Кватернион

Эта статья о кватернионах в математике. Чтобы узнать о других значениях, см. Кватернион (значения) .

Таблица умножения кватернионов

↓ × →	1	я	дж	к
1	1	я	дж	к
я	я	−1	к	− j
дж	дж	- к	−1	я
к	к	дж	- я	−1
Левый столбец показывает левый фактор, верхняя строка показывает правый фактор. Также, $a\mathbf {b} =\mathbf {b} a$ и $-\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b}$ для $a\in \mathbb {R}$, $\mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$.

График Кэли Q8, показывающий шесть циклов умножения на i , j и k . (Если изображение открывается на Wikimedia Commons двойным щелчком по нему, циклы можно выделить, наведя на них курсор или щелкнув по ним.)

В математике система кватернионов счисления расширяет комплексные числа . Кватернионы были впервые описаны ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. и применительно к механике в трехмерном пространстве . Алгебра кватернионов часто обозначается H (от Гамильтона ) или на доске . жирным шрифтом $\mathbb {H} .$ Кватернионы не являются полем, поскольку умножение кватернионов, как правило, не является коммутативным . Кватернионы дают определение отношения двух векторов в трехмерном пространстве. Кватернионы обычно представляются в виде

$$a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,$$

где коэффициенты a , b , c , d — действительные числа , а 1, i , j , k — базисные векторы или базисные элементы .

Кватернионы используются в чистой математике , но также имеют практическое применение в прикладной математике , особенно для вычислений, включающих трехмерное вращение , например, в трехмерной компьютерной графике , компьютерном зрении , магнитно-резонансной томографии. и кристаллографический текстурный анализ. Их можно использовать наряду с другими методами вращения, такими как углы Эйлера и матрицы вращения , или в качестве альтернативы им, в зависимости от приложения.

Говоря современным языком, кватернионы образуют четырехмерную ассоциативную нормированную алгебру с телом над действительными числами и, следовательно, кольцо, а также тело и область определения . Это частный случай алгебры Клиффорда , классифицируемой как $\operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).$ Это была первая открытая некоммутативная алгебра с делением.

По теореме Фробениуса алгебра $\mathbb {H}$ является одним из двух конечномерных тел, содержащих собственное подкольцо , изоморфное действительным числам; другой - комплексные числа. Эти кольца также являются евклидовыми алгебрами Гурвица , из которых кватернионы являются самой большой ассоциативной алгеброй (и, следовательно, самым большим кольцом). Дальнейшее расширение кватернионов дает неассоциативные октонионы , которые являются последней нормированной алгеброй с делением над действительными числами. Следующее расширение дает седенионы , которые имеют делители нуля и поэтому не могут быть нормированной алгеброй с делением.

Единичные кватернионы образуют групповую структуру на 3-сфере S. ³ изоморфна группам Spin(3) и SU(2) , т.е. универсальная накрывающая группа SO(3) . Положительные и отрицательные базисные векторы образуют группу кватернионов из восьми элементов .

Графическое представление произведений единиц кватернионов в виде поворотов на 90° в плоскостях 4-мерного пространства, охватываемых двумя из {1, i , j , k }. Левый фактор можно рассматривать как вращаемый правым фактором для получения продукта. Визуально я   ⋅   j знак равно - ( j   ⋅   я ) .

• Синим цветом :
  • 1   ⋅   i   =   i (1/ i плоскость)
  • я   ⋅   j   =   k ( плоскость i / k )
• цветом Красным :
  • 1   ⋅   j   =   j 1/ j ) ( плоскость
  • j   ⋅   i   =   − k ( плоскость j / k )

История

Основная статья: История кватернионов

Мемориальная доска кватерниона на мосту Брум (Брум) , в Дублине на которой написано:

Здесь, когда он проходил мимо
16 октября 1843 г.
сэр Уильям Роуэн Гамильтон
в вспышке гениальности обнаружил
основная формула для
умножение кватернионов
     я ² = j ² = к ² = я   j   k = −1
И вырезать его на камне этого моста

Кватернионы были введены Гамильтоном в 1843 году. Важными предшественниками этой работы были тождество Эйлера с четырьмя квадратами (1748 г.) и Олинде Родригесом четырьмя параметризация общих вращений параметрами (1840 г.), но ни один из этих авторов не рассматривал четырехпараметрические вращения как алгебру. Карл Фридрих Гаусс также открыл кватернионы в 1819 году, но эта работа не была опубликована до 1900 года.

Гамильтон знал, что комплексные числа можно интерпретировать как точки на плоскости , и он искал способ сделать то же самое для точек в трехмерном пространстве . Точки в пространстве могут быть представлены их координатами, которые представляют собой тройки чисел, и в течение многих лет он знал, как складывать и вычитать тройки чисел. Однако долгое время он зацикливался на проблеме умножения и деления. Он не мог понять, как вычислить частное координат двух точек пространства. Фактически, Фердинанд Георг Фробениус позже доказал в 1877 году, что для того, чтобы алгебра с делением над действительными числами была конечномерной и ассоциативной, она не может быть трехмерной, и существует только три таких алгебры с делением: $\mathbb {R,C}$ (комплексные числа) и $\mathbb {H}$ (кватернионы), которые имеют размерность 1, 2 и 4 соответственно.

Великий прорыв в области кватернионов наконец произошел в понедельник 16 октября 1843 года в Дублине , когда Гамильтон направлялся в Королевскую ирландскую академию, чтобы председательствовать на заседании совета. Пока он шел со своей женой по тропинке Королевского канала , в его голове формировались концепции, лежащие в основе кватернионов. Когда ответ осенил его, Гамильтон не смог устоять перед желанием вырезать формулу для кватернионов:

$$\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1$$

в камень Брумского моста, когда он остановился на нем. Хотя с тех пор резьба исчезла, с 1989 года проводится ежегодное паломничество под названием « Прогулка Гамильтона» для ученых и математиков, которые идут от обсерватории Дансинк к мосту через Королевский канал в память об открытии Гамильтона.

На следующий день Гамильтон написал письмо своему другу и коллеге-математику Джону Т. Грейвсу , описывая ход мыслей, которые привели к его открытию. Это письмо было позже опубликовано в письме в Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и журнал науки ; Гамильтон заявляет:

И тут меня осенила мысль, что надо допустить в каком-то смысле четвертое измерение пространства для вычислений с тройками... Электрическая цепь как будто замкнулась, и вспыхнула искра.

Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернионом и посвятил большую часть оставшейся жизни их изучению и обучению. Подход Гамильтона более геометрический , чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов. Он основал школу «кватернионов» и в нескольких книгах пытался популяризировать кватернионы. Последняя и самая длинная из его книг «Элементы кватернионов» . было 800 страниц; он был отредактирован его сыном и опубликован вскоре после его смерти.

После смерти Гамильтона шотландский физик-математик Питер Тейт стал главным сторонником кватернионов. В то время кватернионы были обязательной темой экзамена в Дублине. Темы физики и геометрии, которые теперь описывались с помощью векторов, такие как кинематика в пространстве и уравнения Максвелла , полностью описывались с помощью кватернионов. Существовала даже профессиональная исследовательская ассоциация Quaternion Society , занимавшаяся изучением кватернионов и других гиперкомплексных систем счисления.

