корчиться

В теории узлов существует несколько конкурирующих понятий о величине корчания , или $\operatorname {Wr}$. В каком-то смысле это чисто свойство диаграммы ориентированных связей и принимает целочисленные значения. В другом смысле это величина, которая описывает величину «навивки» математического узла (или любой замкнутой простой кривой ) в трехмерном пространстве и принимает в качестве значений действительные числа . В обоих случаях скручивание является геометрической величиной, а это означает, что, деформируя кривую (или диаграмму) таким образом, чтобы не изменить ее топологию, можно все же изменить ее скручивание.

Написание диаграмм связей

В теории узлов корчание является свойством диаграммы ориентированных связей . Корчи — это общее количество положительных пересечений минус общее количество отрицательных пересечений.

Направление назначается ссылке в определенной точке каждого компонента, и это направление соблюдается по всему периметру каждого компонента. Для каждого пересечения, которое встречается при движении в этом направлении, если нижняя нить идет справа налево, пересечение положительное; если нижняя нить идет слева направо, пересечение отрицательное. Один из способов запомнить это — использовать вариант правила правой руки .

Позитивный пересечение		Отрицательный пересечение

Для диаграммы узлов использование правила правой руки в любой ориентации дает один и тот же результат, поэтому искривление четко определяется на неориентированных диаграммах узлов.

Типа I Движение Рейдемейстера меняет корчи на 1.

На корчание узла не влияют два из трех приемов Рейдемейстера : движения Типа II и Типа III не влияют на корчи. Однако ход Райдемейстера типа I увеличивает или уменьшает корчи на 1. Это означает, что корчание узла не является изотопическим инвариантом самого узла, а только диаграммой. С помощью серии ходов типа I можно сделать изгиб диаграммы для данного узла вообще любым целым числом.

Искривление замкнутой кривой

Скручивание также является свойством узла, представленного в виде кривой в трехмерном пространстве. Строго говоря, узел — это такая кривая, определяемая математически как вложение окружности в трехмерное евклидово пространство , $\mathbb {R} ^{3}$. Рассматривая кривую с разных точек зрения, можно получить разные проекции и нарисовать соответствующие диаграммы узлов . Его корчиться $\operatorname {Wr}$ (в смысле пространственной кривой) равен среднему значению интегральных значений кривизны, полученных из проекций со всех точек обзора. Следовательно, корч в этой ситуации может принимать любое действительное число в качестве возможного значения.

В статье 1961 г. Георге Кэлугэряну доказал следующую теорему: возьмем ленту в $\mathbb {R} ^{3}$, позволять $\operatorname {Lk}$ — связующее число его граничных компонентов, и пусть $\operatorname {Tw}$ быть его полным поворотом . Тогда разница $\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw}$ зависит только от основной кривой ленты , и

$\operatorname {Wr} =\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw}$.

В статье 1959 г. Кэлугэряну также показал, как вычислить корчу Wr с помощью интеграла . Позволять $C$ будет гладкой, простой, замкнутой кривой и пусть $\mathbf {r} _{1}$ и $\mathbf {r} _{2}$ быть точками на $C$. Тогда корч равен интегралу Гаусса

$\operatorname {Wr} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}$.

Численная аппроксимация интеграла Гаусса для изгиба кривой в пространстве

Поскольку корчание кривой в пространстве определяется как двойной интеграл , мы можем аппроксимировать его значение численно, сначала представив нашу кривую как конечную цепочку $N$ отрезки линии. Процедура, впервые разработанная Майклом Левиттом. для описания сворачивания белка и позже использовался Константином Клениным и Йоргом Ланговски для сверхспиральной ДНК. это вычислить

$\operatorname {Wr} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}$,

где $\Omega _{ij}/{4\pi }$ это точная оценка двойного интеграла по отрезкам прямой. $i$ и $j$; Обратите внимание, что $\Omega _{ij}=\Omega _{ji}$ и $\Omega _{i,i+1}=\Omega _{ii}=0$.

Чтобы оценить $\Omega _{ij}/{4\pi }$ для заданных сегментов с номерами $i$ и $j$, пронумеруйте концы двух отрезков 1, 2, 3 и 4. Пусть $r_{pq}$ быть вектором, который начинается в конечной точке $p$ и заканчивается в конечной точке $q$. Определите следующие величины:

$n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}$

Затем мы вычисляем

$\Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).$

Наконец, компенсируем возможную разницу знаков и делим на $4\pi$ чтобы получить

${\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).$

Кроме того, другие методы вычисления корчания могут быть полностью описаны математически и алгоритмически, некоторые из них превосходят описанный выше метод (который имеет квадратичную вычислительную сложность, поскольку имеет линейную сложность).

Продолжительность: 20 секунд. 0:20

Моделирование упругого стержня, снимающего скручивающее напряжение за счет формирования витков.

Приложения в топологии ДНК

ДНК скручивается при скручивании, точно так же, как это делает резиновый шланг или веревка, и именно поэтому биоматематики используют величину скручивания для описания степени деформации фрагмента ДНК в результате этого скручивающего напряжения. В общем, это явление образования спиралей в результате корчания называется сверхспирализацией ДНК и является довольно обычным явлением, и фактически у большинства организмов ДНК имеет отрицательную сверхспирализацию.

Любой эластичный стержень, а не только ДНК, снимает скручивающее напряжение за счет скручивания, действия, которое одновременно раскручивает и сгибает стержень. Ф. Брок Фуллер математически показывает как «упругую энергию, обусловленную местным скручиванием стержня, можно уменьшить, если центральная кривая стержня образует витки, увеличивающие число его извиваний».

См. также

• суперспирализация ДНК
• Связывающий номер
• Теория ленты
• Твист (математика)
• Номер обмотки

Дальнейшее чтение

• Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3678-1