Порядковый определяемый набор

В математической теории множеств набор если S называется порядковым определимым, , неформально, его можно определить через конечное число ординалов с помощью формулы первого порядка . Порядковые определимые множества были введены Гёделем (1965) .

Определение

Недостаток приведенного выше неформального определения состоит в том, что оно требует количественной оценки всех формул первого порядка, которые не могут быть формализованы на стандартном языке теории множеств. Однако есть и другая, формальная подобная характеристика:

Множество S называется порядковым определимым, если существует некоторый набор ординалов α ₁ , ..., α _n и формула первого порядка φ, принимающая α ₂ , ..., α _n в качестве параметров, которая однозначно определяет

S

как элемент

V_{\alpha _{1}}

, т. е. такой, что S является уникальным объектом, проверяющим φ( S , α ₂ ...α _n ), с его кванторами в пределах

V_{\alpha _{1}}

.

Последний обозначает множество в иерархии фон Неймана, индексированное порядковым номером α ₁ . Класс ; всех порядковых определимых множеств обозначается OD она не обязательно транзитивна и не обязательно должна быть моделью ZFC, поскольку может не удовлетворять аксиоме экстенсиональности .

Кроме того, множество является наследственно порядково определяемым, если оно порядково определимо и все элементы его транзитивного замыкания являются порядково определимыми. Класс наследственно порядковых определимых множеств обозначается HOD и представляет собой транзитивную модель ZFC с определимым хорошим порядком.

Аксиомам теории множеств соответствует то, что все множества порядково определимы и, следовательно, наследственно порядково определимы. Утверждение о том, что эта ситуация имеет место, называется V = OD или V = HOD. Это следует из V = L и эквивалентно существованию (определимого) хорошего порядка во Вселенной. Однако обратите внимание, что формула, выражающая V = HOD, не обязательно должна выполняться в рамках HOD, поскольку она не является абсолютной для моделей теории множеств: в рамках HOD интерпретация формулы для HOD может привести к еще меньшей внутренней модели.

Было обнаружено, что HOD полезен тем, что представляет собой внутреннюю модель , которая может вместить практически все известные большие кардиналы . Это контрастирует с ситуацией с базовыми моделями , поскольку еще не созданы базовые модели, которые могли бы вместить сверхкомпактные кардиналы , например, .

Ссылки

Гёдель, Курт (1965) [1946], «Замечания перед Принстонской двухсотлетней конференцией по проблемам математики», в Дэвис, Мартин (ред.), Неразрешимое. Основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях , Raven Press, Хьюлетт, Нью-Йорк, стр. 84–88, ISBN 978-0-486-43228-1 МР 0189996
Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8