Квадратный узел (математика)

Квадратный узел
Трехмерный вид
Общее имя	Рифовый узел
Пересечение нет.	6
Палка нет.	8
Обозначение A – B	$3_{1}\#3_{1}^{*}$
Другой
чередующийся , составной , крендель , ломтик , амфихиральный , трехцветный

Квадратный узел, нарисованный в виде ленточного узла.

Квадратный узел = трилистник + отражение трилистника. Изображены палочки .

В теории узлов квадратный узел — это составной узел, полученный путем взятия связной суммы узла -трилистника с его отражением . Он тесно связан с бабушкиным узлом , который также представляет собой связную сумму двух трилистников. Поскольку узел «трилистник» — самый простой нетривиальный узел, квадратный узел и узел «бабушка» — самые простые из всех составных узлов.

Квадратный узел — это математическая версия обычного рифового узла .

Строительство

Квадратный узел может быть построен из двух узлов-трилистников, один из которых должен быть левым, а другой - правым. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Полученная связная сумма и есть квадратный узел.

Важно, чтобы оригинальные узлы-трилистники были зеркальным отражением друг друга. Если вместо этого использовать два одинаковых узла-трилистника, получится узел «бабушка».

Характеристики

Квадратный узел амфихиральный , то есть он неотличим от своего зеркального отражения. Число пересечений квадратного узла равно шести, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла.

Полином Александера квадратного узла равен

$\Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},\,$

что представляет собой просто квадрат полинома Александера узла-трилистника. Аналогично, полином Александера – Конвея квадратного узла равен

$\nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.$

Эти два полинома такие же, как и для бабушкиного узла. Однако полином Джонса для квадратного узла равен

$V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}.\,$

Это произведение полиномов Джонса для правых и левых узлов-трилистников, и оно отличается от полинома Джонса для узла «бабушка».

Группа узлов квадратного узла приведена в презентации.

$\langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle .\,$

Это изоморфно группе узлов бабушкиного узла и является простейшим примером двух разных узлов с изоморфными группами узлов.

В отличие от «бабушкиного узла», квадратный узел представляет собой ленточный узел и, следовательно, также является узлом-ломтиком .