Дехорной орден

В математической области теории кос — порядок Дехорнуа это левоинвариантный полный порядок в группе кос , найденный Патриком Дехорнуа . Первоначальное открытие Деорнуа порядка в группе кос использовало огромные кардиналы , но сейчас существует еще несколько его элементарных конструкций.

Определение

Предположим, что $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ являются обычными образующими группы кос $B_{n}$ на $n$ струны. Определите $\sigma _{i}$-положительным словом быть коса, допускающая хотя бы одно выражение в элементах $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ и их обратные, так что слово содержит $\sigma _{i}$, но не содержит $\sigma _{i}^{-1}$ ни $\sigma _{j}^{\pm 1}$ для $j<i$.

Набор $P$ положительных элементов в порядке Деорнуа определяется как элементы, которые можно записать в виде $\sigma _{i}$-положительное слово для некоторых $i$. У нас есть:

• $PP\subseteq P;$
• $P,\{1\}$ и $P^{-1}$ не пересекаются («свойство ацикличности»);
• группа кос представляет собой объединение $P,\{1\}$ и $P^{-1}$ («свойство сравнения»).

Эти свойства подразумевают, что если мы определим $a<b$ как $a^{-1}b\in P$ тогда мы получим левоинвариантный полный порядок в группе кос. Например, $\sigma _{1}<\sigma _{2}\sigma _{1}$ потому что слово коса $\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}$ не $\sigma _{1}$-положительна, но по соотношениям кос эквивалентна $\sigma _{1}$-положительное слово $\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}$, который лежит в $P$.

История

Теория множеств вводит гипотетическое существование различных понятий «гипербесконечности», таких как большие кардиналы . В 1989 году было доказано, что одно такое понятие, аксиома $I_{3}$, подразумевает существование алгебраической структуры, называемой ациклической полкой, что, в свою очередь, подразумевает разрешимость для проблемы слов левого закона самораспределения $LD:x(yz)=(xy)(xz),$ свойство, априори не связанное с крупными кардиналами.

В 1992 году Дехорной создал пример ациклического шельфа, введя некий группоид. ${\mathcal {G}}_{LD}$ который отражает геометрические аспекты $LD$ закон. В результате на группе кос была построена ациклическая полка $B_{\infty }$, что оказывается частным ${\mathcal {G}}_{LD}$, а это непосредственно подразумевает существование порядка кос. Поскольку порядок кос появляется именно тогда, когда исключается большое кардинальное предположение, связь между порядком кос и ациклической полкой была очевидна только через исходную задачу из теории множеств.

Характеристики

• Существование порядка показывает, что каждая группа кос $B_{n}$ является упорядочиваемой группой и, следовательно, алгебры $\mathbb {Z} B_{n}$ и $\mathbb {C} B_{n}$ не имеют делителя нуля.
• Для $n\geqslant 3$, порядок Деорнуа не инвариантен справа: имеем $\sigma _{2}<\sigma _{1}$ и $\sigma _{2}\sigma _{1}>\sigma _{1}^{2}$. Фактически никакого приказа $B_{n}$ с $n\geqslant 3$ может быть инвариантным с обеих сторон.
• Для $n\geqslant 3$, порядок Деорнуа не является ни архимедовым, ни конрадианским: существуют косы $\beta _{1},\beta _{2}$ удовлетворяющий $\beta _{1}^{p}<\beta _{2}$ для каждого $p$ (например $\beta _{1}=\sigma _{2}$ и $\beta _{2}=\sigma _{1}$) и косички $\beta _{1},\beta _{2}$ больше, чем $1$ удовлетворяющий $\beta _{1}>\beta _{2}\beta _{1}^{p}$ для каждого $p$ (например, $\beta _{1}=\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}$ и $\beta _{2}=\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}$).
• Порядок Дехорного является хорошим упорядочением, если ограничить его моноидом положительной косы. $B_{n}^{+}$ созданный $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$. Тип ордера Дехорного ограничен $B_{n}^{+}$ это порядковый номер $\omega ^{\omega ^{n-2}}$.
• Порядок Дехорного также является хорошим упорядочением, если ограничить его моноидом с двойной положительной косой. $B_{n}^{*+}$ созданный элементами $\sigma _{i}\dots \sigma _{j-1}\sigma _{j}\sigma _{j-1}^{-1}\dots \sigma _{i}^{-1}$ с $1\leqslant i<j\leqslant n$, а тип ордера Дехорного ограничен $B_{n}^{*+}$ также $\omega ^{\omega ^{n-2}}$.
• Как бинарное отношение порядок Дехорного разрешим. Оптимальный алгоритм принятия решения основан на тропических формулах Дынникова: см. главу XII; полученный алгоритм допускает равномерную сложность $O(\ell ^{2})$.

Связь с теорией узлов

• Позволять $\Delta _{n}$ быть основной полуоборотной косой Гарсайда. Каждая коса $\beta$ лежит в уникальном интервале $[\Delta _{n}^{2m},\Delta _{n}^{2m+2})$; вызвать целое число $m$ этаж Дехорной ​ $\beta$, обозначенный $\lfloor \beta \rfloor$. Тогда звенья замыкания кос с большим полом ведут себя хорошо, а именно свойства ${\widehat {\beta }}$ можно легко прочитать из $\beta$. Вот несколько примеров.
• Если $\vert \lfloor \beta \rfloor \vert >1$ затем ${\widehat {\beta }}$ является простым, нерасщепляемым и нетривиальным.
• Если $\vert \lfloor \beta \rfloor \vert >1$ и ${\widehat {\beta }}$ это узел, то ${\widehat {\beta }}$ является торическим узлом тогда и только тогда, когда $\beta$ носит периодический характер, ${\widehat {\beta }}$ является узлом-сателлитом тогда и только тогда, когда $\beta$ является приводимым, и ${\widehat {\beta }}$ является гиперболическим тогда и только тогда, когда $\beta$ псевдоаносов.

Дальнейшее чтение

• Кассель, Кристиан (2002), «Орден Дехорнуа о косах», Asterisk (276): 7–28, ISSN   0303-1179 , MR   1886754
• Дехорной, Патрик (1997), «Быстрый метод сравнения кос», Advances in Mathematics , 125 (2): 200–235, doi : 10.1006/aima.1997.1605 , MR   1434111