Блокировка подвеса

Самолет с заблокированным стабилизатором. Когда подвесы тангажа (зеленый) и рыскания (пурпурный) выравниваются, изменения крена (синий) и рыскания приводят к тому же вращению самолета.

Блокировка карданного подвеса – это потеря одной степени свободы в многомерном механизме при определенных положениях осей. В трехмерном механизме с тремя подвесами блокировка подвеса происходит, когда оси двух подвесов приводятся в параллельную конфигурацию, «запирая» систему во вращении в вырожденном двумерном пространстве.

Термин «стабильный подвес» может ввести в заблуждение в том смысле, что ни один из отдельных подвесов на самом деле не закреплен. Все три подвеса по-прежнему могут свободно вращаться вокруг своих осей подвески. Тем не менее, из-за параллельной ориентации двух осей подвесов невозможно обеспечить вращение вокруг одной оси, в результате чего подвешенный объект фактически заблокирован (т. е. не может вращаться) вокруг этой оси.

Проблему можно распространить на другие контексты, где система координат теряет определение одной из своих переменных при определенных значениях других переменных.

Подвесы

Подвес — это кольцо, подвешенное так, что оно может вращаться вокруг оси. Подвесы обычно вложены один в другой, чтобы обеспечить вращение вокруг нескольких осей.

Они появляются в гироскопах и инерциальных единицах измерения , чтобы ориентация внутреннего подвеса оставалась неизменной, в то время как подвеска внешнего подвеса принимает любую ориентацию. В компасах и механизмах накопления энергии маховика они позволяют объектам оставаться в вертикальном положении. Они используются для ориентации двигателей ракет. ^[1]

Некоторые системы координат в математике ведут себя так, как если бы они были настоящими подвесами, используемыми для измерения углов, особенно углов Эйлера .

В случае трех или менее вложенных подвесов в какой-то момент системы неизбежно происходит блокировка подвеса из-за свойств закрывающего пространства .

В инженерном деле

Хотя только две определенные ориентации обеспечивают точную фиксацию подвеса, практические механические подвесы сталкиваются с трудностями вблизи этих ориентаций. Когда набор подвесов близок к заблокированной конфигурации, небольшие повороты платформы подвеса требуют больших перемещений окружающих подвесов. Хотя это соотношение бесконечно только в точке фиксации подвеса, практические пределы скорости и ускорения подвесов обусловлены инерцией (вытекающей из массы каждого кольца подвеса), трением подшипников, сопротивлением потоку воздуха или другой жидкости, окружающей подвесы (если они не в вакууме) и другие физические и инженерные факторы — ограничивают движение платформы вблизи этой точки.

В двух измерениях

Блокировка подвеса может произойти в системах подвеса с двумя степенями свободы, таких как теодолит с вращением по азимуту (горизонтальный угол) и углу места (вертикальный угол). Эти двумерные системы могут фиксировать кардан в зените и надире , поскольку в этих точках азимут не определен четко, а вращение в направлении азимута не меняет направление, куда указывает теодолит.

Рассмотрим отслеживание вертолета, летящего к теодолиту с горизонта. Теодолит представляет собой телескоп, установленный на штативе так, чтобы он мог перемещаться по азимуту и углу места для отслеживания вертолета. Вертолет летит к теодолиту и отслеживается телескопом по углу места и азимуту. Вертолет летит непосредственно над штативом (т.е. находится в зените), когда он меняет направление и летит под углом 90 градусов к своему предыдущему курсу. Телескоп не может отслеживать этот маневр без прерывистого скачка в одном или обоих положениях подвеса. Не существует непрерывного движения, позволяющего ему следовать за целью. Он находится в фиксаторе подвеса. Таким образом, существует бесконечное количество направлений вокруг зенита, в которых телескоп не может непрерывно отслеживать все движения цели. ^[2] Обратите внимание, что даже если вертолет проходит не через зенит, а только около зенита, чтобы не произошло блокировки подвеса, система все равно должна двигаться исключительно быстро, чтобы отслеживать его, поскольку он быстро переходит от одного пеленга к другому. Чем ближе к зениту находится ближайшая точка, тем быстрее это надо делать, а если она действительно проходит через зенит, то предел этих «все более быстрых» движений становится бесконечно быстрым, а именно прерывистым.