С середины 1880-х годов кватернионы начали вытесняться векторным анализом , который был разработан Джозайей Уиллардом Гиббсом , Оливером Хевисайдом и Германом фон Гельмгольцем . Векторный анализ описывал те же явления, что и кватернионы, поэтому некоторые идеи и терминологию он обильно заимствовал из литературы по кватернионам. Однако векторный анализ был концептуально проще и понятнее, и в конечном итоге кватернионам отводилась второстепенная роль в математике и физике . Побочным эффектом этого перехода является то, что работу Гамильтона трудно понять многим современным читателям. Первоначальные определения Гамильтона незнакомы, а его стиль письма был многословным и трудным для понимания.

Однако с конца 20-го века кватернионы возродились, в первую очередь из-за их полезности для описания пространственного вращения . Представления вращений кватернионами более компактны и быстрее вычисляются, чем представления матрицами . Кроме того, в отличие от углов Эйлера, они не подвержены « карданному запиранию ». По этой причине кватернионы используются в компьютерной графике . компьютерное зрение , робототехника , ядерного магнитного резонанса , выборка изображений теория управления , обработка сигналов , управление ориентацией , физика , биоинформатика , молекулярная динамика , компьютерное моделирование и орбитальная механика . Например, системы управления ориентацией космического корабля обычно управляются в терминах кватернионов. Кватернионы получили еще один импульс от теории чисел из-за их связи с квадратичными формами .

Кватернионы в физике

Открытие 1924 года о том, что в механике спин квантовой электрона и других частиц материи (известных как спиноры ) можно описать с помощью кватернионов (в форме знаменитых спиновых матриц Паули), усилило их интерес; кватернионы помогли понять, как можно отличить вращение электронов на 360° от вращения на 720° (« трюк с тарелкой »). По состоянию на 2018 год , их использование не обогнало группы ротации .

Определение

Кватернион — это выражение формы

$$a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \ ,$$

где a , b , c , d — действительные числа, а i , j , k — символы , которые можно интерпретировать как единичные векторы, указывающие вдоль трех пространственных осей. На практике, если один из a , b , c , d равен 0, соответствующий член опускается; если a , b , c , d все равны нулю, кватернион является нулевым кватернионом , обозначаемым 0; если один из b , c , d равен 1, соответствующий термин записывается просто i , j или k .

Гамильтон описывает кватернион $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$, состоящее из скалярной части и векторной части. Кватернион $b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$ называется векторной частью (иногда мнимой частью ) числа q , а a — скалярной частью (иногда вещественной частью ) числа q . Кватернион, равный своей действительной части (то есть его векторная часть равна нулю), называется скалярным или действительным кватернионом и отождествляется с соответствующим действительным числом. То есть действительные числа встроены в кватернионы. (Точнее, поле действительных чисел изоморфно подмножеству кватернионов. Поле комплексных чисел также изоморфно трем подмножествам кватернионов.) Кватернион, равный своей векторной части, называется векторным кватернионом .

Набор кватернионов представляет собой 4-мерное векторное пространство над действительными числами с $\left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}$ в качестве основы путем покомпонентного сложения

$${\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {i} +c_{1}\,\mathbf {j} +d_{1}\,\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\,\mathbf {i} +c_{2}\,\mathbf {j} +d_{2}\,\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\,\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\,\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\,\mathbf {k} ,\end{aligned}}$$

и покомпонентное скалярное умножение

$$\lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\,\mathbf {i} +(\lambda c)\,\mathbf {j} +(\lambda d)\,\mathbf {k} .$$

Мультипликативная групповая структура, называемая произведением Гамильтона и обозначаемая сопоставлением, может быть определена на кватернионах следующим образом:

• Реальный кватернион 1 является единичным элементом .
• Реальные a кватернионы коммутируют со всеми другими кватернионами, то есть aq = qa для каждого кватерниона и каждого реального кватерниона q . В алгебраической терминологии это означает, что поле действительных кватернионов является центром этой алгебры кватернионов.
• Произведение сначала задается для базисных элементов (см. следующий подраздел), а затем распространяется на все кватернионы с использованием свойства дистрибутивности и свойства центра действительных кватернионов. Произведение Гамильтона не коммутативно , но ассоциативно , поэтому кватернионы образуют ассоциативную алгебру над действительными числами.
• Кроме того, каждый ненулевой кватернион имеет обратный по отношению к гамильтоновому произведению: $$(a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).$$

Таким образом, кватернионы образуют алгебру с делением.

Умножение базисных элементов

Таблица умножения

Некоммутативность подчеркнута цветными квадратами.

×	1	я	дж	к
1	1	я	дж	к
я	я	−1	к	− j
дж	дж	- к	−1	я
к	к	дж	- я	−1

Умножение на 1 базовых элементов i , j и k определяется тем фактом, что 1 является мультипликативным тождеством , то есть

$$\mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} \,.$$

Произведения других базисных элементов

$${\begin{aligned}\mathbf {i} ^{2}&=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1,\\[5mu]\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{aligned}}$$

Объединив эти правила,

$${\begin{aligned}\mathbf {i\,j\,k} &=-1.\end{aligned}}$$

Центр

Центром подкольцо является некоммутативного кольца элементов c такое, что cx = xc для каждого x . Центр алгебры кватернионов — это подполе вещественных кватернионов. Фактически, частью определения является принадлежность реальных кватернионов центру. Обратно, если q = a + b i + c j + d k принадлежит центру, то

$$0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {ij} +2d\,\mathbf {ik} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} \,,$$

и с знак равно d знак равно 0 . Аналогичное вычисление с j вместо i показывает, что также имеет место b = 0 . Таким образом, q = a — действительный кватернион.

Кватернионы образуют алгебру с делением. Это означает, что некоммутативность умножения — единственное свойство, отличающее кватернионы от поля. Эта некоммутативность имеет некоторые неожиданные последствия, в том числе то, что полиномиальное уравнение над кватернионами может иметь более различные решения, чем степень полинома. Например, уравнение z ² + 1 = 0 , имеет бесконечно много решений кватернионов, которыми являются кватернионы z = b i + c j + d k такие, что b ² + с ² + д ² = 1 . Таким образом, эти «корни из –1» образуют единичную сферу в трехмерном пространстве векторных кватернионов.

Продукт Гамильтона

Для двух элементов a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k и a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k их произведение называется гамильтоновым произведением ( a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k ) ( a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k ), определяется произведениями базисных элементов и распределительным законом . Распределительный закон позволяет разложить произведение так, чтобы оно представляло собой сумму произведений базисных элементов. Это дает следующее выражение:

$${\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}$$

Теперь базовые элементы можно умножить, используя приведенные выше правила, и получить:

$${\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}$$

Скалярные и векторные части

Кватернион вида a + 0 i + 0 j + 0 k , где a — действительное число, называется скалярным , а кватернион вида 0 + b i + c j + d k , где b , c , и d — действительные числа, и хотя бы одно из b , c или d не равно нулю, называется векторным кватернионом . Если a + b i + c j + d k — любой кватернион, то a называется его скалярной частью , а b i + c j + d k называется его векторной частью . Несмотря на то, что каждый кватернион можно рассматривать как вектор в четырехмерном векторном пространстве, векторную часть принято называть векторами в трехмерном пространстве. Согласно этому соглашению, вектор — это то же самое, что элемент векторного пространства. $\mathbb {R} ^{3}.$

Гамильтон также называл векторные кватернионы правыми кватернионами. и действительные числа (рассматриваемые как кватернионы с нулевой векторной частью) скалярные кватернионы .

