Инвариант узла

Простые узлы организованы по инварианту числа пересечений.

В математической области теории узлов — инвариант узла это величина (в широком смысле), определенная для каждого узла и одинаковая для эквивалентных узлов. Эквивалентность часто задается объемлющей изотопией , но может быть задана гомеоморфизмом . Некоторые инварианты действительно являются числами (алгебраическими ), но инварианты могут варьироваться от простых, таких как ответ да/нет, до таких сложных, как теория гомологии (например, « инвариант узла — это правило, которое присваивает любому узлу K величину φ( K ), такую что если K и K' эквивалентны, то φ( K ) = φ( K' ) ». ). Исследования инвариантов мотивированы не только основной проблемой отличия одного узла от другого, но и стремлением понять фундаментальные свойства узлов и их связь с другими разделами математики. Таким образом, при классификации узлов используются инварианты узлов. как в «перечислении», так и в «удалении дублирования».

— Инвариант узла это величина, определенная на множестве всех узлов, которая принимает одно и то же значение для любых двух эквивалентных узлов. Например, группа узлов является инвариантом узла.

Обычно инвариант узла является комбинаторным. количество определяется на диаграммах узлов. Таким образом, если две диаграммы узлов различаются относительно некоторого инварианта узла, они должны представлять разные узлы. Однако, как это обычно бывает с топологическими инвариантами, если две диаграммы узлов имеют одинаковые значения относительно [одного] инварианта узла, то мы все равно не можем заключить, что узлы одинаковы.

С современной точки зрения естественно определить инвариант узла на основе диаграммы узла . Разумеется, оно должно быть неизменным (т. е. инвариантным) относительно движений Райдемейстера («треугольных ходов» ). Трехцветность (и n -раскрашиваемость) — особенно простой и распространенный пример. Другими примерами являются полиномы узлов , такие как полином Джонса , которые в настоящее время являются одними из наиболее полезных инвариантов для различения узлов друг от друга, хотя в настоящее время неизвестно, существует ли полином узлов, который отличает все узлы друг от друга. Однако существуют инварианты, которые отличают узел от всех других узлов, такие как гомологии Хованова и гомологии узла Флоера .

Другие инварианты можно определить, рассматривая некоторую целочисленную функцию диаграмм узлов и принимая ее минимальное значение по всем возможным диаграммам данного узла. В эту категорию входят номер пересечения , который представляет собой минимальное количество пересечений для любой схемы узла, и номер моста , который представляет собой минимальное количество мостов для любой схемы узла.

Исторически сложилось так, что многие из ранних инвариантов узлов не определяются путем предварительного выбора диаграммы, а определяются внутренне, что может затруднить вычисление некоторых из этих инвариантов. Например, род узла особенно сложно вычислить, но он может быть эффективным (например, при различении мутантов ).

Дополнение самого узла (как топологического пространства ) известно как «полный инвариант» узла по теореме Гордона-Люке в том смысле, что оно отличает данный узел от всех других узлов с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отображения. . Некоторые инварианты, связанные с дополнением узла, включают группу узлов , которая является фундаментальной группой дополнения. Квандл узла также является полным инвариантом в этом смысле, но трудно определить, изоморфны ли два квандла. Периферийная подгруппа также может работать как полный инвариант.

По жесткости Мостоу – Прасада гиперболическая структура дополнения к гиперболическому звену уникальна, что означает, что гиперболический объем является инвариантом для этих узлов и звеньев. Объем и другие гиперболические инварианты оказались очень эффективными и использовались в некоторых обширных попытках табуляции узлов .

В последние годы большой интерес вызвали гомологические инварианты узлов, которые классифицируют хорошо известные инварианты. Гомологии Хегора Флоера — это теория гомологии которой , эйлеровой характеристикой является полином Александера узла. Он доказал свою эффективность при получении новых результатов о классических инвариантах. В другом направлении исследования существует комбинаторно определенная теория когомологий узлов, называемая гомологиями Хованова , эйлеровой характеристикой которой является полином Джонса . Недавно было показано, что это полезно для получения границ рода срезов , ранние доказательства которых требовали калибровочной теории . С тех пор Михаил Хованов и Лев Розанский определили несколько других родственных теорий когомологий, эйлеровы характеристики которых восстанавливают другие классические инварианты. Катарина Строппель дала теоретико-представительную интерпретацию гомологии Хованова путем классификации инвариантов квантовой группы.

Также со стороны теоретиков узлов и ученых растет интерес к пониманию «физических» или геометрических свойств узлов и их связи с топологическими инвариантами и типом узлов. Старый результат в этом направлении — теорема Фари–Милнора, утверждающая, что если полная кривизна узла K в $\mathbb {R} ^{3}$ удовлетворяет

$\oint _{K}\kappa \,ds\leq 4\pi ,$

где κ ( p ) — кривизна в точке p , то K — узел. Следовательно, для кривых с узлами

$\oint _{K}\kappa \,ds>4\pi .\,$

Примером «физического» инварианта является канатная длина , которая представляет собой длину веревки единичного диаметра, необходимую для реализации определенного типа узла.

Другие инварианты

• Число связи - числовой инвариант, описывающий соединение двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве.
• Инвариант конечного типа - тип инварианта в теории узлов (или инвариант Васильева или Васильева – Гусарова).
• Число палочек — наименьшее количество ребер эквивалентного многоугольного пути узла.

Дальнейшее чтение

• Рольфсен, Дейл (2003). Узлы и Связи . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN  0-8218-3436-3 .
• Адамс, Колин Конрад (2004). Книга «Узлы: элементарное введение в математическую теорию узлов» (Repr., с корр.). Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN  0-8218-3678-1 .
• Бурде, Герхард; Цишанг, Хайнер (2002). Узлы (2-е изд. и расширенное изд.). Нью-Йорк: Де Грюйтер. ISBN  3-11-017005-1 .

Внешние ссылки

• Ча, Джэ Чун; Ливингстон, Чарльз. «KnotInfo: Таблица инвариантов узлов» . Индиана.edu . Проверено 17 августа 2021 г.
• « Инварианты », Атлас узлов .