Конгломерат (математика)

В математике , в рамках теории категорий, основанной на единой вселенной , ^[1]^[2] термин «конгломерат» применяется к произвольным множествам как противопоставление выделенным множествам, которые являются элементами вселенной Гротендика . ^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

Определение [ править ]

Наиболее популярные аксиоматические теории множеств, теория множеств Цермело–Френкеля (ZFC), теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (NBG) и теория множеств Морса–Келли (МК), допускают неконсервативные расширения , возникающие после добавления дополнительной аксиомы. существования вселенной Гротендика $U$ . Примером такого расширения является теория множеств Тарского-Гротендика , в которой постулируется бесконечная иерархия вселенных Гротендика.

Концепция конгломерата была создана для работы с «коллекциями» классов , что желательно в теории категорий, чтобы каждый класс можно было рассматривать как элемент «более общей коллекции», конгломерата. Технически это организовано изменениями в терминологии: когда вселенная Гротендика $U$ добавляется к выбранной аксиоматической теории множеств ( ZFC / NBG / MK ) считается удобным ^[9]^[10]

применять термин «множество» только к элементам $U$ ,
применять термин «класс» только к подмножествам $U$ ,
применять термин «конгломерат» ко всем множествам (не обязательно к элементам или подмножествам $U$ ).

В результате в этой терминологии каждое множество представляет собой класс, а каждый класс — конгломерат.

Следствия [ править ]

Формально эта конструкция описывает модель исходной аксиоматической теории множеств ( ZFC / NBG / MK ) в расширении этой теории («ZFC/NBG/MK+ вселенная Гротендика ») с $U$ как Вселенная. ^[1]^: 195^[2]^: 23

Если исходная аксиоматическая теория множеств допускает идею собственного класса (т. е. объекта, который не может быть элементом какого-либо другого объекта, например класса $Set$ всех множеств в НБГ и в МК), то эти объекты (собственные классы) исключаются из рассмотрения в новой теории («НБГ/МК+вселенная Гротендика»). Однако (не считая возможных проблем, вызванных дополнительной аксиомой существования $U$ ) это в каком-то смысле не приводит к потере информации об объектах старой теории (НБГ или МК), поскольку ее представление в качестве модели в новой теории («НБГ/МК+вселенная Гротендика») означает то, что можно доказать в НБГ/МК о ее обычных объектах, называемых классами (включая собственные классы), можно доказать также и в «Универсуме НБГ/МК+Гротендика» о ее классах (т.е. о подмножествах $U$ , включая подмножества, которые не являются элементами $U$ , которые являются аналогами собственных классов из NBG/MK). В то же время новая теория не эквивалентна исходной, поскольку некоторые дополнительные утверждения о классах могут быть доказаны в «универсуме NBG/MK+Гротендика», но не в NBG/MK.

Терминология [ править ]

Изменение терминологии иногда называют «конвенцией конгломерата». ^[7]^: 6Первый шаг, сделанный Мак Лейном, ^[1]^: 195^[2]^: 23 заключается в применении термина «класс» только к подмножествам $U.$ Мак Лейн не дает нового определения существующим теоретико-множественным терминам; скорее, он работает в теории множеств без классов (ZFC, а не NBG/MK), называет членов $U$ «маленькие множества» и утверждает, что малые множества и классы удовлетворяют аксиомам NBG. Ему не нужны «конгломераты», поскольку наборы не обязательно должны быть маленькими.