Если кватернион разделен на скалярную часть и векторную часть, то есть

$$\mathbf {q} =(r,\ {\vec {v}}),~~\mathbf {q} \in \mathbb {H} ,~~r\in \mathbb {R} ,~~{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},$$

тогда формулы сложения, умножения и обратного мультипликативного преобразования будут иметь вид

$${\begin{aligned}(r_{1},\ {\vec {v}}_{1})+(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\ {\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})\,,\\[5mu](r_{1},\ {\vec {v}}_{1})(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\,,\\[5mu](r,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},{\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\,,\end{aligned}}$$

где " $\cdot$" и " $\times$«обозначают соответственно скалярное произведение и векторное произведение .

Конъюгация, норма и реципрокное

Сопряжение кватернионов аналогично сопряжению комплексных чисел и транспозиции (также известной как обращение) элементов алгебр Клиффорда. Чтобы определить это, пусть $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$ быть кватернионом. Сопряженным с q является кватернион $q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}$. Он обозначается q ^∗ , q ^т , ${\tilde {q}}$или q . Сопряжение — это инволюция , то есть оно является обратным самому себе , поэтому сопряжение элемента дважды возвращает исходный элемент. Сопряженное произведение двух кватернионов — это произведение сопряженных в обратном порядке . То есть, если p и q — кватернионы, то ( pq ) ^∗ = q ^∗ п ^∗ , а не п ^∗ д ^∗ .

Сопряжение кватерниона, в отличие от сложной ситуации, может быть выражено умножением и сложением кватернионов:

$$q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+\,\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\,\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\,\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).$$

Сопряжение можно использовать для извлечения скалярной и векторной частей кватерниона. Скалярная часть p равна ⁠ 1 / 2 ⁠ ( р + р ^∗ ) , а векторная часть p равна ⁠ 1 / 2 ⁠ ( п - п ^∗ ) .

Квадратный корень произведения кватерниона на сопряженный ему называется его , это противоречит из но современному значению слова нормой и обозначается ‖q‖ (Гамильтон называл эту величину тензором q « тензор »). В формулах это выражается следующим образом:

$$\lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}$$

Это всегда неотрицательное действительное число, и оно совпадает с евклидовой нормой для $\mathbb {H}$ рассматривается как векторное пространство $\mathbb {R} ^{4}$. Умножение кватерниона на действительное число масштабирует его норму на абсолютное значение числа. То есть, если α действительно, то

$$\lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert ~.$$

Это частный случай того факта, что норма мультипликативна , то есть

$$\lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert$$

для любых двух кватернионов p и q . Мультипликативность является следствием формулы сопряжения произведения.Альтернативно это следует из тождества

$$\det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},$$

(где i обозначает обычную мнимую единицу ) и, следовательно, из мультипликативного свойства определителей квадратных матриц.

Эта норма позволяет определить расстояние d ( p , q ) между p и q как норму их разности:

$$d(p,q)=\lVert p-q\rVert ~.$$

Это делает $\mathbb {H}$ метрическое пространство .Сложение и умножение непрерывны относительно соответствующей метрической топологии .Это следует из точно такого же доказательства, как и для действительных чисел. $\mathbb {R}$ от того, что $\mathbb {H}$ является нормированной алгеброй.

Единичный кватернион

Основная статья: Версор

Единичный кватернион — это кватернион первой нормы. Деление ненулевого кватерниона q на его норму дает единичный кватернион U q называемый версором q , :

$$\mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.$$

Каждый ненулевой кватернион имеет уникальное полярное разложение. $q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q$, а нулевой кватернион может быть образован из любого единичного кватерниона.

Использование сопряжения и нормы позволяет определить обратную величину ненулевого кватерниона. Произведение кватерниона на обратную величину должно равняться 1, а из приведенных выше соображений следует, что произведение $q$ и $q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}$ равно 1 (для любого порядка умножения). Таким образом, обратная величина q определяется как

$$q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.$$

Поскольку умножение некоммутативно, фактор-величины p q ⁻¹ или q ⁻¹ p различны (за исключением случаев, когда p и q являются скалярными кратными друг другу или если один из них является скаляром): обозначение ⁠ p / q ⁠ неоднозначен и не должен использоваться.

Алгебраические свойства

Граф Q8 ​ _. Кэли Красные стрелки представляют собой умножение справа на i , а зеленые стрелки представляют умножение справа на j .

Набор $\mathbb {H}$ всех кватернионов представляет собой векторное пространство над действительными числами размерности 4. Умножение кватернионов ассоциативно и распределяется по сложению векторов, но, за исключением скалярного подмножества, не является коммутативным. Следовательно, кватернионы $\mathbb {H}$ являются некоммутативной ассоциативной алгеброй над действительными числами. Несмотря на то $\mathbb {H}$ содержит копии комплексных чисел, это не ассоциативная алгебра комплексных чисел.

Поскольку кватернионы можно разделить, они образуют алгебру с делением. Это структура, похожая на поле, за исключением некоммутативности умножения. Конечномерные ассоциативные алгебры с делением над действительными числами встречаются очень редко. Теорема Фробениуса утверждает, что их ровно три: $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, и $\mathbb {H}$. Норма превращает кватернионы в нормированную алгебру , а нормированные алгебры с делением над действительными числами также очень редки: теорема Гурвица гласит, что их только четыре: $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$, и $\mathbb {O}$ (октонионы). Кватернионы также являются примером композиционной алгебры с единицей и банаховой алгебры .

Трехмерный график Q ₈ . Красные, зеленые и синие стрелки обозначают умножение на i , j и k соответственно. Умножение на отрицательные числа опущено для ясности.

Поскольку произведение любых двух базисных векторов равно плюс или минус другому базисному вектору, набор {±1, ± i , ± j , ± k } образует группу при умножении. Эта неабелева группа называется группой кватернионов и обозначается Q ₈ . Вещественное групповое кольцо Q8 — _это кольцо $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]$ которое также является восьмимерным векторным пространством над $\mathbb {R} .$ Он имеет один базисный вектор для каждого элемента $\mathrm {Q} _{8}.$ Кватернионы изоморфны кольцу фактор - $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]$ идеалом, порожденным элементами 1 + (−1) , i + (- i ) , j + (- j ) и k + (- k ) . Здесь первый член в каждом из разностей — это один из базисных элементов 1, i , j и k , а второй член — один из базисных элементов −1, — i , — j и — k , а не аддитивные обратные элементы. из 1, i , j и k .

Кватернионы и трехмерная геометрия

Векторную часть кватерниона можно интерпретировать как вектор координат в $\mathbb {R} ^{3};$ следовательно, алгебраические операции над кватернионами отражают геометрию $\mathbb {R} ^{3}.$ Такие операции, как векторное скалярное произведение и векторное произведение, можно определить в терминах кватернионов, и это позволяет применять методы кватернионов везде, где возникают пространственные векторы. Полезным применением кватернионов была интерполяция ориентации ключевых кадров в компьютерной графике.

В оставшейся части этого раздела i , j и k будут обозначать как три воображаемых базисные векторы $\mathbb {H}$ и основу для $\mathbb {R} ^{3}.$ Замена i на − i , j на − j и k на − k переводит вектор в его аддитивный инверсный вектор , поэтому аддитивный инверсный вектор совпадает с его сопряженным кватернионом. По этой причине сопряжение иногда называют пространственной инверсией .

Для двух векторных кватернионов p = b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k и q = b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k их скалярное произведение , по аналогии с векторами в $\mathbb {R} ^{3},$ является

$$p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}~.$$

Это также можно выразить без компонентов как

$$p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).$$

Это равно скалярным частям произведений pq ^∗ , qp ^∗ , п ^∗ q и q ^∗ п . Обратите внимание, что их векторные части различны.