Чтобы выйти из блокировки подвеса, пользователь должен обойти зенит, а именно: уменьшить угол места, изменить азимут, чтобы он соответствовал азимуту цели, затем изменить угол места, чтобы он соответствовал цели.

Математически это соответствует тому факту, что сферические координаты не определяют карту координат на сфере в зените и надире. Альтернативно, соответствующее отображение T ²→ S ² из тора Т ² в сферу S ² (заданная точкой с заданными азимутом и высотой) не является покрывающей картой в этих точках.

В трех измерениях

Рассмотрим случай платформы измерения уровня на самолете, летящем строго на север, с тремя осями подвеса, взаимно перпендикулярными (т. е. углы крена , тангажа и рыскания , каждая из которых равна нулю). Если дрон наклоняется на 90 градусов, подвес оси дрона и платформы становится параллельным подвесу оси крена, и изменения относительно рыскания больше нельзя компенсировать.

Решения

Эту проблему можно решить, используя четвертый подвес, активно приводимый в движение двигателем, чтобы поддерживать большой угол между осями подвеса крена и рыскания. Другое решение — повернуть один или несколько подвесов в произвольное положение при обнаружении блокировки подвеса и, таким образом, перезагрузить устройство.

Современная практика заключается в том, чтобы полностью избегать использования подвесов. В случае инерциальных навигационных систем это можно сделать путем установки инерционных датчиков непосредственно на корпус транспортного средства (это называется бесплатформенной системой). ^[3] и цифровую интеграцию измеренного вращения и ускорения с использованием методов кватернионов для определения ориентации и скорости транспортного средства. Другой способ замены подвесов — использование жидкостных подшипников или флотационной камеры. ^[4]

На Аполлоне-11

Известный инцидент с блокировкой подвеса произошел во время лунной миссии «Аполлон-11» . На этом космическом корабле использовался набор подвесов на инерциальном измерительном блоке (ИБИ). Инженеры знали о проблеме с блокировкой подвеса, но отказались использовать четвертый подвес. ^[5] Некоторые причины этого решения очевидны из следующей цитаты:

Преимущества резервного подвеса, кажется, перевешиваются простотой оборудования, преимуществами размеров и соответствующей подразумеваемой надежностью прямого блока с тремя степенями свободы.
- Дэвид Хоаг, журнал Apollo Lunar Surface Journal

Они предпочли альтернативное решение с использованием индикатора, который срабатывал бы при угле наклона около 85 градусов.

Рядом с этой точкой, в замкнутом контуре стабилизации, моментным двигателям теоретически можно дать команду мгновенно перевернуть подвес на 180 градусов. Вместо этого в LM компьютер выдал предупреждение о «блокировке подвеса» при 70 градусах и заморозил IMU при 85 градусах.
— Пол Фьелд, журнал Apollo Lunar Surface Journal

Вместо того, чтобы попытаться управлять подвесами быстрее, чем они могли, система просто сдалась и заморозила платформу. С этого момента космический корабль придется вручную перемещать из положения блокировки подвеса, а платформу придется вручную перенастраивать, используя звезды в качестве ориентира. ^[6]

После приземления лунного модуля Майк Коллинз на борту командного модуля пошутил: «Как насчет того, чтобы послать мне четвертый подвес на Рождество?»

Робототехника

В робототехнике блокировку подвеса обычно называют «переворотом запястья» из-за использования в роботизированных руках «запястья с тройным вращением» , где три оси запястья, управляющие рысканием, тангажем и креном, проходят через общая точка.

