Рейнхардт кардинал

В теории множеств , разделе математики, кардинал Рейнхардта — это своего рода большой кардинал . Кардиналы Рейнхардта рассматриваются в рамках ZF ( теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора ), поскольку они несовместимы с ZFC (ZF с аксиомой выбора). Они были предложены (Рейнхардт, 1967 , 1974 ) американским математиком Уильямом Нельсоном Рейнхардтом (1939–1998).

Определение

Кардинал Рейнхардта — это критическая точка нетривиального элементарного вложения. $j:V\to V$ из $V$ в себя.

Это определение явно относится к соответствующему классу $j$. В стандартном ZF классы имеют вид $\{x|\phi (x,a)\}$ для какого-то набора $a$ и формула $\phi$. Но это было показано на Suzuki ( 1999 год ).что ни один такой класс не является элементарным вложением $j:V\to V$. Итак, кардиналы Рейнхардта несовместимы с понятием класса.

Существуют и другие формулировки кардиналов Рейнхардта, которые, как известно, непротиворечивы. Один из них — добавить новый функциональный символ. $j$ на язык ZF вместе с аксиомами, утверждающими, что $j$ представляет собой элементарное вложение $V$и аксиомы разделения и сбора для всех формул, включающих $j$. Другой способ — использовать теорию классов, такую ​​как NBG или KM , которая допускает классы, которые не обязательно должны быть определены в указанном выше смысле.

Теорема Кунена о несогласованности

Кунен ( 1971 ) доказал свою теорему о несогласованности , показав, что существование элементарного вложения $j:V\to V$ противоречит NBG с аксиомой выбора (и ZFC, расширенной $j$). Его доказательство использует аксиому выбора, и до сих пор остается открытым вопрос, совместимо ли такое вложение с NBG без аксиомы выбора (или с ZF плюс дополнительный символ $j$ и сопутствующие аксиомы).

Теорема Кунена — это не просто следствие Судзуки ( 1999 ).поскольку это является следствием NBG и, следовательно, не требует предположения, что $j$ является определяемым классом.Кроме того, предполагая $0^{\#}$ существует, то имеет место элементарное вложение транзитивной модели $M$ или ZFC (фактически конструктивная вселенная Геделя $L$) в себя. Но такие вложения не являются классами $M$.

Более сильные аксиомы

Существует несколько вариаций кардиналов Рейнхардта, образующих иерархию гипотез, утверждающих существование элементарных вложений. $V\to V$.

Супер- кардинал Рейнхардта – это $\kappa$ такой, что для каждого порядкового номера $\alpha$, имеется элементарное вложение $j:V\to V$ с $j(\kappa )>\alpha$ и имеющий критическую точку $\kappa$.

J3: Существует нетривиальное элементарное вложение $j:V\to V$
J2: Существует нетривиальное элементарное вложение $j:V\to V$ и округ Колумбия _$\lambda$ держится, где $\lambda$ является наименьшей фиксированной точкой выше критической точки.
J1: Для каждого порядкового номера $\alpha$, имеется элементарное вложение $j:V\to V$ с $j(\kappa )>\alpha$ и имеющий критическую точку $\kappa$.

Каждый из J1 и J2 сразу влечет за собой J3. Кардинал $\kappa$ как и в J1, известен как суперкардинал Рейнхардта .

Кардиналы Беркли — это более сильные большие кардиналы, предложенные Вудином .

См. также

• Список крупных кардинальных свойств

Ссылки

• Дженсен, Рональд (1995), «Внутренние модели и большие кардиналы», Бюллетень символической логики , 1 (4), Бюллетень символической логики, Vol. 1, № 4: 393–407, CiteSeerX   10.1.1.28.1790 , doi : 10.2307/421129 , JSTOR   421129 , S2CID   15714648
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN  3-540-00384-3
• Кунен, Кеннет (1971), «Элементарные вложения и бесконечная комбинаторика», Журнал символической логики , 36 (3), Журнал символической логики, Vol. 36, № 3: 407–413, doi : 10.2307/2269948 , JSTOR   2269948 , MR   0311478 , S2CID   38948969
• Рейнхардт, WN (1967), Темы метаматематики теории множеств , Докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли
• Рейнхардт, WN (1974), «Замечания о принципах отражения, больших кардиналах и элементарных вложениях». , Аксиоматическая теория множеств , Учеб. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XIII, Часть II, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 189–205, МР   0401475.
• Судзуки, Акира (1999), «Ни одно элементарное вложение из V в V невозможно определить по параметрам», Journal of Символическая логика , 64 (4): 1591–1594, doi : 10.2307/2586799 , JSTOR   2586799 , MR   1780073 , S2CID   40967369

Внешние ссылки

• Келлнер, Питер (2014), В поисках глубокого противоречия (PDF)