Перекрестное произведение p , и q относительно ориентации, определяемой упорядоченным базисом i , j и k равно

$$p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} \,.$$

(Напомним, что ориентация необходима для определения знака.) Это равно векторной части произведения pq (в виде кватернионов), а также векторной части − q ^∗ п ^∗ . Также имеется формула

$$p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).$$

Для коммутатора pq [ p , q ] = − qp двух векторных кватернионов получаем

$$[p,q]=2p\times q.$$

В общем, пусть p и q — кватернионы, и пишут

$${\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}$$

где ps _pv и qs _а скалярные части, и _q qv — _{векторные} части p и — . Тогда у нас есть формула

$$pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).$$

Это показывает, что некоммутативность умножения кватернионов возникает из-за умножения векторных кватернионов. Это также показывает, что два кватерниона коммутируют тогда и только тогда, когда их векторные части коллинеарны. Гамильтон показал, что этот продукт вычисляет третью вершину сферического треугольника по двум заданным вершинам и связанным с ними длинам дуг, что также является алгеброй точек в эллиптической геометрии .

Единичные кватернионы можно идентифицировать с помощью вращений в $\mathbb {R} ^{3}$ и были названы версорами . Гамильтоном Также см. Кватернионы и пространственное вращение для получения дополнительной информации о моделировании трехмерных вращений с использованием кватернионов.

См. Хэнсон (2005) для визуализации кватернионов.

Матричные представления

так же, как комплексные числа Кватернионы могут быть представлены в виде матриц . Существует по крайней мере два способа представления кватернионов в виде матриц таким образом, что сложение и умножение кватернионов соответствуют сложению и умножению матриц . Один из них — использовать комплексные матрицы 2 × 2, а другой — действительные матрицы 4 × 4. В каждом случае данное представление является одним из семейства линейно связанных представлений. Это инъективные гомоморфизмы из $\mathbb {H}$ кольцам матриц M(2, C ) и M(4, R ) соответственно.

Кватернион a + b i + c j + d k можно представить с помощью комплексной матрицы 2 × 2 как

$\left[{\begin{array}{rr}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{array}}\right].$

Это представление имеет следующие свойства:

• Ограничение любых двух из b , c и d нулевым значением дает представление комплексных чисел. Например, установка c = d = 0 создает диагональное комплексное матричное представление комплексных чисел, а установка b = d = 0 создает вещественное матричное представление.
• Норма кватерниона (квадратный корень из произведения на сопряженное ему число, как и в случае с комплексными числами) — это квадратный корень из определителя соответствующей матрицы.
• Скалярная часть кватерниона — это половина матричного следа .
• Сопряжение кватерниона соответствует сопряженному транспонированию матрицы.
• Путем ограничения это представление дает изоморфизм между подгруппой единичных кватернионов и их образом SU(2) . Топологически единичные кватернионы представляют собой 3-сферу, поэтому основное пространство SU (2) также является 3-сферой. Группа SU(2) важна для описания спина в квантовой механике; см. матрицы Паули .
• Существует сильная связь между единицами кватернионов и матрицами Паули. Приведенную выше комплексную матрицу 2 × 2 можно записать как $aI+bi\sigma _{3}+ci\sigma _{2}+di\sigma _{1}$, поэтому в этом представлении единицы кватернионов {±1, ± i , ± j , ± k } соответствуют {± I , $\pm i\sigma _{3}$, $\pm i\sigma _{2}$, $\pm i\sigma _{1}$} = {± I , $\pm \sigma _{1}\sigma _{2}$, $\pm \sigma _{3}\sigma _{1}$, $\pm \sigma _{2}\sigma _{3}$} , поэтому умножение любых двух матриц Паули всегда дает единичную матрицу кватернионов, все они, кроме −1. Получаем −1 через i ² = j ² = к ² = ijk = −1 ; например, последнее равенство $$\mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1.$$
• Представление в M(2, C ) неединственно. Другое соглашение, сохраняющее направление циклического упорядочения между кватернионами и матрицами Паули, состоит в выборе

$$1\mapsto \mathbf {I} \,,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\sigma _{1}=-\sigma _{2}\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto -i\sigma _{2}=-\sigma _{3}\sigma _{1}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto -i\sigma _{3}=-\sigma _{1}\sigma _{2}\,,$$

Это дает альтернативное представление,

а + б я + с j + d k   $\mapsto \left[{\begin{array}{rr}a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{array}}\right].$

Используя вещественные матрицы 4 × 4, тот же кватернион можно записать как

$${\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}$$

Однако представление кватернионов в M(4, R ) не является единственным. Например, тот же кватернион можно представить как

$${\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}$$

Существует 48 различных матричных представлений этой формы, в которых одна из матриц представляет скалярную часть, а все три другие кососимметричны. Точнее, существует 48 наборов четверок матриц с этими ограничениями симметрии, так что функция, передающая 1, i , j и k матрицам в четверке, является гомоморфизмом, то есть она переводит суммы и произведения кватернионов в суммы и произведения матриц. В этом представлении сопряжение кватерниона соответствует транспонированию матрицы. Четвертая степень нормы кватерниона является определителем соответствующей матрицы. Скалярная часть кватерниона составляет четверть следа матрицы. Как и в случае с комплексным представлением 2 × 2, приведенным выше, комплексные числа снова можно получить, соответствующим образом ограничив коэффициенты; например, как блочные диагональные матрицы с двумя блоками 2 × 2, установив c = d = 0 .

Каждое матричное представление кватернионов 4×4 соответствует таблице умножения единичных кватернионов. Например, последнее приведенное выше матричное представление соответствует таблице умножения.

×	а	д	− б	− с
а	а	д	-б	-с
-d	-d	а	с	-б
б	б	− с	а	- д
с	с	б	д	а

который изоморфен — через $\{a\mapsto 1,b\mapsto i,c\mapsto j,d\mapsto k\}$ - к

×	1	к	- я	− j
1	1	к	- я	− j
- к	- к	1	дж	- я
я	я	− j	1	- к
дж	дж	я	к	1

Ограничивая любую такую ​​таблицу умножения таким образом, чтобы она имела идентичность в первой строке и столбце и чтобы знаки заголовков строк были противоположны знакам заголовков столбцов, тогда есть 3 возможных варианта для второго столбца (игнорируя знак), 2 возможных варианта варианты выбора для третьего столбца (знак игнорирования) и 1 возможный вариант выбора для четвертого столбца (знак игнорирования); это дает 6 возможностей. Затем второй столбец можно выбрать как положительный или отрицательный, третий столбец можно выбрать как положительный или отрицательный, а четвертый столбец можно выбрать как положительный или отрицательный, что дает 8 возможностей для знака. Умножение возможностей положения букв и их знаков дает 48. Затем замена 1 на a , i на b , j на c и k на d и удаление заголовков строк и столбцов дает матричное представление a + b i + c. j + d k .

Теорема Лагранжа о четырех квадратах

Основная статья: Теорема Лагранжа о четырех квадратах

Кватернионы также используются в одном из доказательств теоремы Лагранжа о четырёх квадратах в теории чисел , которая утверждает, что каждое неотрицательное целое число является суммой четырёх целых квадратов. Теорема Лагранжа о четырех квадратах не только сама по себе является элегантной теоремой, но и имеет полезные приложения в областях математики за пределами теории чисел, таких как комбинаторная теория замысла. Доказательство на основе кватернионов использует кватернионы Гурвица — подкольцо кольца всех кватернионов, для которого существует аналог алгоритма Евклида .

