Ранг в ранг

В теории множеств , разделе математики , вложение ранга в ранг — это большое кардинальное свойство, определяемое одной из следующих четырех аксиом, данных в порядке возрастания силы непротиворечивости. (Набор рангов $<\lambda$ является одним из элементов множества $V_{\lambda }$ иерархии фон Неймана .)

Аксиома I3: существует нетривиальное элементарное вложение $V_{\lambda }$ в себя.
Аксиома I2: Существует нетривиальное элементарное вложение $V$ в транзитивный класс $M$ что включает в себя $V_{\lambda }$ где $\lambda$ — первая фиксированная точка выше критической точки .
Аксиома I1: Существует нетривиальное элементарное вложение $V_{\lambda +1}$ в себя.
Аксиома I0: существует нетривиальное элементарное вложение $L(V_{\lambda +1})$ в себя с критической точкой ниже $\lambda$ .

По сути, это самые сильные из известных больших кардинальных аксиом, о которых известно, что они непротиворечивы в ZFC ; аксиома для кардиналов Рейнхардта сильнее, но не согласуется с аксиомой выбора .

Если $j$ — элементарное вложение, упомянутое в одной из этих аксиом, и $\kappa$ является его критической точкой , то $\lambda$ это предел $j^{n}(\kappa )$ как $n$ идет в $\omega$ . В более общем смысле, если аксиома выбора верна, то доказуемо, что если существует нетривиальное элементарное вложение $V_{\alpha }$ в себя тогда $\alpha$ либо предельным ординалом конфинальности является $\omega$ или преемник такого ординала.

Аксиомы I0, I1, I2 и I3 сначала подозревали как несовместимые (в ZFC), поскольку считалось возможным, что на них можно распространить теорему о несогласованности Кунена о том, что кардиналы Рейнхардта несовместимы с аксиомой выбора, но этого не произошло. все же произошло, и теперь они обычно считаются последовательными.

Каждый кардинал I0 $\kappa$ (говоря здесь о критической точке $j$ ) является кардиналом I1.

Каждый кардинал I1 $\kappa$ (иногда называемые ω-огромными кардиналами) является кардиналом I2 и имеет под собой стационарный набор кардиналов I2.

Каждый кардинал I2 $\kappa$ является кардиналом I3 и имеет под собой стационарный набор кардиналов I3.

Каждый кардинал I3 $\kappa$ собой еще один кардинал I3 имеет над и является $n$ - огромный кардинал для каждого $n<\omega$ .

Из аксиомы I1 следует, что $V_{\lambda +1}$ (эквивалентно, $H(\lambda ^{+})$ ) не удовлетворяет V= HOD . Нет никакого набора $S\subset \lambda$ определяемый в $V_{\lambda +1}$ (даже из параметров $V_{\lambda }$ и порядковые номера $<\lambda ^{+}$ ) с $S$ кофинал в $\lambda$ и $\vert S\vert <\lambda$ , то есть такого нет $S$ свидетели того, что $\lambda$ является единственным. Аналогично для аксиомы I0 и порядковой определимости в $L(V_{\lambda +1})$ (даже из параметров в $V_{\lambda }$ ). Однако в глобальном масштабе и даже в $V_{\lambda }$ , ^[1] V=HOD относительно соответствует аксиоме I1.

Обратите внимание, что I0 иногда дополнительно усиливается добавлением «набора Икара», так что он будет

Аксиома множества Икара: существует нетривиальное элементарное вложение $L(V_{\lambda +1},\mathrm {Icarus} )$ в себя с критической точкой ниже $\lambda$ .

Набор Икара должен быть в наличии. $V_{\lambda +1}\setminus L(V_{\lambda +1})$ но выбрано, чтобы избежать несоответствия. Так, например, он не может закодировать правильный порядок $V_{\lambda +1}$ . Более подробную информацию см. в разделе 10 Dimonte.

Вудин определил последовательность наборов $E_{\alpha }(V_{\lambda +1})$ для использования в составе наборов Икар. ^[2]

Примечания [ править ]

^ Согласованность V = HOD с аксиомой целостности, Пол Корацца , Архив математической логики, № 39, 2000.
^ В. Димонте, « Совершенно неправильные порядковые номера за пределами $L(V_{\lambda +1})$ ". Архив математической логики, том 50 (2011), стр. 570–571. (Доступно на сайте « typeset.io », стр. 8–9.)

Ссылки [ править ]

Димонте, Винченцо (2017), «I0 и ранговые аксиомы», arXiv : 1707.02613 [ math.LO ] .
Гайфман, Хаим (1974), «Элементарные вложения моделей теории множеств и некоторых подтеорий», Аксиоматическая теория множеств , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XIII, Часть II, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 33–101, МР 0376347.
Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3 .
Лейвер, Ричард (1997), «Следствия между сильными большими кардинальными аксиомами», Ann. Чистое приложение. Логика , 90 (1–3): 79–90, doi : 10.1016/S0168-0072(97)00031-6 , MR 1489305 .
Соловей, Роберт М .; Рейнхардт, Уильям Н .; Канамори, Акихиро (1978), «Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения», Annals of Mathematical Logic , 13 (1): 73–116, doi : 10.1016/0003-4843(78)90031-1 .

[1] Согласованность V = HOD с аксиомой целостности, Пол Корацца , Архив математической логики, № 39, 2000.

[2] В. Димонте, « Совершенно неправильные порядковые номера за пределами $L(V_{\lambda +1})$ ". Архив математической логики, том 50 (2011), стр. 570–571. (Доступно на сайте « typeset.io », стр. 8–9.)

[1]

[2]