Кардинал Беркли

В теории множеств кардиналы Беркли — это некоторые большие кардиналы, предложенные Хью Вудином на семинаре в Калифорнийском университете в Беркли примерно в 1992 году.

Кардинал Беркли — это кардинал κ в модели теории множеств Цермело–Френкеля , обладающий тем свойством, что для каждого транзитивного множества M , включающего κ и α < κ, существует нетривиальное элементарное вложение M M в с α < критическая точка < κ. . Кардиналы Беркли являются строго более сильной кардинальной аксиомой, чем кардиналы Рейнхардта , подразумевая, что они несовместимы с аксиомой выбора .

Ослабление кардинала Беркли состоит в том, что для каждого бинарного отношения R на V _κ существует нетривиальное элементарное вложение ( V _κ , R ) в себя. Это означает, что мы имеем элементарное

j ₁ , j ₂ , j ₃ , ...

j ₁ : ( V _κ , ∈) → ( V _κ , ∈),

j ₂ : ( V _κ , ∈, j ₁ ) → ( V _κ , ∈, j ₁ ),

j ₃ : ( V _κ , ∈ , j ₁ , j ₂ ) → ( V _κ , ∈ , j ₁ , j ₂ ),

и так далее. Это можно продолжать любое конечное число раз и трансфинитно, если модель имеет зависимый выбор. Таким образом, вполне вероятно, что это понятие можно усилить, просто утверждая более зависимый выбор.

Хотя все эти понятия несовместимы с теорией множеств Цермело–Френкеля (ZFC), их $\Pi _{2}^{V}$ последствия не кажутся ложными. Нет никаких известных противоречий с ZFC в утверждении, что, например:
Для каждого ординала λ существует транзитивная модель ZF + кардинала Беркли, замкнутая относительно последовательностей λ.

См. также

• Список крупных кардинальных свойств

Источники

• Чен, Эван; Кёлльнер, Питер (2015), Конспект лекций по математике 145b (PDF)
• Келлнер, Питер (2014), В поисках глубокого противоречия (PDF)