Кватернионы как пары комплексных чисел

Основная статья: конструкция Кэли-Диксона

Кватернионы можно представить как пары комплексных чисел. С этой точки зрения кватернионы являются результатом применения конструкции Кэли-Диксона к комплексным числам. Это обобщение конструкции комплексных чисел как пар действительных чисел.

Позволять $\mathbb {C} ^{2}$ быть двумерным векторным пространством над комплексными числами. Выберите базис, состоящий из двух элементов 1 и j . Вектор в $\mathbb {C} ^{2}$ можно записать через базисные элементы 1 и j как

$$(a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} \,.$$

Если мы определим j ² = −1 и i j = − j i , то мы можем умножить два вектора, используя закон распределения. Использование k в качестве сокращенного обозначения произведения i j приводит к тем же правилам умножения, что и обычные кватернионы. Следовательно, указанный выше вектор комплексных чисел соответствует кватерниону a + bi + c j + d k . Если мы напишем элементы $\mathbb {C} ^{2}$ как упорядоченные пары, а кватернионы как четверки, то соответствие будет

$$(a+bi,\ c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d).$$

Квадратные корни

Квадратные корни из −1

В комплексных числах $\mathbb {C} ,$ есть ровно два числа, i и − i , которые в квадрате дают −1. В $\mathbb {H}$ существует бесконечно много квадратных корней из минус единицы: кватернионное решение для квадратного корня из −1 представляет собой единичную сферу в $\mathbb {R} ^{3}.$ Чтобы убедиться в этом, пусть q = a + b i + c j + d k — кватернион и предположим, что его квадрат равен −1. С точки зрения a , b , c и d это означает

$${\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}$$

Чтобы удовлетворить последним трем уравнениям, либо a = 0, либо все b , c и d равны 0. Последнее невозможно, поскольку a — действительное число, а первое уравнение подразумевало бы, что a ² = −1 . Следовательно, a = 0 и b ² + с ² + д ² = 1 . Другими словами: кватернион имеет квадратуру −1 тогда и только тогда, когда он является векторным кватернионом с нормой 1. По определению набор всех таких векторов образует единичную сферу.

Только отрицательные вещественные кватернионы имеют бесконечно много квадратных корней. У всех остальных их всего два (или один в случае 0).

Как объединение сложных плоскостей

Каждая антиподальная пара квадратных корней из −1 создает отдельную копию комплексных чисел внутри кватернионов. Если д ² = −1 , то копия является образом функции

$$a+bi\mapsto a+bq\,.$$

Это инъективный гомоморфизм колец из $\mathbb {C}$ к $\mathbb {H} ,$ полей который определяет изоморфизм из $\mathbb {C}$ на его изображение . Образы вложений, соответствующие q и − q, идентичны.

Каждый невещественный кватернион порождает подалгебру кватернионов, изоморфную $\mathbb {C} ,$ и, таким образом, является плоским подпространством $\mathbb {H} \colon$ запишите q как сумму его скалярной части и векторной части:

$$q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.$$

Разложим векторную часть как произведение ее нормы и ее версора :

$$q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}=q_{s}+\|{\vec {q}}_{v}\|\,{\frac {{\vec {q}}_{v}}{\|{\vec {q}}_{v}\|}}.$$

(Это не то же самое, что $q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q$.) Версор векторной части q , $\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}$, является правильным версором с –1 в качестве квадрата. Непосредственная проверка показывает, что $$a+bi\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}$$определяет инъективный гомоморфизм нормированных алгебр из $\mathbb {C}$ в кватернионы. При этом гомоморфизме q является образом комплексного числа $q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i$.

Как $\mathbb {H}$ является объединением образов всех этих гомоморфизмов, кватернионы можно рассматривать как пучок плоскостей, пересекающихся на вещественной прямой . Каждая из этих комплексных плоскостей содержит ровно одну пару противоположных точек сферы квадратных корней из минус единицы.

Коммутативные подкольца

Отношения кватернионов друг к другу внутри сложных подплоскостей $\mathbb {H}$ также может быть идентифицировано и выражено через коммутативные подкольца . В частности, поскольку два кватерниона p и q коммутируют (т. е. pq = qp ), только если они лежат в одной и той же комплексной подплоскости $\mathbb {H}$, профиль $\mathbb {H}$ как объединение комплексных плоскостей возникает, когда стремятся найти все коммутативные подкольца кольца кватернионов .

Квадратные корни произвольных кватернионов

Любой кватернион $\mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})$ (представленный здесь в скалярно-векторном представлении) имеет хотя бы один квадратный корень ${\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})$ которое решает уравнение ${\sqrt {\mathbf {q} }}^{2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q}$. Рассмотрение скалярной и векторной частей в этом уравнении по отдельности дает два уравнения, которые при решении дают решения

$${\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}}\,)}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\|\mathbf {q} \|+r}{2}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {\frac {\|\mathbf {q} \|-r}{2}}}\right),$$

где ${\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {-{\vec {v}}^{2}}}}$ это норма ${\vec {v}}$ и ${\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}=r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}$ это норма $\mathbf {q}$. Для любого скалярного кватерниона $\mathbf {q}$, это уравнение дает правильные квадратные корни, если ${\textstyle {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}}$ интерпретируется как произвольный единичный вектор.

Следовательно, ненулевые, нескалярные кватернионы или положительные скалярные кватернионы имеют ровно два корня, в то время как 0 имеет ровно один корень (0), а отрицательные скалярные кватернионы имеют бесконечно много корней, которые представляют собой векторные кватернионы, расположенные на $\{0\}\times S^{2}({\sqrt {-r}})$, т. е. где скалярная часть равна нулю, а векторная часть расположена на 2-сфере радиусом ${\sqrt {-r}}$.

Функции переменной кватерниона

Основная статья: Кватернионный анализ

Наборы Джулии и наборы Мандельброта можно расширить до кватернионов, но для визуальной визуализации в трех измерениях они должны использовать поперечные сечения. Этот набор Джулии имеет поперечное сечение в плоскости xy .

Подобно функциям комплексной переменной , функции кватернионной переменной предлагают полезные физические модели. Например, первоначальные электрические и магнитные поля, описанные Максвеллом, были функциями кватернионной переменной. Примеры других функций включают расширение множества Мандельброта и множеств Жюлиа в 4-мерное пространство.

Экспоненциальные, логарифмические и степенные функции

Учитывая кватернион,

$$q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,$$

экспонента вычисляется как

$$\exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right),$$

и логарифм

$$\ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.$$

Отсюда следует, что полярное разложение кватерниона можно записать

$$q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),$$

где угол $\varphi$

$$a=\|q\|\cos(\varphi )$$

и единичный вектор ${\hat {n}}$ определяется:

$$\mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi )\,.$$

Любой единичный кватернион может быть выражен в полярной форме как:

$$q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.$$

Степень x кватерниона, возведенная в произвольную (действительную) степень , определяется выражением:

$$q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right)~.$$

Геодезическая норма

Геодезическое расстояние d _g ( p , q ) между единичными кватернионами p и q определяется как:

$$d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .$$

образованного p и q вдоль большой дуги S. и составляет абсолютное значение половины угла , ³ сфера.Этот угол также можно вычислить из скалярного произведения кватернионов без логарифма как:

$$\arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).$$

Трехмерные и четырехмерные группы вращения

Основные статьи: Кватернионы и пространственное вращение и оператор вращения (векторное пространство)

Слово « сопряжение », кроме значения, данного выше, может означать также приведение элемента a к r a r ⁻¹ где r — некоторый ненулевой кватернион. Все элементы, сопряженные с данным элементом (в этом смысле слова сопряженные), имеют одну и ту же действительную часть и одну и ту же норму векторной части. (Таким образом, сопряженное в другом смысле является одним из сопряженных в этом смысле.)

