Множество недель

В математике многообразие Уикса , иногда называемое многообразием Фоменко–Матвеева–Уикса , представляет собой замкнутое гиперболическое 3-многообразие, полученное с помощью (5, 2) и (5, 1) операций Дена на зацеплении Уайтхеда . Его объем примерно равен 0,942707… ( OEIS : A126774 ), а Дэвид Габай , Роберт Мейерхофф и Питер Милли ( 2009 ) показали, что он имеет наименьший объем среди всех замкнутых ориентируемых гиперболических трехмерных многообразий. Многообразие было независимо открыто Джеффри Уиксом ( 1985 ), а также Сергеем Матвеевым и Анатолием Фоменко ( 1988 ).

Объем

Поскольку многообразие Уикса является арифметическим гиперболическим 3-многообразием , его объем можно вычислить, используя его арифметические данные и формулу Армана Бореля :

V_{w}={\frac {3\cdot 23^{3/2}\zeta _{k}(2)}{4\pi ^{4}}}=0.942707\dots

где $k$ числовое поле , сгенерированное $\theta$ удовлетворяющий $\theta ^{3}-\theta +1=0$ и $\zeta _{k}$ - дзета-функция Дедекинда $k$ . ^[1] Альтернативно,

V_{w}=\Im ({\rm {{Li}_{2}(\theta )+\ln |\theta |\ln(1-\theta ))=0.942707\dots }}

где ${\rm {{Li}_{n}}}$ это полилогарифм и $|x|$ - абсолютное значение комплексного корня $\theta$ (с положительной мнимой частью) куб.

Связанные коллекторы

Гиперболическое 3-многообразие с сборкой, полученное с помощью (5, 1) хирургии Дена на зацеплении Уайтхеда, является так называемым родственным многообразием или сестрой дополнения к узлу восьмерки . Дополнение узла восьмерки и его брат имеют наименьший объем среди всех ориентируемых гиперболических трехмерных многообразий с точками возврата. Таким образом, многообразие Уикса может быть получено с помощью гиперболической хирургии Дена на одном из двух наименьших ориентируемых гиперболических 3-многообразий с точкой возврата.

См. также

Многообразие Мейергофа – второй малый том

Ссылки

^ (Тед Чинбург, Эдвард Фридман и Керри Н. Джонс и др., 2001 г. )

Агол, Ян ; Шторм, Питер А.; Терстон, Уильям П. (2007), «Нижние границы объемов гиперболических трехмерных многообразий Хакена (с приложением Натана Данфилда)», Журнал Американского математического общества , 20 (4): 1053–1077, arXiv : math. DG/0506338 , Bibcode : 2007JAMS...20.1053A , doi : 10.1090/S0894-0347-07-00564-4 , MR 2328715 .
Чинбург, Тед; Фридман, Эдвард; Джонс, Керри Н.; Рид, Алан В. (2001), «Арифметическое гиперболическое трехмерное многообразие наименьшего объема» , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Научный класс. Серия IV , 30 (1): 1–40, МР 1882023
Габай, Давид ; Мейерхофф, Роберт; Милли, Питер (2009), «Гиперболические трехмногообразия с каспами минимального объема», Журнал Американского математического общества , 22 (4): 1157–1215, arXiv : 0705.4325 , Bibcode : 2009JAMS...22.1157G , doi : 10.1090/ С0894-0347-09-00639-0 , МР 2525782
Матвеев Сергей В.; Фоменко, Анатолий Т. (1988), "Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, нумерация трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий", Академия наук СССР и Московское математическое общество. . Успехи Математических Наук , 43 (1): 5–22, Бибкод : 1988РуМаС..43....3М , doi : 10.1070/RM1988v043n01ABEH001554 , MR 0937017
Уикс, Джеффри (1985), Гиперболические структуры в трехмерных многообразиях , доктор философии. диссертация, Принстонский университет

[1] (Тед Чинбург, Эдвард Фридман и Керри Н. Джонс и др., 2001 г. )

[1]