Примером переворота запястья, также называемого сингулярностью запястья, является ситуация, когда путь, по которому движется робот, приводит к совмещению первой и третьей осей запястья робота. Затем вторая ось запястья пытается повернуть на 180° за нулевое время, чтобы сохранить ориентацию концевого эффектора. Результат сингулярности может быть весьма драматичным и иметь неблагоприятные последствия для руки робота, рабочего органа и процесса.

Важность предотвращения особенностей в робототехнике привела к тому, что Американский национальный стандарт для промышленных роботов и робототехнических систем - Требования безопасности определил это как «состояние, вызванное коллинеарным выравниванием двух или более осей робота, приводящее к непредсказуемому движению и скорости робота». ^[7]

В прикладной математике

Проблема блокировки подвеса возникает, когда в прикладной математике используются углы Эйлера; разработчики компьютерных 3D-программ , таких как 3D-моделирование , встроенные навигационные системы и видеоигры , должны позаботиться о том, чтобы избежать этого.

На формальном языке блокировка кардана возникает потому, что отображение углов Эйлера на вращения (топологически, из 3-тора T ³ к реальному проективному пространству RP ³, которое совпадает с пространством вращений трехмерных твердых тел, формально называемым SO(3) ), не является локальным гомеоморфизмом в каждой точке, и, следовательно, в некоторых точках ранг (степени свободы) должен падать ниже 3, в этот момент происходит блокировка подвеса. Углы Эйлера позволяют дать численное описание любого вращения в трехмерном пространстве с использованием трех чисел, но это описание не только не уникально, но есть некоторые точки, в которых не каждое изменение в целевом пространстве (повороты) может быть реализовано. изменением исходного пространства (углов Эйлера). Это топологическое ограничение: не существует покрывающего отображения 3-тора в 3-мерное реальное проективное пространство; единственная (нетривиальная) покрывающая карта относится к 3-сфере, как и при использовании кватернионов .

Для сравнения все переводы можно описать тремя числами. $x$ , $y$ , и $z$ , как последовательность трех последовательных линейных движений по трем перпендикулярным осям $X$ , $Y$ и $Z$ топоры. То же самое справедливо и для вращений: все вращения можно описать тремя числами. $\alpha$ , $\beta$ , и $\gamma$ , как последовательность трёх вращательных движений вокруг трёх осей, перпендикулярных одна к другой. Это сходство между линейными и угловыми координатами делает углы Эйлера очень интуитивно понятными , но, к сожалению, они страдают от проблемы блокировки подвеса.

Потеря степени свободы с углами Эйлера

Вращение в трехмерном пространстве можно представить численно с помощью матриц несколькими способами. Одним из таких представлений является:

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Пример, заслуживающий рассмотрения, имеет место, когда $\beta ={\tfrac {\pi }{2}}$ . Зная это $\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0$ и $\sin {\tfrac {\pi }{2}}=1$ , приведенное выше выражение становится равным:

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Выполнение матричного умножения :

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\-\cos \alpha &\sin \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &0\\-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &0\end{bmatrix}}\end{aligned}}

И, наконец, используя формулы тригонометрии :

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin(\alpha +\gamma )&\cos(\alpha +\gamma )&0\\-\cos(\alpha +\gamma )&\sin(\alpha +\gamma )&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Изменение значений $\alpha$ и $\gamma$ в приведенной выше матрице имеет тот же эффект: угол поворота $\alpha +\gamma$ меняется, но ось вращения остается в $Z$ направление: последний столбец и первая строка матрицы не изменятся. Единственное решение для $\alpha$ и $\gamma$ восстановить разные роли - значит изменить $\beta$ .

, можно представить самолет, вращающийся на вышеупомянутые углы Эйлера Используя соглашение XYZ . В данном случае первый угол - $\alpha$ это шаг. Рыскание затем устанавливается на ${\tfrac {\pi }{2}}$ и финальное вращение - по $\gamma$ - снова шаг самолета. Из-за блокировки подвеса он потерял одну из степеней свободы – в данном случае способность крениться.

