Арифметическое гиперболическое трехмерное многообразие

В математике , точнее в теории групп и гиперболической геометрии , арифметические клейновы группы представляют собой специальный класс клейновых групп , построенных с использованием порядков в алгебрах кватернионов . Они являются частными случаями арифметических групп . Арифметическое гиперболическое трехмногообразие - это фактор гиперболического пространства. $\mathbb {H} ^{3}$ арифметической группой Клейна.

Определение и примеры

Кватернионные алгебры

Основная статья: Алгебра кватернионов

Алгебра кватернионов над полем $F$ представляет собой четырехмерный центральный простой $F$-алгебра. Алгебра кватернионов имеет базис $1,i,j,ij$ где $i^{2},j^{2}\in F^{\times }$ и $ij=-ji$.

Алгебра кватернионов называется расщепленной над $F$ если он изоморфен как $F$-алгебра к алгебре матриц $M_{2}(F)$; алгебра кватернионов над алгебраически замкнутым полем всегда расщепляется.

Если $\sigma$ представляет собой вложение $F$ в поле $E$ мы будем обозначать через $A\otimes _{\sigma }E$ алгебра, полученная расширением скаляров из $F$ к $E$ где мы смотрим $F$ как подполе $E$ с помощью $\sigma$.

Арифметические группы Клейна

Подгруппа $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ Говорят, что она получена из алгебры кватернионов , если ее можно получить с помощью следующей конструкции. Позволять $F$ числовое поле , которое имеет ровно два вложения в $\mathbb {C}$ изображение которого не содержится в $\mathbb {R}$ (одно сопряжено с другим). Позволять $A$ быть алгеброй кватернионов над $F$ такой, что для любого вложения $\tau :F\to \mathbb {R}$ алгебра $A\otimes _{\tau }\mathbb {R}$ изоморфен кватернионам Гамильтона . Далее нам нужен заказ ${\mathcal {O}}$ в $A$. Позволять ${\mathcal {O}}^{1}$ быть группой элементов в ${\mathcal {O}}$ приведенной нормы 1 и пусть $\Gamma$ быть его изображением в $M_{2}(\mathbb {C} )$ с помощью $\phi$. Затем мы рассматриваем клейниву группу, полученную как образ в $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ из $\phi ({\mathcal {O}}^{1})$.

Главный факт об этих группах состоит в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный кообъем для меры Хаара на $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$. Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра $A$ не разделен на части $F$. Дискретность является довольно непосредственным следствием того факта, что $A$ расщепляется только на своих сложных вложениях. Конечность кообъема доказать труднее.

Арифметическая клейновская группа — это любая подгруппа $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ которая соизмерима группе, полученной из алгебры кватернионов. Из этого определения непосредственно следует, что арифметические клейновы группы дискретны и имеют конечный кообъем (это означает, что они являются решетками в $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$).

Примеры

Примеры приведены путем взятия $F$ быть мнимым квадратичным полем , $A=M_{2}(F)$ и ${\mathcal {O}}=M_{2}(O_{F})$ где $O_{F}$ кольцо целых чисел $F$ (например $F=\mathbb {Q} (i)$ и $O_{F}=\mathbb {Z} [i]$). Полученные таким образом группы являются группами Бьянки . Они не кокомпактны, и любая арифметическая клейнова группа, не соизмеримая с сопряженной группой Бьянки, кокомпактна.

Если $A$ — любая алгебра кватернионов над мнимым полем квадратичных чисел. $F$ которая не изоморфна матричной алгебре, то единичные группы порядков в $A$ кокомпактны.

Поле трассировки арифметических многообразий

Инвариантное поле следов клейновой группы (или, через монодромный образ фундаментальной группы, гиперболического многообразия) — это поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметического многообразия, фундаментальные группы которого соизмеримы с группой многообразия, полученного из алгебры кватернионов над числовым полем $F$ инвариантное поле следа равно $F$.

Фактически можно охарактеризовать арифметические многообразия через следы элементов их фундаментальной группы. Клейнинова группа является арифметической группой тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

• Его инвариантное поле трассировки $F$ — числовое поле ровно с одним комплексным знаком;
• Следы его элементов — целые алгебраические числа ;
• Для любого $\gamma$ в группе, $t=\mathrm {Trace} (\gamma ^{2})$ и любое вложение $\sigma :F\to \mathbb {R}$ у нас есть $|\sigma (t)|\leq 2$.

трехмногообразий

Формула объема

Для объема арифметическое три многообразия $M=\Gamma _{\mathcal {O}}\backslash \mathbb {H} ^{3}$ полученный из максимального порядка в алгебре кватернионов $A$ над числовым полем $f$ у нас есть выражение:

$$\mathrm {vol} (M)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{2^{2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}|D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).$$

где $D_{A},D_{F}$ являются дискриминантами ​ $A,F$ соответственно, $\zeta _{F}$ - дзета-функция Дедекинда $F$ и $r=[F:\mathbb {Q} ]$.

конечности

Следствием формулы объема из предыдущего абзаца является то, что

Данный $v>0$ существует не более конечного числа арифметических гиперболических 3-многообразий с объемом меньше $v$.

Это контрастирует с тем фактом, что гиперболическую хирургию Дена можно использовать для создания бесконечного числа неизометрических гиперболических трехмерных многообразий с ограниченным объемом. В частности, следствием является то, что для гиперболического многообразия с точками не более конечного числа операций Дена на нем может быть получено арифметическое гиперболическое многообразие.

трехмногообразия

Многообразие Уикса — это гиперболическое трёхмногообразие наименьшего объёма. а многообразие Мейергофа — следующее по наименьшему объему.

Дополнением в трехсфере узла восьмерки является арифметическое гиперболическое трехмногообразие. и достигает наименьшего объема среди всех гиперболических трехмногообразий с точками возврата.

Спектр

Гипотеза Рамануджана для автоморфных форм на $\mathrm {GL} (2)$ над числовым полем будет означать, что для любого конгруэнтного покрытия арифметического трехмерного многообразия (полученного из алгебры кватернионов) спектр оператора Лапласа содержится в $[1,+\infty )$.

Арифметические многообразия в трехмерной топологии

Многие из гипотез Терстона (например, практически гипотеза Хакена ), которые теперь известны как верные после работы Яна Агола , сначала проверялись на арифметических многообразиях специальными методами. В некоторых арифметических случаях гипотеза виртуального Хакена известна общими средствами, но неизвестно, можно ли прийти к ее решению чисто арифметическими средствами (например, путем нахождения конгруэнтной подгруппы с положительным первым числом Бетти).

Арифметические многообразия можно использовать, чтобы дать примеры многообразий с большим радиусом инъективности, у которых первое число Бетти обращается в нуль.

Замечание Уильяма Терстона заключается в том, что арифметические многообразия «...часто кажутся особенными». Это можно обосновать результатами, показывающими, что связь между топологией и геометрией для этих многообразий гораздо более предсказуема, чем вообще. Например:

• Для данного рода g существует не более конечного числа арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий, которые расслояются по окружности слоем рода g .
• Существует не более конечного числа арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий с заданным родом Хигора.

Ссылки

• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 219, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-98386-8 , МР   1937957