Термин «конгломерат» скрывается в обзорах 1970-х и 1980-х годов на сайте Mathematical Reviews. ^[11] без определения, пояснения или ссылки, а иногда и в статьях. ^[12]

Пока конгломератная конвенция действует, ее следует использовать исключительно во избежание двусмысленности; то есть конгломераты не следует называть «множествами», как это принято в ZFC. ^[7]^: 6

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс (1969). «Единая вселенная как основа теории категорий». Отчеты семинара III категории Среднего Запада. Конспект лекций по математике, том 106 . Конспект лекций по математике. Том. 106. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг . стр. 192–200. дои : 10.1007/BFb0059147 . ISBN 978-3-540-04625-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (Второе изд.). Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк . ISBN 978-0-387-90036-0 .
^ Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст ; Носилки, Джордж (1990). Абстрактные и конкретные категории: Кошачья радость (PDF) . Дуврские публикации. стр. 13, 15, 16, 259. ISBN. 978-0-486-46934-8 .
^ Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж (2007). «Множества, классы и конгломераты» (PDF) . Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг. стр. 9–12.
^ Осборн, М. Скотт (6 декабря 2012 г.). Основная гомологическая алгебра . Springer Science & Business Media. стр. 151–153. ISBN 9781461212782 .
^ Пройс, Герхард (6 декабря 2012 г.). Теория топологических структур: подход к категориальной топологии . Springer Science & Business Media. п. 3. ISBN 9789400928596 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мерфет, Дэниел (5 октября 2006 г.). «Основы теории категорий» (PDF) .
^ Чжан, Цзиньвэнь (1991). «Система аксиом ACG и доказательство непротиворечивости системы QM и ZF#» . Достижения китайской информатики . Том. 3. С. 153–171. дои : 10.1142/9789812812407_0009 . ISBN 978-981-02-0152-4 .
^ Замечательно, Хорст; Носилки, Джордж (2007). «Приложение. Фундаменты» (PDF) . Теория категорий (3-е изд.). Издательство Хелдерманн. стр. 328–3300.
^ Нел, Луи (3 июня 2016 г.). Теория непрерывности . Спрингер. п. 31. ISBN 9783319311593 .
^ Обзоры 48#5965 , 56#3798 , 82f:18003 , 83d:18010 , 84c:54045 , 87m:18001
^ Проверено: 89e:18002 , 96g:18002.

[ML1969-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс (1969). «Единая вселенная как основа теории категорий». Отчеты семинара III категории Среднего Запада. Конспект лекций по математике, том 106 . Конспект лекций по математике. Том. 106. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг . стр. 192–200. дои : 10.1007/BFb0059147 . ISBN 978-3-540-04625-7 .

[ML1998-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (Второе изд.). Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк . ISBN 978-0-387-90036-0 .

[joyofcats1-3] Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст ; Носилки, Джордж (1990). Абстрактные и конкретные категории: Кошачья радость (PDF) . Дуврские публикации. стр. 13, 15, 16, 259. ISBN. 978-0-486-46934-8 .

[HS-4] Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж (2007). «Множества, классы и конгломераты» (PDF) . Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг. стр. 9–12.

[Osbome-5] Осборн, М. Скотт (6 декабря 2012 г.). Основная гомологическая алгебра . Springer Science & Business Media. стр. 151–153. ISBN 9781461212782 .

[Preuß-6] Пройс, Герхард (6 декабря 2012 г.). Теория топологических структур: подход к категориальной топологии . Springer Science & Business Media. п. 3. ISBN 9789400928596 .

[Murfet-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мерфет, Дэниел (5 октября 2006 г.). «Основы теории категорий» (PDF) .

[Zhang-8] Чжан, Цзиньвэнь (1991). «Система аксиом ACG и доказательство непротиворечивости системы QM и ZF#» . Достижения китайской информатики . Том. 3. С. 153–171. дои : 10.1142/9789812812407_0009 . ISBN 978-981-02-0152-4 .

[HS2-9] Замечательно, Хорст; Носилки, Джордж (2007). «Приложение. Фундаменты» (PDF) . Теория категорий (3-е изд.). Издательство Хелдерманн. стр. 328–3300.

[CT-10] Нел, Луи (3 июня 2016 г.). Теория непрерывности . Спрингер. п. 31. ISBN 9783319311593 .

[11] Обзоры 48#5965 , 56#3798 , 82f:18003 , 83d:18010 , 84c:54045 , 87m:18001

[12] Проверено: 89e:18002 , 96g:18002.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]