Также можно выбрать другое соглашение для представления вращения с помощью матрицы с использованием углов Эйлера, чем соглашение XYZ, указанное выше, а также выбрать другие интервалы изменения углов, но в конце концов всегда найдется хотя бы одно значение, для которого степень свобода потеряна.

Проблема блокировки подвеса не делает углы Эйлера «недействительными» (они всегда служат четко определенной системой координат), но делает их непригодными для некоторых практических приложений.

Представление альтернативной ориентации

Причиной блокировки подвеса является представление ориентации в расчетах как три осевых вращения на основе углов Эйлера. Поэтому потенциальное решение состоит в том, чтобы представить ориентацию каким-либо другим способом. Это может быть матрица вращения , кватернион (см. «Кватернионы и пространственное вращение ») или подобное представление ориентации, которое рассматривает ориентацию как значение, а не как три отдельных и связанных значения. Учитывая такое представление, пользователь сохраняет ориентацию как значение. Для количественной оценки угловых изменений, вызванных преобразованием, изменение ориентации выражается как дельта-угол/поворот оси. Полученную ориентацию необходимо повторно нормализовать, чтобы предотвратить накопление ошибок с плавающей запятой при последующих преобразованиях. Для матриц повторная нормализация результата требует преобразования матрицы в ближайшее ортонормированное представление . Для кватернионов повторная нормализация требует выполнения нормализации кватернионов .

См. также

Графики SO(3)
Динамика полета - исследование характеристик, устойчивости и управления летательными аппаратами.
Сетка севера - декартова географическая система координат. (эквивалентная навигационная проблема в полярных экспедициях).
Инерциальная навигационная система – непрерывно вычисляемый счисление пути.
Планирование движения – вычислительная задача
Кватернионы и пространственное вращение . Соответствие между кватернионами и трехмерным вращением.

Ссылки

^ Джонатан Стрикленд (2008). «Что такое подвес и какое отношение он имеет к НАСА?» .
^ Адриан Попа (4 июня 1998 г.). «Re: Что подразумевается под термином «блокировка карданного подвеса»?» .
^ Крис Верплаэтсе (1995). «Обзор дизайна перьев и основы навигации» . Архивировано из оригинала 14 февраля 2009 г.
^ Чаппелл, Чарльз, Д. (2006). «Подушки шарнирные газовые опорные» . {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дэвид Хоаг (1963). «Наведение и навигация Аполлона - Особенности блокировки карданного подвеса ИДУ Аполлона - Документ инструментальной лаборатории Массачусетского технологического института E-1344» .
^ Эрик М. Джонс; Пол Фьельд (2006). «Углы подвеса, блокировка подвеса и четвертый подвес на Рождество» .
^ ANSI/RIA R15.06-1999

Внешние ссылки

Блокировка карданного подвеса — объяснение на YouTube

[1] Джонатан Стрикленд (2008). «Что такое подвес и какое отношение он имеет к НАСА?» .

[2] Адриан Попа (4 июня 1998 г.). «Re: Что подразумевается под термином «блокировка карданного подвеса»?» .

[3] Крис Верплаэтсе (1995). «Обзор дизайна перьев и основы навигации» . Архивировано из оригинала 14 февраля 2009 г.

[4] Чаппелл, Чарльз, Д. (2006). «Подушки шарнирные газовые опорные» . {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[5] Дэвид Хоаг (1963). «Наведение и навигация Аполлона - Особенности блокировки карданного подвеса ИДУ Аполлона - Документ инструментальной лаборатории Массачусетского технологического института E-1344» .

[6] Эрик М. Джонс; Пол Фьельд (2006). «Углы подвеса, блокировка подвеса и четвертый подвес на Рождество» .

[7] ANSI/RIA R15.06-1999

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]