Таким образом, мультипликативная группа ненулевых кватернионов действует путем сопряжения на копии $\mathbb {R} ^{3}$ состоящий из кватернионов с действительной частью, равной нулю. Сопряжение единичным кватернионом (кватернионом по модулю 1) с действительной частью cos( φ ) представляет собой поворот на угол 2 φ , причем осью вращения является направление векторной части. Преимущества кватернионов:

• Избегание блокировки подвеса , проблемы с такими системами, как углы Эйлера.
• Быстрее и компактнее матриц.
• Несингулярное представление (по сравнению, например, с углами Эйлера).
• Пары единичных кватернионов представляют вращение в 4D- пространстве (см. Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве: Алгебра 4D-вращений ).

Набор всех единичных кватернионов ( версоров ) образует 3-сферу S ³ и группа ( группа Ли ) при умножении, дважды накрывающая группу ${\text{SO}}(3,\mathbb {R} )$ вещественных ортогональных матриц 3×3 определителя два 1, поскольку единичных кватерниона соответствуют каждому повороту в соответствии с приведенным выше соответствием. Смотрите трюк с тарелкой .

Дополнительная информация: Группы точек в трех измерениях.

Образ подгруппы версоров является точечной группой и, наоборот, прообразом точечной группы является подгруппа версоров. Прообраз конечной точечной группы называется тем же именем с префиксом двоичный . Например, прообразом группы икосаэдра является бинарная группа икосаэдра .

Группа версоров изоморфна SU(2) , группе комплексных унитарных матриц размера 2×2 с определителем 1.

Пусть A — набор кватернионов вида a + b i + c j + d k, где a, b, c и d — либо все целые числа , либо все полуцелые числа . Множество A представляет собой кольцо (фактически область ) и решетку и называется кольцом кватернионов Гурвица. В этом кольце 24 единичных кватерниона, и они являются вершинами правильной 24-клетки с символом Шлефли {3,4,3}. Они соответствуют двойному покрытию вращательной группы симметрии правильного тетраэдра . Аналогично, вершины правильной ячейки 600 с символом Шлефли {3,3,5 } можно взять за единичные икосианы , соответствующие двойному покрытию группы вращательной симметрии правильного икосаэдра . Двойное покрытие группы вращательной симметрии правильного октаэдра соответствует кватернионам, представляющим вершины дисфеноидальной 288-ячейки .

Кватернионные алгебры

Основная статья: Алгебра кватернионов

Кватернионы могут быть обобщены на дополнительные алгебры, называемые алгебрами кватернионов . Возьмем F любое поле с характеристикой, отличной от 2, а a и b — элементами F ; четырехмерная унитарная ассоциативная алгебра может быть определена над с базисом 1, i , j F и ij , где i ² = а , j ² = b и ij = − ji (так что (ij) ² = − аб ).

Алгебры кватернионов изоморфны алгебре матриц 2×2 над F или образуют алгебры с делением над F , в зависимости от выбора a и b .

Кватернионы как четная часть Cl _3,0 (R)

Основная статья: Спинор § Три измерения

Полезность кватернионов для геометрических вычислений можно распространить на другие измерения, определив кватернионы как четную часть. $\operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )$ алгебры Клиффорда $\operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).$ Это ассоциативная мультивекторная алгебра, построенная из фундаментальных базисных элементов σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ с использованием правил произведения.

$$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,$$$$\sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (j\neq i).$$

Если эти фундаментальные базисные элементы принять за представление векторов в трехмерном пространстве, то окажется, что отражение вектора r в плоскости, перпендикулярной единичному вектору w, можно записать:

$$r^{\prime }=-w\,r\,w.$$

Два отражения совершают поворот на угол, в два раза превышающий угол между двумя плоскостями отражения, поэтому

$$r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}$$

соответствует повороту на 180° в плоскости, содержащей σ ₁ и σ ₂ . Это очень похоже на соответствующую формулу кватернионов:

$$r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .$$

Действительно, две структуры $\operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )$ и $\mathbb {H}$ изоморфны ​ . Одной из естественных идентификаций является

$$1\mapsto 1\,,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}\,,$$

и несложно убедиться, что при этом сохраняются гамильтоновы соотношения

$$\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1~.$$

В этой картине так называемые «векторные кватернионы» (то есть чисто мнимые кватернионы) соответствуют не векторам, а бивекторам – величинам, величины и ориентации которых связаны с конкретными двумерными плоскостями, а не с одномерными направлениями . Отношение к комплексным числам также становится более ясным: в 2D с двумя векторными направлениями σ ₁ и σ ₂ существует только один бивекторный базисный элемент σ ₁ σ ₂ , то есть только один мнимый. Но в 3D с тремя векторными направлениями есть три базисных элемента бивекторов σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ , σ ₁ σ ₂ , то есть три мнимых.

Это рассуждение простирается дальше. В алгебре Клиффорда $\operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),$ существует шесть базисных элементов бивекторов, поскольку с четырьмя различными направлениями основных векторов можно определить шесть разных пар и, следовательно, шесть разных линейно независимых плоскостей. Вращения в таких пространствах с использованием этих обобщений кватернионов, называемых роторами , могут быть очень полезны для приложений, включающих однородные координаты . Но только в 3D количество базисных бивекторов равно количеству базисных векторов, и каждый бивектор можно идентифицировать как псевдовектор .

Есть несколько преимуществ размещения кватернионов в этом более широком контексте:

• Роторы являются естественной частью геометрической алгебры и легко понимаются как кодирование двойного отражения.
• В геометрической алгебре ротор и объекты, на которые он действует, живут в одном пространстве. Это устраняет необходимость изменять представления и кодировать новые структуры данных и методы, что традиционно требуется при дополнении линейной алгебры кватернионами.
• Роторы универсально применимы к любому элементу алгебры, не только к векторам и другим кватернионам, но также к линиям, плоскостям, кругам, сферам, лучам и так далее.
• В конформной модели евклидовой геометрии роторы позволяют кодировать вращение, перемещение и масштабирование в одном элементе алгебры, универсально действуя на любой элемент. В частности, это означает, что роторы могут представлять вращение вокруг произвольной оси, тогда как кватернионы ограничены осью, проходящей через начало координат.
• Преобразования, закодированные ротором, делают интерполяцию особенно простой.
• Роторы естественным образом переходят в псевдоевклидовы пространства , например, в пространство Минковского специальной теории относительности . В таких пространствах роторы могут использоваться для эффективного представления повышения Лоренца и для интерпретации формул, включающих гамма-матрицы .

Для получения дополнительной информации о геометрическом использовании алгебр Клиффорда см. Геометрическую алгебру .

Группа Брауэра

Дополнительная информация: группа Брауэра.

Кватернионы «по сути» являются единственной (нетривиальной) центральной простой алгеброй (CSA) над действительными числами в том смысле, что каждая CSA над действительными числами Брауэровски эквивалентна либо действительным числам, либо кватернионам. Явно группа Брауэра действительных чисел состоит из двух классов, представленных действительными числами и кватернионами, где группа Брауэра представляет собой набор всех CSA, с точностью до отношения эквивалентности одного CSA, являющегося кольцом матриц над другим. Согласно теореме Артина-Веддерберна (в частности, части Веддерберна), все CSA являются матричными алгебрами над алгеброй с делением, и, таким образом, кватернионы являются единственной нетривиальной алгеброй с делением над действительными числами.

