Огромный кардинал

В математике кардинальное число $\kappa$ называется огромным, если существует элементарное вложение $j:V\to M$ от $V$ в транзитивную внутреннюю модель $M$ с критической точкой $\kappa$ и

{}^{j(\kappa )}M\subset M.

Здесь, ${}^{\alpha }M$ — класс всех последовательностей длины $\alpha$ чьи элементы находятся в $M$ .

Огромные кардиналы были представлены Кеннетом Куненом ( 1978 ).

Варианты [ править ]

Далее, $j^{n}$ относится к $n$ -я итерация элементарного вложения $j$ , то есть, $j$ составленный сам с собой $n$ раз, для конечного порядкового номера $n$ . Также, ${}^{<\alpha }M$ — класс всех последовательностей длины меньше $\alpha$ чьи элементы находятся в $M$ . Обратите внимание, что для «супер» версий: $\gamma$ должно быть меньше, чем $j(\kappa )$ , нет ${j^{n}(\kappa )}$ .

κ почти n-огромен тогда и только тогда, когда существует $j:V\to M$ с критической точкой $\kappa$ и

{}^{<j^{n}(\kappa )}M\subset M.

κ суперпочти n-огромен тогда и только тогда, когда для каждого ординала γ существует $j:V\to M$ с критической точкой $\kappa$ , $\gamma <j(\kappa )$ , и

{}^{<j^{n}(\kappa )}M\subset M.

κ n-огромен тогда и только тогда, когда существует $j:V\to M$ с критической точкой $\kappa$ и

{}^{j^{n}(\kappa )}M\subset M.

κ суперn-огромен тогда и только тогда, когда для любого ординала $\gamma$ есть $j:V\to M$ с критической точкой $\kappa$ , $\gamma <j(\kappa )$ , и

{}^{j^{n}(\kappa )}M\subset M.

Обратите внимание, что 0-огромный — это то же самое, что и измеримый кардинал ; а 1-огромный то же самое, что огромный. Кардинал, удовлетворяющий одной из аксиом ранга в ранг, есть $n$ -огромный для всех конечных $n$ .

Существование почти огромного кардинала подразумевает принципа Вопенки последовательность ; точнее, любой почти огромный кардинал является также кардиналом Вопенки .

Канамори, Рейнхардт и Соловей определили семь основных кардинальных свойств между расширяемостью и огромной силой, названных $\mathbf {A} _{2}(\kappa )$ через $\mathbf {A} _{7}(\kappa )$ и свойство $\mathbf {A} _{6}^{\ast }(\kappa )$ . ^[1] Дополнительное свойство $\mathbf {A} _{1}(\kappa )$ эквивалентно " $\kappa$ огромен», и $\mathbf {A} _{3}(\kappa )$ эквивалентно " $\kappa$ является $\lambda$ -суперкомпактный для всех $\lambda <j(\kappa )$ ". Корацца представила недвижимость $A_{3.5}$ , лежащий строго между $A_{3}$ и $A_{4}$ . ^[2]

Прочность консистенции [ править ]

Кардиналы расположены в порядке возрастания силы согласованности следующим образом:

почти $n$ -огромный
супер почти $n$ -огромный
$n$ -огромный
супер $n$ -огромный
почти $n+1$ -огромный

Непротиворечивость огромного кардинала подразумевает непротиворечивость сверхкомпактного кардинала , тем не менее, наименее огромный кардинал меньше, чем наименее сверхкомпактный кардинал (при условии, что оба существуют).

ω-огромные кардиналы [ править ]

Можно попробовать определить $\omega$ -огромный кардинал $\kappa$ как такой, что элементарное вложение $j:V\to M$ от $V$ в транзитивную внутреннюю модель $M$ с критической точкой $\kappa$ и ${}^{\lambda }M\subseteq M$ , где $\lambda$ является супремумом $j^{n}(\kappa )$ для положительных целых чисел $n$ . Однако теорема несовместимости Кунена показывает, что такие кардиналы несовместны в ZFC, хотя вопрос о том, непротиворечивы ли они в ZF, остается открытым. Вместо этого $\omega$ -огромный кардинал $\kappa$ определяется как критическая точка элементарного вложения некоторого ранга $V_{\lambda +1}$ самому себе. Это тесно связано с аксиомой ранг-в-ранг I ₁ .