Используя определение порядковых чисел, предложенное Джоном фон Нейманом , порядковые числа определяются как наследственно транзитивные множества: порядковое число — это транзитивное множество, члены которого также транзитивны (и, следовательно, порядковые). Класс всех ординалов является транзитивным классом.
Набор транзитивно тогда и только тогда, когда , где представляет собой объединение всех элементов это наборы, .
Если транзитивно, то является транзитивным.
Если и транзитивны, то и являются транзитивными. В общем, если — класс, все элементы которого являются транзитивными множествами, то и являются транзитивными. (Первое предложение в этом абзаце относится к случаю .)
Набор не содержащее urelements, является транзитивным тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего собственного набора степеней , Степенное множество транзитивного множества без urelements является транзитивным.
Транзитивное замыкание множества — наименьшее (по включению) транзитивное множество, включающее (т.е. ). [2] Предположим, дан набор , то транзитивное замыкание является
Доказательство. Обозначим и . Тогда мы утверждаем, что множество
транзитивно, и всякий раз, когда является транзитивным множеством, включающим затем .
Предполагать . Затем для некоторых и так . С , . Таким образом является транзитивным.
Теперь позвольте быть как указано выше. Докажем по индукции, что для всех , тем самым доказав, что : Базовый случай справедлив, поскольку . Теперь предположим . Затем . Но транзитивно, поэтому , следовательно . Это завершает доказательство.
Обратите внимание, что это набор всех объектов, связанных с транзитивным замыканием отношения принадлежности, поскольку объединение множества может быть выражено через относительный продукт отношения принадлежности с самим собой.
Транзитивное замыкание множества можно выразить формулой первого порядка: является транзитивным замыканием если только является пересечением всех надмножеств транзитивных (то есть каждое транзитивное надмножество содержит как подмножество).
Транзитивное множество (или класс), которое является моделью формальной системы теории множеств, называется транзитивной моделью системы (при условии, что отношение элемента модели является ограничением истинного отношения элемента к вселенной модели). . Транзитивность является важным фактором, определяющим абсолютность формул.
В суперструктурном подходе к нестандартному анализу нестандартные вселенные удовлетворяют сильной транзитивности . Здесь класс определяется как сильно транзитивный, если для каждого множества , существует транзитивное надмножество с . Сильно транзитивный класс автоматически транзитивен. Это усиленное предположение о транзитивности позволяет, например, заключить, что содержит область определения каждого бинарного отношения в . [3]
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 6d14f3b4eac867a170410a6301170b0e__1718434860 URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6d/0e/6d14f3b4eac867a170410a6301170b0e.html Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Transitive set - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)