CSA — конечномерные кольца над полем, являющиеся простыми алгебрами (не имеющими нетривиальных двусторонних идеалов, как и поля), центром которых является именно поле, — являются некоммутативным аналогом расширенных полей и являются более ограничительными, чем общие удлинители колец. Тот факт, что кватернионы являются единственным нетривиальным CSA над действительными числами (с точностью до эквивалентности), можно сравнить с тем фактом, что комплексные числа являются единственным нетривиальным конечным расширением действительных чисел.

Котировки

Я рассматриваю это как неизящность или несовершенство кватернионов или, скорее, того состояния, в котором они были до сих пор развернуты, всякий раз, когда становится или кажется необходимым прибегнуть к помощи x, y, z и т. д.

- Уильям Роуэн Гамильтон (около 1848 г.)

Говорят, что время имеет только одно измерение, а пространство — три измерения. ... Математический кватернион включает в себя оба этих элемента; на техническом языке его можно назвать «время плюс пространство» или «пространство плюс время»: и в этом смысле оно имеет или, по крайней мере, предполагает ссылку на четыре измерения. ... И как Единый Времени, Пространственный Трой, Мог бы быть опоясанным Цепью Символов .

- Уильям Роуэн Гамильтон (около 1853 г.)

Кватернионы пришли от Гамильтона после того, как была проделана его действительно хорошая работа; и, хотя они были удивительно изобретательны, они были настоящим злом для тех, кто каким-либо образом их касался, включая клерка Максвелла .

- У. Томпсон, лорд Кельвин (1892)

Действительно, было время, когда я, хотя и признавал целесообразность векторного анализа в теории электромагнетизма (и в математической физике вообще), все же думал, что его труднее понимать и работать, чем картезианский анализ. Но это было до того, как я сбросил с себя кватернионного старика-морехода, который вцепился мне в плечи, когда я читал единственный доступный трактат на эту тему – «Кватернионы» профессора Тейта. Но позже я понял, что для векторного анализа, который мне требовался, кватернион не только не требовался, но был положительным злом немалой величины; и что из-за его отказа создание векторного анализа стало довольно простым, а его работа также упростилась, и что его можно было удобно гармонизировать с обычной картезианской работой. Ни в одной из моих статей (за исключением одной, предназначенной для специальных целей) нет и тени кватерниона. Векторный анализ, который я использую, можно описать либо как удобное и систематическое сокращение декартова анализа; или иначе, как кватернионы без кватернионов... «Кватернион», я думаю, была определена американской школьницей как «древняя религиозная церемония». Однако это было полной ошибкой. Древние – в отличие от профессора Тейта – не знали и не поклонялись кватернионам.

- Оливер Хевисайд (1893)

Ни матрицы, ни кватернионы, ни обычные векторы не были изгнаны из этих десяти [дополнительных] глав. Ибо, несмотря на неоспоримую мощь современного тензорного исчисления, эти старые математические языки, по моему мнению, продолжают предлагать заметные преимущества в ограниченной области специальной теории относительности. Более того, в науке, как и в повседневной жизни, владение более чем одним языком также ценно, поскольку оно расширяет наши взгляды, способствует критике и предохраняет от ипостаси [слабообоснованности] выражаемого предмета. словами или математическими символами.

- Людвик Зильберштейн (1924)

... кватернионы, кажется, источают атмосферу распада девятнадцатого века как довольно неудачный вид в борьбе за жизнь математических идей. Математики, по общему признанию, все еще хранят в своих сердцах теплые чувства к замечательным алгебраическим свойствам кватернионов, но, увы, такой энтузиазм мало что значит для более твердолобых ученых-физиков.

- Саймон Л. Альтманн (1986)

См. также

• Преобразование между кватернионами и углами Эйлера - Математическая стратегия
• Двойной кватернион - Восьмимерная алгебра над действительными числами
• Двойное комплексное число – четырехмерная алгебра над действительными числами. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Внешняя алгебра - Алгебра внешних / клиновых произведений.
• Порядок кватернионов Гурвица - Понятие в математике
• Гиперболический кватернион - мутация кватернионов, при которой единичные векторы имеют квадрат +1.
• Сфера Ленарта - прозрачная сфера, которую можно стереть сухим стиранием, используемая для обучения сферической геометрии.
• Матрицы Паули - Матрицы, важные в квантовой механике и изучении спина.
• Кватернионное многообразие - Понятие в геометрии
• Кватернионная матрица - понятие в линейной алгебре
• Кватернионный многогранник - Понятие в геометрии
• Кватернионное проективное пространство - Понятие в математике
• Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве - Специальная ортогональная группа
• Слерп - Сферическая линейная интерполяция в компьютерной графике.
• Сплит-кватернион - Четырехмерная ассоциативная алгебра над действительными числами.
• Тессеракт – четырехмерный аналог куба.

