Аксиома спаривания

В аксиоматической теории множеств и разделах логики , математики и информатики , которые ее используют, аксиома спаривания является одной из аксиом теории множеств Цермело-Френкеля . Оно было введено Цермело (1908) как частный случай его аксиомы элементарных множеств .

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A\lor D=B)]$

Словами:

Для любого объекта A и любого объекта существует B множество C такое , что для любого объекта членом D C тогда и только тогда, D равен равен A D или является B. D когда

Последствия

Как уже отмечалось, аксиома говорит о том, что, учитывая два объекта A и B , мы можем найти множество C, которого являются именно A и B. членами

Мы можем использовать аксиому экстенсиональности, чтобы показать, что это множество C уникально. называем множество C парой Мы A B и A и обозначаем его { , B } . Таким образом, суть аксиомы такова:

Любые два объекта имеют пару.

Набор { A , A } сокращается { A } и называется синглтоном , содержащим A .Обратите внимание, что синглтон — это частный случай пары. Умение построить синглтон необходимо, например, для того, чтобы показать несуществование бесконечно нисходящих цепочек. $x=\{x\}$ из аксиомы регулярности .

Аксиома спаривания также позволяет определить упорядоченные пары . Для любых объектов $a$ и $b$, упорядоченная пара определяется следующим образом:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,$

Заметим, что это определение удовлетворяет условию

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.$

Упорядоченные n -кортежи можно определить рекурсивно следующим образом:

$(a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).\!$

Альтернативы

Ненезависимость

Аксиома спаривания обычно считается бесспорной, и она или ее эквивалент появляется практически в любой аксиоматизации теории множеств. Тем не менее, в стандартной формулировке теории множеств Цермело-Френкеля аксиома спаривания следует из схемы аксиом замены, применяемой к любому заданному множеству с двумя или более элементами, и поэтому иногда опускается. Существование такого множества с двумя элементами, например { {}, { {} } }, можно вывести либо из аксиомы пустого множества и аксиомы степенного множества , либо из аксиомы бесконечности .

В отсутствие некоторых более сильных аксиом ZFC аксиому спаривания все же можно без потерь ввести в более слабых формах.

Слабее

При наличии стандартных форм схемы аксиом разделения можно заменить аксиому спаривания ее более слабой версией:

$\forall A\forall B\exists C\forall D((D=A\lor D=B)\Rightarrow D\in C)$.

Эта слабая аксиома спаривания подразумевает, что любые данные объекты $A$ и $B$ являются членами некоторого множества $C$. Используя схему аксиом разделения, мы можем построить множество, членами которого являются в точности $A$ и $B$.

Другая аксиома, из которой следует аксиома спаривания при наличии аксиомы пустого множества, — это аксиома присоединения.

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]$.

Отличается от стандартного использованием $D\in A$ вместо $D=A$.Используя {} для A и x для B, мы получаем { x } для C. Затем используем { x } для A и y для B , получая { x,y } для C. Таким же образом можно продолжать создавать любые конечные набор. И это можно использовать для генерации всех наследственно конечных множеств без использования аксиомы объединения .

Сильнее

Вместе с аксиомой пустого множества и аксиомой объединения аксиома спаривание можно обобщить до следующей схемы:

$\forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]$

то есть:

Для любого конечного числа объектов A ₁ до An _от существует множество C, точно A ₁ через An _{членами которого являются} .

множество C снова уникально согласно аксиоме экстенсиональности и обозначается { A ₁ ,..., An _Это }.

Конечно, мы не можем строго ссылаться на конечное число объектов, не имея в руках (конечного) множества, к которому принадлежат рассматриваемые объекты.Таким образом, это не один оператор, а схема с отдельным оператором для каждого натурального числа n .

• Случай n = 1 является аксиомой спаривания с A = A ₁ и B = A ₁ .
• Случай n = 2 является аксиомой спаривания с A = A ₁ и B = A ₂ .
• Случаи n > 2 можно доказать, используя аксиому спаривания и объединения . аксиому многократного

Например, чтобы доказать случай n = 3, используйте аксиому спаривания три раза, чтобы создать пару { A ₁ , A ₂ }, одиночный элемент { A ₃ }, а затем пару {{ A ₁ , A ₂ } ,{ А ₃ }}. Тогда аксиома объединения дает желаемый результат: { A ₁ , A ₂ , A ₃ }. Мы можем расширить эту схему, включив в нее n =0, если интерпретировать этот случай как аксиому пустого множества .

Таким образом, ее можно использовать в качестве схемы аксиом вместо аксиом пустого множества и спаривания. Однако обычно аксиомы пустого множества и спаривания используются отдельно, а затем доказываются в виде схемы теорем . Обратите внимание, что принятие этого в качестве схемы аксиом не заменит аксиому объединения , которая по-прежнему необходима в других ситуациях.

Ссылки

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN   0-444-86839-9 .
• Цермело, Эрнст (1908), «Исследования основ теории множеств I» , Mathematical Annals , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999 , S2CID   120085563 . Английский перевод: Хейеноорт, Жан ван (1967), «Исследования по основам теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , Справочники по истории наук, Гарвардский университет. Пресса, стр. 199–215, ISBN.  978-0-674-32449-7 .