Морас (теория множеств)
В аксиоматической теории множеств , математической дисциплине, трясина — это бесконечная комбинаторная структура, используемая для создания «больших» структур из «маленького» числа «маленьких» приближений. Они были изобретены Рональдом Дженсеном для доказательства того, что кардинальные теоремы переноса выполняются в соответствии с аксиомой конструктивности . Гораздо менее сложный, но эквивалентный вариант, известный как упрощенное болото, был предложен Веллеманом, и термин «болото» теперь часто используется для обозначения этих более простых структур.
Обзор
[ редактировать ]Хотя можно определить так называемые разрыва -n болота для n > 1, они настолько сложны, что внимание обычно ограничивается случаем разрыва-1, за исключением конкретных приложений. «Разрыв», по сути, представляет собой кардинальную разницу между размером используемых «малых приближений» и размером окончательной структуры.
Болото (пробел-1) на несчетном регулярном кардинале κ (также называемое ( κ , 1 )-болотом ) состоит из дерева высоты κ + 1 с верхним уровнем, имеющим κ + -много узлов. Узлы считаются ординалами , а функции π между этими ординалами сопоставляются ребрам в порядке дерева. Требуется, чтобы порядковая структура узлов верхнего уровня была «выстроена» как прямой предел порядковых номеров в ветви к этому узлу с помощью отображений π, поэтому узлы нижнего уровня можно рассматривать как приближения к (большим ) узел верхнего уровня. Для того, чтобы это произошло особенно «хорошим» образом, налагается длинный список дополнительных аксиом. [1] [2]
Варианты и эквиваленты
[ редактировать ]кожаный человек [2] и Шела и Стэнли [3] независимо разработали вынуждающие аксиомы, эквивалентные существованию болот, чтобы облегчить их использование неспециалистами. Идем дальше, Веллеман [4] показал, что существование болот эквивалентно упрощенным болотам , которые представляют собой гораздо более простые структуры. Однако единственная известная конструкция упрощенного болота в Гёделя конструктивной вселенной - это болота, поэтому исходная идея сохраняет интерес.
С годами появились и другие варианты болот, как правило, с дополнительной структурой. К ним относятся вселенские болота, [5] при этом каждое подмножество κ построено из ветвей болота, мангровых зарослей, [6] которые представляют собой болота, расслоенные на уровни ( мангалы ), на которых каждая ветвь должна иметь узел, и трясины . [7]
Упрощенное болото
[ редактировать ]кожаный человек [8] определил упрощенные болота с пробелом-1 , которые намного проще, чем болота с пробелом-1, и показал, что существование болот с пробелом-1 эквивалентно существованию упрощенных болот с пробелом-1.
Грубо говоря: a( κ ,1) -упрощенное болото M = < φ → , Ф ⇒ > содержит последовательность φ → = < φ β : β ≤ κ > ординалов таких, что φ β < κ для β < κ и φ κ = κ + , и двойная последовательность F ⇒ = < F α , β : α < β ⩽ κ > где F α , β — наборы монотонных отображений φ α в φ β для α < β ⩽ κ с конкретными (простыми, но важными) условиями.
Четкое определение Веллемана можно найти в: [9] где он также построил (ω 0,1 ) упрощенные болота в ZFC . В [10] он дал аналогичные простые определения для упрощенных трясин разрыва-2 , а в [11] он построил (ω 0,2 ) упрощенные болота в ZFC .
Упрощенные трясины с более высоким разрывом для любого n ≥ 1 были определены Морганом. [12] и Салкай. [13] [14]
Грубо говоря: a( κ , n +1)- упрощенное болото (Салкая) M = < M → , Ф ⇒ > содержит последовательность M → = < M β : β ≤ κ > (< κ , n )-упрощенных болотоподобных структур для β < κ и M κ a ( κ + , n ) -упрощенное болото, а двойная последовательность F ⇒ = < F α,β : α < β ≤ κ > где F α , β — наборы отображений из M α в M β для α < β ≤ κ с конкретными условиями.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ К. Девлин. Конструктивность . Шпрингер, Берлин, 1984 г.
- ^ Перейти обратно: а б Веллеман, Дэниел Дж. (1982). «Трясины, алмазы и выгонки» . Энн. Математика. Логика . 23 : 199–281. дои : 10.1016/0003-4843(82)90005-5 . Збл 0521.03034 .
- ^ Шела, С.; Стэнли, Л. (1982). «S-форсинг, I: теорема о «черном ящике» для болот с приложениями: деревья Супер-Суслена и обобщение аксиомы Мартина» . Израильский математический журнал . 43 : 185–224. дои : 10.1007/BF02761942 .
- ^ Веллеман, Дэн (1984). «Упрощенные болота». Журнал символической логики . 49 (1): 257–271. дои : 10.2307/2274108 . Збл 0575.03035 .
- ^ К. Девлин. Аспекты конструктивности , Конспект лекций по математике 354, Springer, Берлин, 1973.
- ^ Брук-Тейлор, А.; Фридман, С. (2009). «Большие кардиналы и болота разрыва-1». Анналы чистой и прикладной логики . 159 (1–2): 71–99. arXiv : 0801.1912 . дои : 10.1016/j.apal.2008.10.007 . Збл 1165.03033 .
- ^ Канамори, Акихиро (1983). «Трясины в комбинаторной теории множеств». В Матиасе, ARD (ред.). Обзоры по теории множеств . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 87. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 167–196. ISBN 0-521-27733-7 . Збл 0525.03036 .
- ^ Д. Веллеман. Упрощенные болота, Журнал символической логики 49 , № 1 (1984), стр. 257–271.
- ^ Д. Веллеман. Упрощенные болота, Журнал символической логики 49 , № 1 (1984), стр. 257–271.
- ^ Д. Веллеман. Упрощенный пробел-2 Морасс, Анналы чистой и прикладной логики 34 , (1987), стр. 171–208.
- ^ Д. Веллеман. Разрыв-2 Болота высоты ω 0 , Журнал символической логики 52 , (1987), стр 928–938.
- ^ Ч. Морган. Эквивалентность болот и упрощенных болот в случае конечной щели , докторская диссертация, Мертон-Колледж, Великобритания, 1989.
- ^ И. Салкай. Упрощенные трясины с более высоким разрывом и комбинаторные приложения , докторская диссертация (на венгерском языке), ELTE, Будапешт, 1991. Аннотация на английском языке: http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Szalkai-1991d-MorassAbst-.pdf
- ^ И. Салкай. Индуктивное определение упрощенных трясин с большим разрывом, Publicationes Mathematicae Debrecen 58 (2001), стр. 605–634. http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Szalkai-2001a-IndMorass.pdf