Дальнейшее чтение

Книги и публикации

• Гамильтон, Уильям Роуэн (1844). «О кватернионах, или о новой системе мнимых в алгебре» . Философский журнал . 25 (3): 489–495. дои : 10.1080/147864444408645047 .
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), « Лекции по кватернионам ». Королевская ирландская академия.
• Гамильтон (1866) Элементы кватернионов Дублинского университета . Под редакцией Уильяма Эдвина Гамильтона, сына покойного автора.
• Гамильтон (1899) Элементы кватернионов, том I, (1901), том II. Под редакцией Чарльза Джаспера Джоли ; опубликовано Longmans, Green & Co.
• Тейт, Питер Гатри (1873), « Элементарный трактат о кватернионах ». 2-е изд., Кембридж, [англ.]: The University Press.
• Максвелл, Джеймс Клерк (1873), « Трактат об электричестве и магнетизме ». Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Тейт, Питер Гатри (1886), " «Архивная копия» . Архивировано из оригинала 8 августа 2014 года . Проверено 26 июня 2005 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка ) CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка ) ". MA Sec. RSE Encyclopædia Britannica , девятое издание, 1886, том XX, стр. 160–164. (архивный PostScript ) файл
• Жоли, Чарльз Джаспер (1905). Руководство по кватернионам . Макмиллан. LCCN   05036137 .
• Макфарлейн, Александр (1906). Векторный анализ и кватернионы (4-е изд.). Уайли. LCCN   16000048 .
• Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Алгебра» . Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ( См. раздел о кватернионах. )
• Финкельштейн, Дэвид; Яух, Йозеф М.; Шиминович, Самуэль; Спейзер, Дэвид (1962). «Основы кватернионной квантовой механики» . Дж. Математика. Физ . 3 (2): 207–220. Бибкод : 1962JMP.....3..207F . дои : 10.1063/1.1703794 . S2CID   121453456 .
• Дю Валь, Патрик (1964). Гомографии, кватернионы и вращения . Оксфордские математические монографии. Кларендон Пресс. LCCN   64056979 .
• Майкл Дж. Кроу (1967), История векторного анализа : эволюция идеи векторной системы , University of Notre Dame Press. Рассматриваются основные и второстепенные векторные системы XIX века (Гамильтон, Мёбиус, Беллавитис, Клиффорд, Грассман, Тейт, Пирс, Максвелл, Макфарлейн, Маколи, Гиббс, Хевисайд).
• Альтманн, Саймон Л. (1989). «Гамильтон, Родригес и скандал с кватернионами». Журнал «Математика» . 62 (5): 291–308. дои : 10.1080/0025570X.1989.11977459 .
• Пухоль, Хосе (2014). «О почти забытой ранней работе Гамильтона о связи между вращениями и кватернионами и о составе вращений». Американский математический ежемесячник . 121 (6): 515–522. doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.06.515 . S2CID   1543951 .
• Адлер, Стивен Л. (1995). Кватернионная квантовая механика и квантовые поля . Международная серия монографий по физике. Том. 88. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-506643-Х . LCCN   94006306 .
• Уорд, JP (1997). Кватернионы и числа Кэли: алгебра и приложения . Клювер Академик. ISBN  0-7923-4513-4 .
• Кантор, Иллинойс; Солодников А.С. (1989). Гиперкомплексные числа, элементарное введение в алгебры . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-96980-2 .
• Гюрлебек, Клаус; Спрёссиг, Вольфганг (1997). Кватернионное и Клиффордовое исчисление для физиков и инженеров . Математические методы на практике. Том. 1. Уайли. ISBN  0-471-96200-7 . LCCN   98169958 .
• Койперс, Джек (2002). Кватернионы и последовательности вращения: учебник по применению в орбитах, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-10298-8 .
• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . АК Петерс. ISBN  1-56881-134-9 . ( обзор ).
• Джек, премьер-министр (2003). «Физическое пространство как кватернионная структура, I: Уравнения Максвелла. Краткое примечание». arXiv : math-ph/0307038 .
• Кравченко, Владислав (2003). Прикладной кватернионный анализ . Издательство Хелдерманн. ISBN  3-88538-228-8 .
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules . Vol. 1. Springer. ISBN  1-4020-2690-0 .
• Хэнсон, Эндрю Дж. (2006). Визуализация кватернионов . Эльзевир. ISBN  0-12-088400-3 .
• Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). «1. Тело кватернионов». Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4495-3 .
• Доран, Крис Дж.Л .; Ласенби, Энтони Н. (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-48022-2 .
• Винс, Джон А. (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики . Спрингер. ISBN  978-1-84628-996-5 .
• Для молекул, которые можно рассматривать как классические твердые тела, компьютерное моделирование молекулярной динамики использует кватернионы. Впервые они были введены с этой целью Эванс, диджей (1977). «О представлении ориентационного пространства». Мол. Физ . 34 (2): 317–325. Бибкод : 1977MolPh..34..317E . дои : 10.1080/002689777700101751 .
• Чжан, Фучжэнь (1997). «Кватернионы и матрицы кватернионов» . Линейная алгебра и ее приложения . 251 : 21–57. дои : 10.1016/0024-3795(95)00543-9 .
• Рон Голдман (2010). Переосмысление кватернионов: теория и вычисления . Морган и Клейпул. ISBN  978-1-60845-420-4 .
• Ивс, Ховард (1976), Введение в историю математики (4-е изд.), Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , ISBN  0-03-089539-1
• Войт, Джон (2021). Кватернионные алгебры . Тексты для аспирантов по математике. Том. 288. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-56694-4 . ISBN  978-3-030-57467-3 .

Ссылки и монографии

• «Уведомления о кватернионах» . Уведомления и материалы, относящиеся к презентациям конференции Quaternion
• «Кватернион» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Часто задаваемые вопросы» . Матрица и кватернион . 1.21.
• Свитзер, Дуг. «Занимаемся физикой с кватернионами» .
• Кватернионы для компьютерной графики и механики (Гернот Хоффман)
• Гспонер, Андре; Хурни, Жан-Пьер (2002). «Физическое наследие сэра В. Р. Гамильтона». arXiv : math-ph/0201058 .
• Уилкинс, Д.Р. «Исследования Гамильтона по кватернионам» .
• Гроссман, Дэвид Дж. «Фракталы Кватерниона Джулии» . 3D-кватернион Джулии с трассировкой лучей
• «Кватернионная математика и преобразования» . Отличная страница, объясняющая основы математики, со ссылками на простые формулы преобразования вращения.
• Мэтьюз, Джон Х. «Библиография кватернионов» . Архивировано из оригинала 2 сентября 2006 г.
• «Степень кватерниона» . GameDev.net.
• Хэнсон, Эндрю. «Визуализация домашней страницы кватернионов» . Архивировано из оригинала 5 ноября 2006 г.
• Карни, Чарльз Ф.Ф. (январь 2007 г.). «Кватернионы в молекулярном моделировании». Дж. Мол. График. Мод . 25 (5): 595–604. arXiv : физика/0506177 . дои : 10.1016/j.jmgm.2006.04.002 . ПМИД   16777449 ​​. S2CID   6690718 .
• Мебиус, Йохан Э. (2005). «Матричное доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений». arXiv : math/0501249 .
• Мебиус, Йохан Э. (2007). «Вывод формулы Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv : math/0701759 .
• «Гамильтон Уок» . Департамент математики NUI Мейнут .
• «Использование кватернионов для представления вращения» . OpenGL: Учебники . Архивировано из оригинала 15 декабря 2007 г.
• Дэвид Эриксон, Министерство оборонных исследований и разработок Канады (DRDC), Полный вывод матрицы вращения из унитарного представления кватернионов в документе DRDC TR 2005-228.
• Мартинес, Альберто. «Негативная математика: как можно изменить математические правила в положительную сторону» . Исторический факультет Техасского университета. Архивировано из оригинала 24 сентября 2011 г.
• Штальке, Д. «Кватернионы в классической механике» (PDF) .
• Морье-Жену, Софи; Овсиенко, Валентин (2008). «Ну, папа, а тройки умеешь?». arXiv : 0810.5562 [ math.AC ]. описывает, как кватернионы можно превратить в косокоммутативную алгебру, градуированную Z /2 × Z /2 × Z /2 .
• Джойс, Хелен (ноябрь 2004 г.). «Любопытные кватернионы» . ведущий Джон Баэз .
• Ибаньес, Луис. «Учебник по кватернионам. Часть I» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 февраля 2012 г. Проверено 5 декабря 2011 г. Часть II (PDF; используется терминология Гамильтона, которая отличается от современного использования)
• Гилони, Р.; Моретти, В.; Перотти, А. (2013). «Непрерывное функциональное исчисление срезов в кватернионных гильбертовых пространствах». Преподобный Матем. Физ . 25 (4): 1350006–126. arXiv : 1207.0666 . Бибкод : 2013RvMaP..2550006G . дои : 10.1142/S0129055X13500062 . S2CID   119651315 .
  Гилони, Р.; Моретти, В.; Перотти, А. (2017). «Спектральные представления нормальных операторов посредством переплетающихся кватернионных проекционных мер». Преподобный Матем. Физ . 29 : 1750034. arXiv : 1602.02661 . дои : 10.1142/S0129055X17500349 . S2CID   124709652 . две пояснительные статьи о непрерывном функциональном исчислении и спектральной теории в кватернионных гильбертовых пространствах, полезные в строгой кватернионной квантовой механике.
• Кватернионы Приложение для Android отображает кватернионы, соответствующие ориентации устройства.
• Статья о вращении объектов с использованием кватернионов, в которой рассказывается об использовании кватернионов для вращения в видеоиграх/компьютерной графике.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с кватернионами , на Викискладе?
• Полсон, Лоуренс К. Кватернионы (разработка формальных доказательств в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)
• Кватернионы — Визуализация