Стационарный набор

В математике , в частности в теории множеств и теории моделей , стационарное множество — это множество , которое не слишком мало в том смысле, что оно пересекает все клубные множества и аналогично множеству ненулевой меры в теории меры . Существует по крайней мере три тесно связанных понятия стационарного множества, в зависимости от того, рассматривается ли подмножество порядкового числа , подмножество чего -то заданной мощности или степенного множества .

Классическое понятие

Если $\kappa$ кардинал ​ несчетной ​ конфинальности , $S\subseteq \kappa ,$ и $S$ пересекает все клубы, установленные в $\kappa ,$ затем $S$ называется стационарным множеством . Если множество нестационарно, то оно называется тонким . Это понятие не следует путать с понятием тонкого множества в теории чисел .

Если $S$ представляет собой стационарный набор и $C$ — трефовое множество, то их пересечение $S\cap C$ также является стационарным. Это потому, что если $D$ есть какой-нибудь клубный набор, тогда $C\cap D$ это клубный набор, поэтому $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)$ непусто. Поэтому, $(S\cap C)$ должен быть стационарным.

Смотрите также : лемма Фодора.

Ограничение на несчетную конфинальность сделано для того, чтобы избежать тривиальности: предположим, $\kappa$ имеет счетную конфинальность. Затем $S\subseteq \kappa$ стационарен в $\kappa$ тогда и только тогда, когда $\kappa \setminus S$ ограничен $\kappa$. В частности, если конфинальность $\kappa$ является $\omega =\aleph _{0}$, то любые два стационарных подмножества $\kappa$ иметь стационарное пересечение.

Это уже не так, если конфинальность $\kappa$ является неисчислимым. В самом деле, предположим $\kappa$ более того, является регулярным и $S\subseteq \kappa$ является стационарным. Затем $S$ можно разделить на $\kappa$ множество непересекающихся стационарных множеств. Этот результат принадлежит Соловаю . Если $\kappa$ является кардиналом-преемником , этот результат принадлежит Уламу и легко показывается с помощью так называемой матрицы Улама .

Х. Фридман показал, что для каждого счетного последующего порядкового номера $\beta$, каждое стационарное подмножество $\omega _{1}$ содержит закрытое подмножество типа ордера $\beta$.

Идея Джеха

Существует также понятие стационарного подмножества $[X]^{\lambda }$, для $\lambda$ кардинал и $X$ набор такой, что $|X|\geq \lambda$, где $[X]^{\lambda }$ представляет собой набор подмножеств $X$ мощности $\lambda$: $[X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}$. Это понятие принадлежит Томасу Джеху . Как и прежде, $S\subseteq [X]^{\lambda }$ является стационарным тогда и только тогда, когда он встречается с каждым клубом, где клубное подмножество $[X]^{\lambda }$ множество, неограниченное относительно $\subseteq$ и замкнутый при объединении цепей длины не более $\lambda$. Эти понятия в целом различны, хотя для $X=\omega _{1}$ и $\lambda =\aleph _{0}$ они совпадают в том смысле, что $S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }$ стационарен тогда и только тогда, когда $S\cap \omega _{1}$ стационарен в $\omega _{1}$.

Для этого понятия справедлива и соответствующая версия леммы Фодора.

Обобщенное понятие

Существует еще третье понятие, имеющее теоретико-модельный характер и иногда называемое обобщенной стационарностью. Это понятие, вероятно, принадлежит Магидору , Форману и Шеле , а также широко использовалось Вудином .

Теперь позвольте $X$ быть непустым множеством. Набор $C\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ является клубом (замкнутым и неограниченным) тогда и только тогда, когда существует функция $F:[X]^{<\omega }\to X$ такой, что $C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}$. Здесь, $[y]^{<\omega }$ представляет собой совокупность конечных подмножеств $y$.

$S\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ стационарен в ${\mathcal {P}}(X)$ тогда и только тогда, когда он соответствует каждому клубному подмножеству ${\mathcal {P}}(X)$.

Чтобы увидеть связь с теорией моделей, обратите внимание, что если $M$ это структура со вселенной $X$ на счетном языке и $F$ является функцией Скулема для $M$, затем стационарный $S$ должна содержать элементарную подструктуру $M$. Фактически, $S\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ стационарна тогда и только тогда, когда для любой такой структуры $M$ существует элементарная подструктура $M$ который принадлежит $S$.

Ссылки

• Форман, Мэтью (2002) Стационарные множества, гипотеза Чанга и теория разделов , в Теории множеств (Конференция Хайнала) DIMACS Ser. Дискретная математика. Теория. Комп. наук, 58 лет, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд. стр. 73–94. Файл в [1]
• Фридман, Харви (1974). «О замкнутых множествах ординалов» . Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 43 (1): 190–192. дои : 10.2307/2039353 . JSTOR   2039353 . Збл   0299.04003 .
• Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . Збл   1007.03002 .

Внешние ссылки

• «Стационарный набор» . ПланетаМатематика .