Суперкомпактный кардинал

В теории множеств суперкомпактный кардинал — это тип большого кардинала, независимо введенный Соловеем и Рейнхардтом. ^[1] Они обладают различными свойствами отражения.

Формальное определение [ править ]

Если $\lambda$ какой-либо порядковый номер , $\kappa$ является $\lambda$ -сверхкомпактность означает, что существует элементарное вложение $j$ из вселенной $V$ в транзитивную внутреннюю модель $M$ с критической точкой $\kappa$ , $j(\kappa )>\lambda$ и

{}^{\lambda }M\subseteq M\,.

То есть, $M$ содержит все свои $\lambda$ -последовательности. Затем $\kappa$ суперкомпактный означает , что он $\lambda$ -суперкомпактный для всех порядковых номеров $\lambda$ .

Альтернативно, несчетный кардинал $\kappa$ является сверхкомпактным, если для каждого $A$ такой, что $\vert A\vert \geq \kappa$ существует нормальная мера над $[A]^{<\kappa }$ , в следующем смысле.

$[A]^{<\kappa }$ определяется следующим образом:

[A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}

.

Ультрафильтр $U$ над $[A]^{<\kappa }$ хорошо , если это так $\kappa$ -полный и $\{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U$ , для каждого $a\in A$ . Нормальная мера более $[A]^{<\kappa }$ это тонкий ультрафильтр $U$ над $[A]^{<\kappa }$ с дополнительным свойством, что каждая функция $f:[A]^{<\kappa }\to A$ такой, что $\{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U$ постоянен на множестве в $U$ . Здесь «постоянная на наборе в $U$ " означает, что есть $a\in A$ такой, что $\{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U$ .

Свойства [ править ]

Суперкомпактные кардиналы обладают отражательными свойствами. Если кардинал с некоторым свойством (скажем, 3- огромным кардиналом ), о котором свидетельствует структура ограниченного ранга, существует над сверхкомпактным кардиналом $\kappa$ , то кардинал с таким свойством существует ниже $\kappa$ . Например, если $\kappa$ является суперкомпактным, и обобщенная гипотеза континуума (GCH). ниже справедлива $\kappa$ тогда оно выполняется везде, поскольку существует биекция между набором степеней $\nu$ и кардинал по крайней мере $\nu ^{++}$ был бы свидетелем ограниченного ранга провала ГЧ на $\nu$ поэтому он также должен существовать ниже $\nu$ .

Поиск канонической внутренней модели для суперкомпактных кардиналов — одна из главных проблем теории внутренних моделей .

Наименее суперкомпактный кардинал – наименьший $\kappa$ такой, что для каждой структуры $(M,R_{1},\ldots ,R_{n})$ с мощностью домена $\vert M\vert \geq \kappa$ , и для каждого $\Pi _{1}^{1}$ предложение $\phi$ такой, что $(M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi$ , существует подструктура $(M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)$ с меньшим доменом (т.е. $\vert M'\vert <\vert M\vert$ ), что удовлетворяет $\phi$ . ^[2]

Суперкомпактность имеет комбинаторную характеристику, подобную свойству невыразимости . Позволять $P_{\kappa }(A)$ — множество всех непустых подмножеств $A$ которые имеют мощность $<\kappa$ . Кардинал $\kappa$ является суперкомпактным тогда и только тогда, когда для любого набора $A$ (эквивалентно каждому кардиналу $\alpha$ ), для каждой функции $f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)$ , если $f(X)\subseteq X$ для всех $X\in P_{\kappa }(A)$ , тогда есть что-то $B\subseteq A$ такой, что $\{X\mid f(X)=B\cap X\}$ является стационарным. ^[3]

Магидор получил вариант свойства дерева , которое справедливо для недоступного кардинала тогда и только тогда, когда оно сверхкомпактно. ^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .
Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-00384-3 .

Цитаты [ править ]

^ А. Канамори, « Кунен и теория множеств », стр. 2450–2451. Топология и ее приложения, том. 158 (2011).
^ Магидор, М. (1971). «О роли сверхкомпактных и расширяемых кардиналов в логике». Израильский математический журнал . 10 (2): 147–157. дои : 10.1007/BF02771565 .
^ М. Магидор, Комбинаторная характеристика сверхкомпактных кардиналов , стр. 281–282. Труды Американского математического общества, том. 42 нет. 1, 1974.
^ С. Хахтман, С. Синапова, « Свойство супердерева у наследника единственного числа ». Израильский математический журнал, том 236, вып. 1 (2020), стр. 473–500.

[1] А. Канамори, « Кунен и теория множеств », стр. 2450–2451. Топология и ее приложения, том. 158 (2011).

[2] Магидор, М. (1971). «О роли сверхкомпактных и расширяемых кардиналов в логике». Израильский математический журнал . 10 (2): 147–157. дои : 10.1007/BF02771565 .

[3] М. Магидор, Комбинаторная характеристика сверхкомпактных кардиналов , стр. 281–282. Труды Американского математического общества, том. 42 нет. 1, 1974.

[4] С. Хахтман, С. Синапова, « Свойство супердерева у наследника единственного числа ». Израильский математический журнал, том 236, вып. 1 (2020), стр. 473–500.

[1]

[2]

[3]

[4]