смалльян, Раймонд М.; Фиттинг, Мелвин (2010), Теория множеств и проблема континуума , Dover Publications, ISBN  978-0-486-47484-7
• Монк, Дональд Дж. (1969), Введение в теорию множеств , McGraw-Hill Book Co., ISBN  9780070427150

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Установить класс» , MathWorld