Гиперболический объем
В математической области теории узлов гиперболический объем — гиперболической связи ссылки это объем дополнения относительно ее полной гиперболической метрики. Объем обязательно представляет собой конечное действительное число и является топологическим инвариантом связи. [1] Как инвариант зацепления он был впервые изучен Уильямом Тёрстоном в связи с его гипотезой геометризации . [2]
Узел и ссылка инвариантны
[ редактировать ]Гиперболическое звено — это звено в 3-сфере которого , дополнению (пространству, образованному удалением звена из 3-сферы) можно задать полную риманову метрику постоянной отрицательной кривизны , придав ей структуру гиперболического 3-многообразия , фактор гиперболического пространства по группе, действующей на нем свободно и разрывно. Компоненты зацепления станут каспами 3-многообразия, а само многообразие будет иметь конечный объем. По жесткости Мостова , когда дополнение зацепления имеет гиперболическую структуру, эта структура определяется однозначно, и любые геометрические инварианты структуры также являются топологическими инвариантами зацепления. В частности, гиперболический объем дополнения является инвариантом узла . Чтобы сделать его четко определенным для всех узлов или звеньев, гиперболический объем негиперболического узла или звена часто определяется равным нулю.
Для любого заданного объема существует лишь конечное число гиперболических узлов. [2] Мутация , гиперболического узла будет иметь тот же объем [3] так что можно состряпать примеры равного объёма; действительно, существуют сколь угодно большие конечные множества различных узлов одинакового объема. [2] На практике гиперболический объем оказался очень эффективным для различения узлов и использовался в некоторых обширных попытках табулирования узлов . Джеффри Уикса Компьютерная программа SnapPea — универсальный инструмент, используемый для расчета гиперболического объема ссылки. [1]
| Узел/ссылка | Объем | Ссылка |
|---|---|---|
| Узел восьмерка | [4] | |
| Трехвитковый узел | 2.82812 | [ нужна ссылка ] |
| Стивидорный узел | 3.16396 | [ нужна ссылка ] |
| 6 2 узла | 4.40083 | [ нужна ссылка ] |
| Бесконечный узел | 5.13794 | [ нужна ссылка ] |
| пара перко | 5.63877 | [ нужна ссылка ] |
| 6 3 узла | 5.69302 | [ нужна ссылка ] |
| Борромео кольца | [4] |
Произвольные многообразия
[ редактировать ]В более общем смысле гиперболический объем может быть определен для любого гиперболического трехмерного многообразия . Многообразие Уикса имеет наименьший возможный объем среди всех закрытых многообразий (многообразие, которое, в отличие от звеньевых дополнений, не имеет точек возврата); его объем составляет примерно 0,9427. [5]
Терстон и Йоргенсен доказали, что множество действительных чисел, которые являются гиперболическими объемами трехмерных многообразий , хорошо упорядочено с типом порядка ω. ой . [6] Наименьшая предельная точка в этом наборе объемов задается узлом - дополнением узла восьмерки , [7] а наименьшая предельная точка предельных точек задается дополнением связи Уайтхеда . [8]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Адамс, Колин ; Хильдебранд, Мартин; Уикс, Джеффри (1991), «Гиперболические инварианты узлов и связей», Труды Американского математического общества , 326 (1): 1–56, doi : 10.2307/2001854 , MR 0994161 .
- ^ Jump up to: а б с Виленберг, Норберт Дж. (1981), «Гиперболические трехмерные многообразия, имеющие общий фундаментальный многогранник», Римановы поверхности и смежные темы: Материалы конференции в Стоуни-Брук 1978 года (Государственный университет Нью-Йорка, Стоуни-Брук, штат Нью-Йорк, 1978) , Энн . математики. Студ., вып. 97, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Пресс, стр. 505–513, МР 0624835 .
- ^ Руберман, Дэниел (1987), «Мутация и объемы узлов в S 3 ", Mathematical Inventions , 90 (1): 189–215, Bibcode : 1987InMat..90..189R , doi : 10.1007/BF01389038 , MR 0906585 .
- ^ Jump up to: а б Уильям Терстон (март 2002 г.), «7. Вычисление объема» (PDF) , Геометрия и топология трехмерных многообразий , стр. 165
- ^ Габай, Давид ; Мейерхофф, Роберт; Милли, Питер (2009), «Гиперболические трехмногообразия с каспами минимального объема», Журнал Американского математического общества , 22 (4): 1157–1215, arXiv : 0705.4325 , Bibcode : 2009JAMS...22.1157G , doi : 10.1090/ С0894-0347-09-00639-0 , МР 2525782 .
- ^ Нойманн, Уолтер Д.; Загер, Дон (1985), «Объемы гиперболических трехмерных многообразий», Топология , 24 (3): 307–332, doi : 10.1016/0040-9383(85)90004-7 , MR 0815482 .
- ^ Цао, Чун; Мейерхофф, Г. Роберт (2001), «Ориентируемые гиперболические трехмерные многообразия с возвратами минимального объема», Inventiones Mathematicae , 146 (3): 451–478, doi : 10.1007/s002220100167 , MR 1869847
- ^ Агол, Ян (2010), «Ориентируемые по минимальному объему гиперболические 2-каспические 3-многообразия», Труды Американского математического общества , 138 (10): 3723–3732, arXiv : 0804.0043 , doi : 10.1090/S0002-9939-10 -10364-5 , МР 2661571
Внешние ссылки
[ редактировать ]- « Гиперболический объем », Атлас узлов .
