Критическая точка (теория множеств)

В теории множеств критической точкой элементарного вложения транзитивного класса в другой транзитивный класс является наименьший ординал , который не отображается сам в себя.

Предположим, что $j:N\to M$ представляет собой элементарное вложение, где $N$ и $M$ являются транзитивными классами и $j$ определимо в $N$ по формуле теории множеств с параметрами из $N$. Затем $j$ должны переводить ординалы в ординалы и $j$ должно быть строго возрастающим. Также $j(\omega )=\omega$. Если $j(\alpha )=\alpha$ для всех $\alpha <\kappa$ и $j(\kappa )>\kappa$, затем $\kappa$ считается критической точкой $j$.

Если $N$ есть V , тогда $\kappa$ (критическая точка $j$) всегда является измеримым кардиналом , т. е. несчетным кардинальным числом κ таким, что существует $\kappa$ , неглавный ультрафильтр -полный $\kappa$. В частности, можно считать фильтр $\{A\mid A\subseteq \kappa \land \kappa \in j(A)\}$. Как правило, над ними будет много других < κ -полных неглавных ультрафильтров. $\kappa$. Однако, $j$ может отличаться от сверхмощности , возникающей от такого фильтра(ов).

Если $N$ и $M$ одинаковы и $j$ является тождественной функцией на $N$, затем $j$ называется «тривиальным». Если транзитивный класс $N$ это модель ZFC внутренняя и $j$ не имеет критической точки, т.е. каждый ординал отображается сам в себя, тогда $j$ тривиально.