Полукомплект
В теории множеств полумножество — это собственный класс который является подклассом множества , . В типичных основах теории множеств Цермело-Френкеля полумножества невозможны из-за схемы аксиом спецификации .
Теория полумножеств была предложена и развита чешскими математиками Петром Вопенкой и Петром Гаеком (1972). Он основан на модификации теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя ; в стандартном NBG существование полумножеств исключается аксиомой разделения .
Концепция полумножеств открывает путь к формулировке альтернативной теории множеств . Вопенки В частности, «Альтернативная теория множеств» (1979) аксиоматизирует концепцию полумножества, дополненную несколькими дополнительными принципами.
Полумножества можно использовать для представления множеств с неточными границами. Новак (1984) изучал аппроксимацию полумножеств нечеткими множествами , которые часто более подходят для практического применения моделирования неточностей.
Вопенки Альтернативная множеств теория
«Альтернативная теория множеств» Вопенки развивает некоторые идеи теории полумножеств , но вносит и более радикальные изменения: например, все множества «формально» конечны , а это означает, что множества в AST удовлетворяют закону математической индукции для формул- множеств. (точнее: та часть AST, которая состоит из аксиом, относящихся только к множествам, эквивалентна теории множеств Цермело–Френкеля (или ZF), в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием). Однако некоторые из этих множеств содержат подклассы, которые не являются множествами, что отличает их от конечных множеств Кантора (ZF), и в AST они называются бесконечными.
Ссылки [ править ]
- Вопенка П., Гаек П. Теория полумножеств . Амстердам: Северная Голландия, 1972.
- Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Тойбнер, Лейпциг, 1979 г.
- Холмс, М.Р. Альтернативные аксиоматические теории множеств, §9.2 , Альтернативная теория множеств Вопенки. В EN Zalta (ред.): Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2014 г.).
- Новак В. «Нечеткие множества — аппроксимация полумножеств». Нечеткие множества и системы 14 (1984): 259–272.
- Материалы 1-го симпозиума «Математика в альтернативной теории множеств». JSMF, Братислава, 1989 г.