Спутниковый узел

В математической теории узлов узлом -сателлитом называется узел , содержащий несжимаемый , несжимаемый , непараллельный границе тор в своем дополнении . Каждый узел является либо гиперболическим, либо торическим, либо узлом-сателлитом. К классу узлов-сателлитов относятся составные узлы, вантовые узлы и двойники Уайтхеда . Спутниковая линия связи — это линия, которая вращается вокруг узла-компаньона K в том смысле, что она находится внутри регулярной окрестности узла-компаньона.

Спутниковый узел $K$ образно можно описать так: начнем с нетривиального узла $K'$ лежащий внутри незавязанного полнотория $V$. Здесь «нетривиальный» означает, что узел $K'$ не разрешается сидеть внутри шара-3 в $V$ и $K'$ не может быть изотопным центральной кривой полнотория. Затем завяжите полноторие в нетривиальный узел.

Это означает, что существует нетривиальное вложение $f\colon V\to S^{3}$ и $K=f\left(K'\right)$. Центральная кривая ядра полнотория $V$ отправляется в узел $H$, который называется «узлом-спутником» и считается планетой, вокруг которой находится «узел-спутник». $K$ орбиты. Конструкция гарантирует, что $f(\partial V)$ является безграничным параллельным несжимаемым тором в дополнении $K$. Составные узлы содержат определенный вид несжимаемого тора, называемый тором ласточкиного следования , который можно представить себе как поглощающий одно слагаемое и следующий за другим слагаемым.

С $V$ представляет собой незавязанный полноторий, $S^{3}\setminus V$ представляет собой трубчатую окрестность узла $J$. 2-компонентное звено $K'\cup J$ вместе с вложением $f$ называется шаблоном, связанным с работой спутника.

Соглашение: люди обычно требуют, чтобы встраивание $f\colon V\to S^{3}$ раскручен что в том смысле, $f$ должен отправить стандартную долготу $V$ до стандартной долготы $f(V)$. Другими словами, даны любые две непересекающиеся кривые. $c_{1},c_{2}\subset V$, $f$ сохраняет свои связывающие номера, т.е.: $\operatorname {lk} (f(c_{1}),f(c_{2}))=\operatorname {lk} (c_{1},c_{2})$.

Основные семьи

Когда $K'\subset \partial V$ является торическим узлом , то $K$ называется кабельным узлом . Примеры 3 и 4 — тросовые узлы. Кабель, построенный с заданными номерами витков ( , n ) из другого узла K , часто называют узла ( m , n ) кабелем K. m

Если $K'$ является нетривиальным узлом в $S^{3}$ а если сжимающий диск для $V$ пересекает $K'$ ровно в одной точке, то $K$ называется связной суммой . Другой способ сказать это заключается в том, что шаблон $K'\cup J$ является связной суммой нетривиального узла $K'$ со ссылкой Хопфа.

Если ссылка $K'\cup J$ это ссылка Уайтхеда , $K$ называется дублем Уайтхеда . Если $f$ раскручивается, $K$ называется раскрученным дублем Уайтхеда.

Примеры

• 
  Пример 1: Соединительная сумма узла трилистника и восьмерки.
• 
  Пример 2: Двойник Уайтхеда восьмерки.
• 
  Пример 3: Кабель коннект-суммы.
• 
  Пример 4: Трос трилистника.
• 
  Пример 5: Узел, который является двукратным спутником, т.е. имеет непараллельные торы типа «ласточка-следование».
• 
  Пример 6: Узел, который является двукратным спутником, т. е. имеет непараллельные торы типа «ласточка-следование».

Примеры 5 и 6 представляют собой варианты одной и той же конструкции. Оба они имеют в своих дополнениях два непараллельных, негранично-параллельных несжимаемых тора, что расщепляет дополнение на объединение трех многообразий. В 5 этими многообразиями являются: дополнение колец Борромео , дополнение трилистника и дополнение восьмерки. В 6 дополнение в виде восьмерки заменяется другим дополнением в виде трилистника.

Происхождение

В 1949 году Хорст Шуберт доказал, что каждый ориентированный узел в $S^{3}$ разлагается как связная сумма простых узлов единственным образом, с точностью до переупорядочения, образуя моноид ориентированных изотопических классов узлов в $S^{3}$ свободный коммутативный моноид со счетно-бесконечным числом образующих. Вскоре после этого он понял, что может дать новое доказательство своей теоремы путем тщательного анализа несжимаемых торов, присутствующих в дополнении к коннектной сумме. Это побудило его изучить общие несжимаемые торы в узлах-дополнениях в его эпической работе Knoten und Vollringe : где он определил узлы-спутники и компаньоны.

Последующая работа

Демонстрация Шубертом того, что несжимаемые торы играют важную роль в теории узлов, была одним из первых открытий, приведших к объединению теории трехмерных многообразий и теории узлов. Это привлекло внимание Вальдхаузена, который позже использовал несжимаемые поверхности, чтобы показать, что большой класс 3-многообразий гомеоморфен тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы изоморфны. Вальдхаузен выдвинул гипотезу о том, что сейчас называется разложением Жако – Шалена – Йоханнсона 3-многообразий, которое представляет собой разложение 3-многообразий по сферам и несжимаемым торам. Позже это стало основным ингредиентом в развитии геометризации , которую можно рассматривать как частичную классификацию трехмерных многообразий. Разветвления теории узлов были впервые описаны в давно неопубликованной рукописи Бонахона и Зибенмана.

Уникальность спутниковой декомпозиции

В «Knoten und Vollringe» Шуберт доказал, что в некоторых случаях существует, по сути, уникальный способ выразить узел как спутник. Но известно также множество примеров, когда разложение не является единственным. С соответствующим образом расширенным понятием операции-сателлита, называемым сплайсингом, разложение JSJ дает правильную теорему единственности для узлов-сателлитов.

См. также

• Гиперболический узел
• Торовый узел